Вопрос№39 Метод разделения переменных.

Дифференциальное уравнение вида , (8.3.1)

где и - непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет собой произведение, в котором один сомножитель зависит только от , а другой – только от .   Метод  решения такого вида уравнений носит название  разделения   переменных  . Запишем производную в ее эквивалентной форме, т.е. как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента, затем умножим на обе части уравнения и поделим на обе части уравнения, полагая, что .

(8.3.2) Интегрируя слева по переменной , а справа по переменной , получим , (8.3.3)

где - произвольная постоянная.

Рассмотрим примеры решения уравнений  методом   разделения   переменных  .

Найти частное решение уравнения по начальным условиям: при .

Разделим переменные . Интегрируя обе части этого уравнения, имеем: , где - произвольная постоянная. При потенцировании получаем или . Полученная функция представляет собой семейство интегральных кривых. Для выделения частного решения используем начальные условия: , т.е. . Окончательно частное решение имеет вид: .  

Найти решение уравнения , проходящее через точку .

Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах .

Интегрируя, имеем . После интегрирования, получаем: .

Найдем константу. Для этого подставим в общее решение значения . Получим, что , т.е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака):

.

Вопрос№41 Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод исключения Гаусса, метод исключения с выбором главного элемента. Сравнение методов.

Метод называется точным если в предположении отсутствия ошибок округлений получаем точное решение за конечное число шагов.

Метод исключения Гаусса.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Ax =b (1); А - вещественная матрица dim=n, det A  0, b=(b⁽¹⁾, ..., b⁽ⁿ⁾ ). Система (1) имеет единственное решение. Решим ее методом исключения Гаусса (схема единственного деления).

a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=b₁,

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n=b₂, (1)

...............

a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n=b_n,

Пусть a₁₁0, делим на a₁₁: x₁+c₁₂x₂+...+c_1nx_n=y₁ (2), где c_1j= a_1j/ a₁₁, j=2,...,n, y₁=b₁/a₁₁.

Домножим уравнение (2) на коэффициенты a₂₁, a₃₁,..., a_n1 и вычитаем, в итоге:

x₁+ с₁₂x₂+с₁₃x₃+...+c_1nx_n=y₁,

 a⁽¹⁾₂₂x₂+...+a⁽¹⁾_2nx_n=b⁽¹⁾₂, (3)

...............

 a⁽¹⁾_n2x₂+a⁽¹⁾_n3x₃+...+a⁽¹⁾_nnx_n=b⁽¹⁾_n,

Предполагая,что a⁽¹⁾₂₂0, исключаем x₂ из всех уравнений, начиная с третьего. В итоге система (1) примет вид:

x₁+ с₁₂x₂+с₁₃x₃+...+c_1nx_n=y₁,

 x₂+ с₂₃x₃+ ...+c_2nx_n=y₂, (4)

...............

 x_n=y_n,

Матрица системы (4) - верхняя , произведение верхних (нижних) -х матриц есть верхняя (нижняя) -я матрица. Матрица, обратная к верхней (нижней) -ной матрице, есть вкрхняя (нижняя) -няя матрица. Очевидно, что решение системы (4) не представляет затруднений. Сведение (1) к (4) называется прямым ходом метода исключения Гаусса.

Изложенный алгоритм называют методом исключения Гаусса.

Метод Гаусса с выбором главного элемента.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Ax =b (1); А - вещественная матрица dim=n, det A  0, b=(b⁽¹⁾, ..., b⁽ⁿ⁾ ). Выберем в первом столбце max по модулю элемент |a_k1|>|a_j2| j, переставим 1 и к-ю строки. Далее как в схеме единственного деления исключаем x₁ из всех уравнений, начиная со второго. Рассиотрим 2-й столбец, начиная со второго уравнения: |a_l2|=|a_j2| j.

Меняем местами 2-ю и l-ю строки строки и исключаем x₂ и т.д. Позволяет избавиться от 1-го, 2-го недостатков. Аналогично со столбцами и всей матрицей, эквивалентно разложению на произведения. (?)

Сравнение методов.

Достоинства метода Гаусса: 1) точный, 2)  n³. Недостатки: 1) Если на каком-то шаге a^(k-1)_kk=0, то метод “падает”. 2) Если на каком-то шаге a^(k-1)_kk0, то может произойти большая потеря точности (неустойчивость). 3) Метод требует порядка n³ операций.

Первые два недостатка можно исключить, если применить метод Гаусса с выбором главного элемента.