Теорема сложения

Пусть A и B — два несовместных события, причем в n испытаниях событие A произошло m1 раз, а событие В произошло m2 раз. Тогда частоты событий A и В соответственно равны P*(A)=m1/n, P*(B)=m2/n. Так как события A и В несовместны, то событие A+B в данной серии опытов произошло m1+m2 раз. Следовательно,

   Таким образом, частота события A+B равна сумме частот событий A и В. Но при больших n частоты P*(A), P*(B) и P*(A+B) мало отличаются от соответствующих вероятностей P(A), P(B) и P(A+B). Поэтому естественно принять, что если A и В — несовместные события, то P(A+B)=P(A)+P(B)

Вопрос№58 Дискретные и непрерывные случайные величины, определения и свойства функции и плотности распределения.

случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.  В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин — дискретные и непрерывные.

Рассмотрим случайную величину * , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2, ...) равно вероятности того, что величина примет значение xi

(16)

   Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству

(22)

   Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения.

Случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если ξ принимает конечное или счетное число различных значений с соответствующими вероятностями р(ξ=xi)=pi, ∑(i)pi =1.

Случайная величина непрерывно распределена, если ее функция распределения допускает представления в виде F_ξ(x) =ʃ(-∞,x)f_ξ(t)dt.

Подынтегральная функция f_ξ(x) называется плотностью распределения случайной величины ξ.

Свойства плотности.

1.Почти всюду f_ξ(x)=F'_ξ(x).

2.Почти всюду f_ξ(x)≥0.

3. ʃ(-∞,∞)f_ξ(t)dt = 1.

4. ʃ(a,b)f_ξ(t)dt = F_ξ(a)- F_ξ(b) = p(a≤ξ<b).

5. ʃ(x,x+∆x)f_ξ(t)dt = f(⍬)∆x, ⍬∈[x; x+∆x).

Функцией распределения случайной величины называется функция F_ξ(x) = p(ξ<x), ∀x∈R.

Свойства функции распределения.

1.Если x1<x2, то F(x1)≤F(x2) (монотонность).

2. lim(x→∞)F(x)=1, lim(x→-∞)F(x)=0.

3. 0≤F(x)≤1.

4. F(x) непрерывна слева, lim(x→x-0)F(x)=F(x₀).

5. p(x≤ξ<y)=F_ξ(x) - F_ξ(y).

Вопрос№59 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты.

   Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей

Значения	х1	х2	. . .	хn
Вероятности	p1	p2	. . .	pn

   Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е.

(39)

   Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

(40)

   При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.