Вопрос№2 Теоремы об а)умножении определителей и б)о ранге матрицы.

Определения: 1) ! A-матрица размера s*n над полем К. Ее строки можно рассм-ть как вектора n-мерного линейного пр-ства над К. Ранг этой системы векторов есть ранг по строкам матрицы А. Ранг матрицы по столбцам вводится аналогично. Ранг матрицы А по минорам есть наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. 2) Выберем произв. в матрице порядка k две строки i,k и два столбца j,l.Вычеркнем их и сост. new матрицу из оставшихся эл-тов.Ее порядок=k-2. этой матрицы наз. минором k-го порядка матрицы [M^ik_jl].

а)Th: Определитель произведения нескольких матриц n-го порядка равен произведению определителей этих матриц. Док-во: для 2-х матриц.! A=(a_ij) и B=(b_ij)-матрицы n-го порядка и ! AB=C=(c_ij). Построим вспомогательный опред-ль порядка 2n: в левом верхнем углу-матрица А, в правом нижнем-В, правый верхний угол-нули, левый нижний – нули, а по главной диагонали (-1) (рис.1)Применив Th Лапласа – разложение по первым n строкам [! в  порядка n произв. выбраны строки i₁, i₂,…, i_k,kn. Тогда = (по j₁,…, j_k) (-1)^{i1+i2+…+ik+j1+…+jk} *M^i1…ik_j1…jk по всем наборам индексов 1j₁j₂<…j_kn. ЗдесьM^i1…ik_j1…jk-минор, располож. на пересечении оставшихся от вычеркивания строк и столбцов], получим равенство =|A|*|B| (1). Попытаемся так преобразовать , не меняя его значения, чтобы все элементы b_ij, i,j=1,2,…,n, оказались замененными нулями: к (n+1)-му столбцу прибавим 1-ый, умноженный на b₁₁, 2-й, умноженный на b₂₁, …,n-ый, умноженный на b_n1. К (n+2)-му столбцу прибавим 1-ый, умноженный на b₁₂, 2-й, умноженный на b₂₂,..и.т.д.Вообще, к (n+j)-му столбцу (j=1,2,…,n) прибавим сумму первых n столбцов, взятых, соотв-но, с коэффициентами b_1j, b_2j,…, b_nj. Тем самым добьемся желаемого результата. Одновременно вместо нулей, стоявших в правом верхнем углу , появятся след-ие числа: на пересечении i-той строки и (n+j)-го столбца , i,j=1,2,…,n,будет стоять число a_i1b_1j+ a_i2b_2j+…+a_inb_nj=c_ij матрицы С=АВ. Теперь правый верхний угол  занимает матрица С (рис.2). Применим ещё раз Th Лапласа, разлагая  по последним n столбцам. Дополнительный минор для минора |C| равен (-1)ⁿ,а т.к. минор |C| расположен в строках с номерами 1,2,…n, и в столбцах с номерами n+1,n+2,…,2n, причем 1+2+…+n+(n+1)+(n+2)+…+2n=2n²+n, то =(-1)^2n*n+n(-1)|C|=(-1)^2(n*n+n)|C| или, в виду четности числа 2(n²+n), =|C| (2). Из (1) и (2)  |C|=|A|*|B|.

б)Th о ранге матрицы: Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен рангу этой матрицы.Док-во: ! наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен r.Предположим, что стоящий в левом верхнем углу минор r-го порядка D≠0 (рис 3.)Тогда первые r столбцов матрицы А будут м/у собой линейно независимыми: иначе, т.к. при сложении векторов складываются соответствующие компоненты, м/у столбцами минора D -ла бы эта же линейная зависимость и поэтому минор D был бы =0. Докажем, что всякий l-ый столбец А, r<l≤n,есть линейная комбинация первых r столбцов.Берем любое i,1≤i≤s, и строим вспомогательный  (r+1)-го порядка, получающийся окаймлением минора D соответствующими элементами l-го столбца и i-ой строки (рис.4)При любом i _i=0, ведь если i>r, то _i будет минором (r+1)-го порядка нашей матрицы А и поэтому=0 ввиду выбора числа r. Если же ir, то _i уже не будет минором матрицы А, т.к. не м/б получен вычеркиванием из этой матрицы некоторых её строк и столбцов; однако _i будет содержать теперь две равные строки и, , снова =0. Рассм. алгебраические дополнения элементов последней строки _i. А.д. для элемента а_ij служит минор D. Если же 1jr, то а.д. для Эл-та a_ij в _i будет число A_j рис.5). Оно не зависит от i. Т.о., разлагая _i по его последней строке и приравнивая это разложение нулю, т.к. _i=0, получим a_i1A₁+a_i2A₂+…+ a_irA_r++ a_ilD=0, откуда, ввиду D≠0, a_il=-A₁/D*a_i1-A₂/D*a_i2-…-A_r/D*a_ir. Это равенство справедливо при всех i, i=1,2,…,s,а.т.к. его коэффициенты от i не зависят, то получаем, что весь l-ый столбец А будет суммой её первых r столбцов, взятых, соотв-но, с коэффициентами -A₁/D, -A₂/D,…, -A_r/D.Т.о. в системе столбцов мы нашли максимальную линейно независимую подсистему, состоящую из r столбцов, т.е. ранг матрицы А равен r.