Вопрос№10 Непрерывность ф-ции а) в точке и на отрезке, б) точки разрыва 1-го и 2-го рода.

а) Опр.!!!: 1) a) Ф-ция f:ER наз. непрерывной в т. х₀E, if предел ф-ции в этой т. равен значению ф-ции в этой т., т.е. lim f(x)=f(x₀),xx₀; б) f:ER,х₀E.Ф-ция f наз. непрерывной в т. х₀,if (>0)(>0)(x: |x-x₀|<): |f(x)-f(x₀)|<; в) …,if V(f(x₀),) U(x₀,), xU(x₀,)f(x)V(f(x₀),); # f(x)=x,xR=E. Восп. опр. б) и рассм. разность |f(x)-f(x₀)|=|x-x₀|<.Возьмем >0 и =, тогда x |x-x₀|<; 2) Ф-ция непрерывна на мн-ве, if она непрерывна в каждой т. этого мн-ва. В частности, ф-ция f наз. непрерывной на отрезке [a,b], if она непрерывна во всех т. интервала (a,b), непрерывна справа в т. a и непрерывна слева в т. b.Св-ва непр-х ф-ций: 1.Локальные: 1.1. f:E R непр.x₀E. f(x) огр. в U(x₀). Док-во: (>0)(>0)(x: |x-x₀|<): |f(x)-f(x₀)|<; f(x₀)-<f(x)<f(x₀)+. xU(x₀)={x: |x-x₀|<}.1.2. f:E R непр.x₀E. If f(x₀)0, то U(x₀): xU(x₀). Док-во: Восп. опр. (>0)(>0)(x: |x-x₀|<): |f(x)-f(x₀)|<; f(x₀)-<f(x)<f(x₀)+, xU(x₀)={x: |x-x₀|<} (*) ; ! f(x)=c: a) c>0. Возьмем  так, чтобы с->0. Из нер-ва (*) получается 0<c-<f(x)xU(x₀). б) с<0 (то же самое, но восп. пр. частью).1.3. Арифм-ие св-ва непр. ф-ций: If f,g:ER непр. в т. x₀E, то f+(-)g, f*g, f/g (g(x)0) непр. в этой т. Док-во  из опр-ия непр-сти и арифм-х св-в предела ф-ций . 1.4. (непр-сть композиции)If ф-ция f:ER непр. в т. x₀E, а g:KR непр. в т. y₀=f(x₀), то сложная ф-ция (g  f)(x)=g(f(x)) непр. в т. x₀.(рис.1) Док-во: восп. опр. непр-сти ф-ции на яз. окр-тей. Возьмем произв. >0 и рассм. окр-сть W(w₀, ). Т.к. g непр. в т. y₀,то окр-сть V(y₀,): yV(y₀,) g(y)W(w₀, ).Т.к. f непр. в т. x₀, то для найденного >0 найдется Q>0: xU(x₀,Q) f(x)V(y₀,).,if xU(x₀,Q), то g(f(x))W(w₀, ), что и означает непр-сть сложной ф-цией.Замечание1: lim g(f(x)),xx₀=g(lim f(x), xx₀).Замечание2: Вычисление lim ч/з замену переменных.2.Глобальные(связанные со всей ОО ф-ции): 2.1. Th Коши о  корня: ! f(x) непр. на [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f(a)*f(b)<0.Тогда c(a,b)f(c)=0. Док-во: делим отрезок пополам.If f((a+b)/2)=0, то этим все док.. 2.2.Th Больцано-Коши о промежуточных значениях непр-й ф-ции: ! f(x) непр. на [a,b], f(a)=A, f(b)=B. C:A<C<B c[a,b]:f(c)=C. Док-во: рассм. ф-цию f(x)-C и восп. предыдущей Th. 2.3. Th Вейерштрасса о мин-х и макс-х значениях:! f непр. на [a,b]. Тогда она принимает на этом отрезке свое мин-е и макс-е значения.Док-во:Берем мн-во значений ф-ции и у него- sup: M=sup f(x), x[a,b] . М м/б равна в частности и +.Док-во: рассм. посл-сть {a_n}. a_n<M, причем lim a_n=M,n (a_n=M-1/n). Из опр. верхней грани x_n:a_n<f(x_n)M.Очевидно, x_n[a,b],поэтому {x_n} ограничена. По Th Вейерштрасса, можно извлечь такую сходящуюся посл-сть, что x_nkс,k, a_nk<f(x_nk)M k. Перейдем к lim, k и восп. непр-стью ф-ции: lim a_nk,k< lim f(x_nk),kM. Mf(lim x_nk,k)M. Mf(c)M.f(c)=M.

б)Опр.!!!:1)x₀ наз. т. разрыва 1-го рода,if ф-ция не является непр-й в этой т.; 2) т. x₀ является т. разрыва 1-го рода, если  односторонние пределы, но они не равны значению ф-ции в этой т.; 3)Разрыв 1-го рода наз. устраненным,if односторонние пределы равны м/у собой, но не равны значению ф-ции в этой т.; 4) т. x₀ наз. т. разрыва 2-го рода, if не конечного одностороннего предела. Th: Ф-ция f(x) непр. в т.x₀lim f(x),xx₀-0=lim f(x),xx₀+0=f(x₀).Док-во: Из опр. непр-сти следует, что  lim f(x),xx₀=f(x₀). По Th Об односторонних пределах -ют одностор. пределы: lim f(x),xx₀-0=lim f(x),xx₀+0=lim f(x),xx₀=f(x₀).Из -ния lim f(x),xx₀-0=lim f(x),xx₀+0 следует -ние двустороннего предела lim f(x),xx₀=f(x₀).