Вопрос№26 Принцип сжимающих отображений.

Отображение Ф полного метрического пр-ва (X,) себя наз.сжимающим, если  число 0<q<1 такое, что x,yX (Ф(x),Ф(y))q(x,y).

Точка x^*X наз.неподвижной точкой отображения Ф, если x^*=Ф(x^*).

Теорема: (принцип сжимающих отображений)

Пусть Ф – сжимающее отображение полного метрического пр-ва (X,) в себя. Тогда:

1. Ф обладает един.неподвижной точкой x^*.

2. x₀X последовательность итераций отображения Ф сх-ся к неподвижной точке x^*. Послед-сть итераций имеет вид: x₀, x₁=Ф(x₀), x₂=Ф(x₁)=Ф²(x₀), …, x_n=Ф(x_n-1)=Фⁿ(x₀).

3. Справедливо неравенство (оценка сходимости): (x_n,x^*)(qⁿ/(1-q))*(x₀,x₁). q – коэффициент сжатия отображения Ф.

Д-во:

Пункт 2: пусть x₀X и x₀, x₁=Ф(x₀), x₂=Ф(x₁)=Ф²(x₀), …, x_n=Ф(x_n-1)=Фⁿ(x₀). Покажем, что послед-сть {x_n} фундаментальна. Считая для определенности mn, имеем: (x_n,x_m)=(Фx_n-1,Фx_m-1)q(x_n-1,x_m-1)…qⁿ(x₀,x_m-n)qⁿ[(x₀,x₁)+ (x₁,x_m-n)]qⁿ[(x₀,x₁)+(x₁,x₂)+(x₂,x_m-n)]qⁿ[(x₀,x₁)+(x₁,x₂)+…+(x_m-n-1,x_m-n)]qⁿ(x₀,x₁)[1+q+q²+…+q^m-n-1]qⁿ(x₀,x₁)/(1-q). При n ( m) выражение qⁿ(x₀,x₁)/(1-q)0  (x_n,x_m)0  последовательность {x_n} фундаментальна  в силу полноты пр-ва X она сх-ся.

Пусть lim_(n)x_n=x^*. Покажем, что x^* - неподвижная точка послед-сти x_n, т.е. Фx^*=x^*. Фx^*=Ф(lim_(n)x_n)=[т.к. всякое сжимающее отображение явл.непрерывным]=lim_(n)Фx_n=lim_(n)x_n+1=x^*  x^* - неподвижная точка.

Пункт 1: докажем, что неподвижная точка единственна. Пусть x^** - другая неподвижная точка, т.е. Фx^**=x^**. Рассмотрим (Фx^*,Фx^**). (x^*,x^**)(Фx^*,Фx^**)q(x^*,x^**). Т.к.q<1, то (Фx^*,Фx^**)=0  (x^*,x^**)=0  по аксиоме метрики x^*=x^**.

Пункт 3: для доказательства неравенства следует при фиксированном n перейти к пределу при m. Lim_(m)(x_n,x_m)=[согласно непрерывности метрики](x_n,Lim_(m)x_m)=(x_n,x^*)[согласно из доказательства второго пункта]qⁿ(x₀,x₁)/(1-q).

Вопрос№27 Компактное пространство и множество. Критерий компактности в .

Мн-во MX (линейное нормированное простр-во) наз.компактным, если из любой последовательности x_nM можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

Топологическое простр-во наз.компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие (Система мн-в {M_} наз.покрытием мн-ва X, если _M_X. Покрытие топологического простр-ва Т, состоящее из открытых мн-в, наз.открытым. Если некоторая часть {M_(i)} покрытия {M_} сама образует покрытие простр-ва Т, то {M_(i)} наз.подпокрытием покрытия {M_}).

Теорема (Хаусдорфа: Критерий компактности)

Мн-во М, лежащее в банаховом простр-ве Х явл.компактным  >0 для М конечная -сеть. (без док-ва)

Обсудим наиболее употребительные свойства компактных множеств.

1). Если H -- конечномерное гильбертово пространство, то множество компактно тогда и только тогда, когда X замкнуто и ограничено.

Это утверждение называемое обычно теоремой Лебега, известно вам для случая из курса математического анализа и здесь доказываться не будет. В общем случае достаточно заметить, что всякое конечномерное пространство H изоморфно или .

2). Если множество компактно, то X замкнуто и ограничено.

Вопрос№28_1

Норма, нормированное пространство. Линейный оператор в нормированном пространстве. Линейный функционал в нормированном пространстве. Три принципа функционального анализа: теоремы о продолжении линейных непрерывных функционалов, об открытом отображении и равномерной сходимости.

Нормой |||| на векторном пр-ве X наз.функция, ставящая в соответствие каждому элементу из X неотрицательное число. При этом должны выполняться условия:

1)||x||0, ||x||=0  x=0

2)||x||=||||||x|| R, xX

3)||x+y||||x||+||y|| x,yX

Нормированным пр-вом наз.пара, состоящая из мн-ва и заданной на нем нормы (X,||||).

Примеры нормированных пр-в:

1)мн-во R явл.нормированным, еслиxR положить ||x||=|x|.

2)действительное n-мерное пр-во Rⁿ с элементами x=(x₁,…,x_n), где ||x||=(_k=1ⁿx_k²)^.

3)C[a,b] (пр-во непрерывно дифференцируемых функций на [a,b]): ||x(t)||=max_(t[a,b])|x(t)|.

Оператор А наз.линейным, если , x,yX: A(x+y)= Ax+Ay.

(Оператор А – правило, согласно которому элементам нормированного пр-ва X ставится в соответствие элементы нормированного пр-ва Y, т.е. A:XY).

Функционал f наз.линейным, если x,yX ,R выполняется f(x+y)= f(x)+f(y). (Функционалом f наз.отображение из линейного нормированного пр-ва X в R(или C)).

Лемма 1: (о продолжении линейного нормированного функционала по непрерывности) !f –линейно непрерывный функционал, область определения которого D(f) есть всюду плотное мн-во в линейном нормированном пр-стве X. Тогда  линейный непрерывный функционал f(c “домиком”) такой, что: 1. D(f(c “домиком”))=X; 2. f(c “домиком”)=f(x) xD(f); 3. ||f(c “домиком”)||=||f||. Док-во: Определим f(c “домиком”) след. образом: если xD(f), то f(c “домиком”)(x)=f(x); Если же xx\D(f), то, т.к. D(f)=x (т.е. D(f) всюду плотно в Х),  посл-сть x_nD(f) такая, что x_nx при n. Положим, что f(c “домиком”)=lim f(x_n) при n. Покажем, что это определение корректно, т.е. фигурирующий в нем предел  и не зависит от выбора последовательности x_n. Рассмотрим посл-сть f(x_n) и покажем, что она фундаментальна: |f(x_n)-f(x_m)|={т.к.f – лин.ф.}=|f(x_n-x_m)|||f||*||x_n-x_m||0, т.е. f(x_n) фундаментальна, а значит сходится. Покажем, что предел не зависит от выбора посл-сти x_n . ! x_n’ ,x_n’’X при n. f(x_n’)a, f(x_n’’)b при n. |a-b|=|(a-f(x_n’))+(f(x_n’)-f(x_n’’))+(f(x_n’’)-b)| |a-f(x_n’)|+|f(x_n’)-f(x_n’’)|+|f(x_n’’)-b|, причем среднее слагаемое 0, т.к. |f(x_n’)-f(x_n’’)|=|f(x_n’-x_n’’)|||f||*||x_n’-x_n’’||||f||*(||x_n’-x||+||x-x_n’’||)0. Т.о. а=b и определение функционала f(c “домиком”) корректно. Осталось показать, что || f(c “домиком”)||=||f|| (1). Имеем, || f(c “домиком”)||=sup| f(c “домиком”)(x)| {где ||x||=1}sup | f(c “домиком”)|{где ||x||=1 и xD(f)}=sup |f(x)| {где ||x||=1 и xD(f)}=||f||  || f(c “домиком”)||||f|| (2); ! xX и x_nD(f), причем x_nx. Имеем | f(c “домиком”)|=|f(x)|||f||*||x_n||; Переходя к пределу в этом неравенстве при n, получим |f(c “домиком”)|||f||*||x||, откуда заключаем, что || f(c “домиком”)||||f|| (3). Заметим, что из (2) и (3)  (1). Данная лемма допускает обобщение на линейные непрерывные операторы, областью значения которых является произвольное банахово пр-ство Y (в лемме R=Y).