Вопрос№45_2

Выразим , подставим в (2) и получим, что погрешность метода удовлетворяет задаче:

= + (5)

i=1,...,(M-1) n=0,..,(N-1)

, i=0,….,M n=0,…,N,

где =- (6)

- погрешность аппроксимации разностной задачи (2) на решение задачи (1). Разностная задача (2) аппроксимирует исходную задачу (1), если погрешность аппроксимации 0 при , h 0. Задача (2) аппроксимирует исходную задачу (1) с p-ым порядком по и q-ым порядком по h, если =O( ). Если правую часть f аппроксимировать точно, то явная разностная схема (3) аппроксимирует задачу (1) с порядком О( ).

Гармонический анализ.

Этот метод не является достаточно обоснованным, он не учитывает влияния правых частей, но дает необходимое условие устойчивости и сходимости. Метод разработан для линейных задач с постоянными коэффициентами. Наряду с основным разностным решением задачи (2) рассмотрим соответствующее ему однородное уравнение:

= (7)

Решение уравнения (7) будем искать в виде (8), где - действительный параметр, (- ), i – мнимая единица, q – величина подлежащая определению. Подставим (7) в (8), получаем:

sinh

q( (9)

(8) имеет решение если q представимо в виде (9).

Начальные данные: (10)

Если |q( )|>1 при каком-то , то решение вида (8) с ростом n неограниченно возрастает и при этом нарушиться непрерывная зависимость от начальных данных, в этом случае уравнение (7) и задачу (2) называют неустойчивой. Если же |q( )|<=1 (11), то сохраняется непрерывная зависимость от начальных данных. Для того чтобы сохранялась непрерывная зависимость от начальных данных, необходимо чтобы выполнялось (11).

Проведенный анализ – гармонический анализ, а его результат (11) называется необходимым гармоническим признаком устойчивости.

В нашем случае q( ) дается формулой (9), нетрудно проверить что в нашем случае (11) будет выполнимо, если (12)

Схемы устойчивые при некоторых ограничениях на шаги сетки называются условно устойчивыми, а схемы устойчивые при любых шагах сетки – абсолютно устойчивыми.

Вопрос№47 Понятие корректности, устойчивости и сходимости разностной задачи. Теорема эквивалентности.

Дана дифференциальная задача в операторном виде, начальные и граничные условия соблюдены, L - линейный оператор. Lu=f (1) обл. D.

1. Строим сетку D_n - конечное множество точек из D. Плотность заполнения узлами сетки характеризуется параметром h - вектор (шаг сетки). Определена длина этого вектора. Как правило D_n строится так, что при h0 D_n тоже плотно заполнялось.

2. Функции непрерывного аргумента заменяем функциями дискретного аргумента. L_hy_h=_h (2) - разностная задача. U(x)  B₀, ||.||₀ (линейное нормированное пр-во с нормой). Y_h(x), _hB_h, ||.||_h. Оператор P_h: B₀ B_h, этот оператор линейный и каждой функции u(x)  B₀, ставит функцию u_h=P_hu(x) B_h. Нормы ||u||₀ и ||u||_h согласованы, так что lim(|h|0)||P_hu(x)||_h=||u||₀. Согласованность норм обеспечивает единственность предела сеточных функций.

Определения:

1. Функцию Z_h(x)=Y_h(x)-U_h(x)=Y_h-P_hU(x), xD_n называют погрешностью разностной схемы. Выражая отсюда y_h, подставляя в (2), получаем L_hZ_h=_h (3) xD_n, _h(x)=_h(x)-L_hP_hU(x) = _h(x)- L_hU_h.

2. _h(x) называют погрешностью аппроксимации разностной задачи (2) на решении задачи (1).

3. Говорят, что разностная задача (2) аппроксимирует исходную задачу (1), если ||_h(x)||_h0 при h0.

4. Разностная задача (2) имеет k-ый порядок аппроксимации, если существуют положительные, независящие от h постоянные k, M₁: ||_h(x)||_hM₁|h|^k (4).

5. Разностная задача (2) называется корректной (корректна), если: 1) для  _h(x)B_h решение (2) существует и единственно. 2) Существует положительная независящая от h постоянная M₂:  _h(x)B_h ||Y_h||_hM₂||_h||_h (5).

6. Условие корректности (2), выраженное неравенством (5) означает непрерывную равномерную по h зависимость решения задачи (2) от правой части и называется устойчивостью.

7. Говорят, что решение разностной задачи (2) сходится к решению задачи (1), если ||Z_h(x)||_h=рррр||Y_h(x)-U_h(x)||_h0 при h0.

8. Разностная задача имеет k-ый порядок точности (сходится со скоростью k), если существуют положительные независящие от h const k, M₃: ||Z_h||_hM₃|h|^k (6).

Теорема. Пусть дифференциальная задача Lu=f (1) корректна, пусть разностная задача L_hy_h=_h (2) корректна и аппроксимирует (1), тогда решение разностной задачи (2) сходится к решению задачи (1), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации. (Из аппроксимации и устойчивости  сходимость).

Доказательство. Погрешность разностной схемы Z_h удовлетворяет L_hZ_h=_h (3) по структуре точно такому же как уравнение (2), поэтому в силу корректности (устойчивости) справедливо неравенство ||Z_h||_hM||_h||_h (7). Откуда в силу аппроксимации  сходимость. Если схема имеет k-ый порядок аппроксимации, т. е. справедливо, если существуют положительные, независящие от h постоянные k, M₁: ||_h(x)||_hM₁|h|^k (4), то из (4) и (7)  ||Z_h||_hM*M₁|h|^k.