Вопрос№29 Определение голоморфной функции, уравнения Коши-Римана.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: “однозначная функция f(z) называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z = a , если она дифференцируема в некоторой окрестности точки a ” . В свою очередь, ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: “функция w = f(z) называется дифференцируемой в точке z = a , если предел
	(10)
существует при z = a и не зависти от способа стремления z к нулю" . Обратим внимание, что в определении аналитичности функции комплексного переменного присутствует только требование её дифференцируемости. Требование независимости предела (10) от способа стремления  z   к нулю, которое является основой для вывода условий Коши - Римана (а в трансформированном виде и условий Карлемана (1)), появляется только в определении 2. Следовательно, если некоторая функция удовлетворяет условиям однозначности и непрерывности в окрестности исследуемой точки, определяющим существование дифференциала функции, но не удовлетворяет условию равенства пределов (10) при стремлении z   к нулю по разным направлениям, то, с точки зрения базового определения аналитичности, это функция также является аналитичной. А значит и ранее исследованные функции, и такие функции, как
	(11)
не удовлетворяющие, в общем случае, ни условиям Коши - Римана, ни условиям Карлемана, но обладающие непрерывными и однозначными частными производными по x и y , - также являются аналитичными.

Аналитическая функция (голоморфная функция) - функция f(z) комплексной переменной z=x+iy, которая дифференцируема в следующем смысле: в каждой точке z₀ некоторой области D комплексной плоскости С существует производная причем предел не зависит от способа стремления к нулю. Рассматриваются аналитические функции многих комплексных переменных.

Уравнение Коши-Римана

Пусть z=x+iy, w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y), тогда в каждой точке дифференцируемости функции f (z) выполняются соотношения:

Эти соотношения принято называть условиями Коши-Римана (или уравнениями Коши-Римана).

Когда в некоторой точке (x,y) выполняются условия Коши-Римана и, кроме того, функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы как функции действительных переменных, то функция f (z)=u+iv дифференцируема в точке z=x+iy как функция комплексного переменного z.

Если функция дифференцируема как в самой точке z, так и в её некоторой окрестности, то говорят, что она аналитическая в точке z.

Функцию, дифференцируемую в каждой точке области G, называют аналитической в этой области.

Вопрос№30 Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.

19.6.2. Интегральная теорема Коши. Это одна из основных теорем теории ФКП.         19.6.2.1. Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю: .         Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим вследствие условий Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.         Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл имеет одинаковое значение.         19.6.2.2. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L₀ (внешняя граница), L₁, L₂, …, L_k, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.         Доказательство и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной о бласти. Рассмотрим случай, когда граница области (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L₀ и внутренних контуров L₁ и L₂. Соединим контур L₀ разрезом FM с контуром L₁, разрезом BG - с контуром L₂. Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши: . Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны. Интегральная формула Коши.

Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно – гладкой границей L.

D



z₀

Тогда справедлива формула Коши:

где z₀ – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в положительном направлении (против часовой стрелки).Эта формула также называется интегралом Коши.