Вопрос№61 Точечные статистические оценки: несмещенность, состоятельность, эффективность. Определение и свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.

Выборочная числовая характеристика (статистика) θˆ=g(X1,X2,..,Xn), применяемая для приближения неизвестного параметра θ генеральной совокупности, называется его точечной оценкой.

Статистика θˆ=g(X1,X2,..,Xn) называется несмещенной оценкой для параметра θ, если Mθˆ= θ.

Статистика θˆ=g(X1,X2,..,Xn) называется состоятельной оценкой для

параметра θ, если θˆ=g(X1,X2,..,Xn) →(по вероятности ) θ.

Несмещенная оценка θˆ параметра θ называется эффективной оценкой θ, если Dθˆ=1/I.

Выборочное среднее – это выражение X¯=1/n*∑(i=1,n)Xi, где n – объем выборки, Xi – выборочные значения.

Выборочное среднее является несмещенной состоятельной оценкой мат.ожидания: MX¯=1/n*∑(i=1,n)MXi=n/nMξ=Mξ=α1, α1- начальный момент порядка 1.

Выборочная дисперсия – выражение S^2=1/n*∑(i=1,n)(Xi-X¯)^2=1/n*∑(i=1,n)Xi^2-X¯^2, где n - объем выборки, Xi – выборочные значения; X¯ - выборочное среднее.

Выборочная дисперсия является смещенной состоятельной оценкой дисперсии: DX¯=1/n^2*∑(i=1,n)DXi=1/nDξ=μ2/n, μ2-центральный момент порядка 2.

Практика Диффуры.

1.Найти частное решение уравнения в точке .

Уравнение однородное нулевой степени - или . В результате подстановки ( , ) получим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции : . Интегрирование этого уравнения дает функцию: . Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид: . Частное решение, соответствующее начальному условию, имеет вид: .

2. , где .

Решить уравнение .

Опять начнем с однородного уравнения . После разделения переменных и интегрирования уравнения получаем общее решение однородного уравнения . Полагая, что , получаем после подстановки в неоднородное уравнение . Откуда . Стало быть, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

3. Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов

Найти собственные значения матрицы:

записать характеристическое уравнение: det(A-Е)=0;        (1.4)

найти его корни  _j, j=1,...,n и их кратности.

Найти собственные векторы матрицы:

для каждого  _j решить уравнение (A- _jE)x=0;       (1.5)

найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению  _j.

Пример1

Найдем собственные значения и собственные векторы, если известна матрица преобразования:

Записываем характеристический многочлен (1.1) и решаем характеристическое уравнение (1.4):

Получаем два собственных значения: ₁=1 кратности m₁=2 и ₂=-1 кратности m₂=1. Далее с помощью соотношения (1.5) находим собственные векторы. Сначала ищем ФСР для ₁=1:

Очевидно, что rang=1, следовательно, число собственных векторов для ₁=1 равно n-rang=2. Найдем их:

Аналогичным образом находим собственные векторы для ₂=-1. В данном случае будет один вектор:

4.Выяснить, являются ли векторы a₁ = (1,3,1,3), a₂ = (2,1,1,2), a₃ = (3,-1,1,1) линейно зависимыми.

 Составим векторное равенство λ₁a₁ + λ₂a₂ + λ₃a₃ = 0. Записывая a₁ ,a₂ , a₃ в виде вектор-столбцов, получим

Задача свелась, таким образом, к решению системы:

 

Решая систему методом Гаусса, приведем ее к виду:

 

откуда найдем бесконечное множество ее решений , где c – произвольное действительное число.

Итак, для данных векторов условие (1.15.1) выполняется не только при  (а, например, при l₁ = 1, l₂ = -2, l₃ = 1 (с = 1); при l₁ = 2, l₂ = -4, l₃ = 2 (с = 2) и т. д.), следовательно, эти векторы линейно зависимые.