Вопрос№44

Схема построения разностного решения дифференциальных задач.

Разностный метод решения задачи Коши.

Решаем задачу:

du/dt=f(t,u)

u(0)=u₀ (1)

_={t_n=n, n=0,1} - сетка,  - шаг сетки.

Линейным многошаговым разностным (m - шаговым) методом называется система разностных уравнений: (a₀y_n+a₁y_n-1+...+a_my_n-m)/=b₀f(t_n,y_n)+ b₁f(t_n-1,y_n-1)+...+ b_mf(t_n-m,y_n-m) (2) n=m,m+1,...; На систему (2) нужно смотреть как на рекуррентное соотношение, позволяющее вычислить y_n по найденным y_n-1, y_n-2,..., y₀. Расчеты начинаются с n=m, т.е. с уравнения: (a₀y_m+a₁y_m-1+...+a_my₀)/=(k=0,m)b_kf(t_m-k,y_m-k). (3) Очевидно, чтобы вычислить y_m нужно знать y_m-1, y_m-2,..., y₀. y₀=u₀ задается точно. y₁,..., y_m-1 вычисляем с помощью методов Р-К. и др. Будем считать, что у как бы вычислены. Аппроксимация проверяется традиционным образом. Порядок аппроксимации зависит от выбора параметра. Эти формулы можно считать разновидностью метода неопределенных коэффициентов, в которых требуют найти параметры так, чтобы достигался определенный порядок аппроксимации. Если b₀0 - метод неявный в (2), b₀=0 - явный. В неявном методе на каждом шаге нужно находить корень неявного уравнения, каким-либо итерационным методом, чаще М. Ньютона. y_n⁽⁰⁾=y_n-1 - начальное приближение.

Наибольшее распространение получили методы Адамса. В них производная аппроксимируется по 2-м точкам, т.е. a₀=-a₁=1,...,a_k=0. Методы Адамса имеют вид: [y_n+1-y_n]/=(k=0,m)b_kf(t_n-k,y_n-k). (4) Есть явные и есть неявные.

Разностный метод решения краевой задачи.

а)Случай линейной задачи: Пусть имеется линейное дифференциальное ур-е 2-го порядка u’’+a(x)u’+b(x)u=c(x); a₁u(a)+ a₂u’(a)= a₃, b₁u(a)+ b₂u’(a)= b₃. Построим сетку {x=a+ih,i=0,...,N; h*N=b-a}. В x_i производные заменяем разностным отношением: u’(x_i)»(y_i-y_i-1)/h, u’’(x_i)»(y_i+1-2y_i+y_i-1)/h²; (y_i+1-2y_i+y_i-1)/h²+a(x_i)* (y_i-y_i-1)/h+b(x_i)y_i=c(x_i), i=1,…,N-1; a₁y₀+a₂(y₁-y₀)/h=a₃, b₁y_n+b₂(y_n-y_n-1)/h=b₃; Итак, имеем СЛУ; решаем её методом прогонки. u’(x_i)»(y_i+1-y_i-1)/2h, - это ДУ будем аппроксимировать разностью со 2-м порядком.

б) Случай нелинейной задачи: u’’=f(x,u), u(a)=a, u(b)=b (7); y_n+1-2y_n+y_n-1=h²f(x_n,y_n), y₀=a,y_n=b (8). Докажем сходимость: u_n+1-2u_n+u_n-1==h² u’’(x_n)+h⁴/12*u⁴(x), xÎ[x_n-1,x_n+1), u_n+1-2u_n+u_n-1==h² f(x_n,u_n)+h⁴/12*u⁴(x) (9). z_n=y_n-u_n , f(x_n,y_n)-f(x_n,u_n)=[¶f(x_n,q_n)/¶u]*z_n; (8)-(9): на погрешность получаем задачу – z-(2+h²*¶f(x_n,q_n)/¶u) z_n+ z_n-1= - h⁴/12*u⁴(x) (10), ¶f(x_n,q_n)/¶u³m>0. Пусть x_n – тот узел, в кот. z_k достигает max. Рассматривая выражение (10) в этом узле, мы получаем (2+h²*¶f/¶u) |z_n|£|z_k+1|+|z_k-1|+ h⁴/12*|u⁴(x)| (11). Усилим это неравенство, заменяя справа z_k+1и z_k-1 на z_k: | z_k|=max|z_i| по всем i£ h²/12*M/m, где M=max| u⁴(x)| на [a,b] (12). z₀=0,z_n=0; При n®0 z®0 – это означает сходимость. y_n+1⁸-2y_n⁸+y_n-1⁸=h²f(x_n,y_n^8-1), y₀⁸=a,y_n⁸=b. Сходимость прогонки будет при некоторых ограничениях на ¶f/¶u. Нелинейную систему (8) нужно решать методом Ньютона.

Вопрос№45_1 Явная схема краевой задачи для уравнения теплопроводности. Аппроксимация. Гармонический анализ.

= +f(t,x) 0<x<1 0<=t<=T; U(0,x)=U0(x) 0<=x<1; (1)

U(t,0)= 1(t) U(t,L)= 2(t)

Решение задачи (1) единственно и непрерывно зависит от входных данных.

З адачу (1) будем решать численно. T

={xi=ih, i=0,1,…,M, hM=L} t

={tn=n ,n=0,1,…,N, N =T}

и h- шаги сетки по времени и пространству.

( tn,xi) –образуют пространственно временную сетку.

L x

x- помечаем граничные узлы сетки, а все остальные узлы сетки называются внутренними.

Слоем называют множество узлов сетки имеющих одинаковую временную координату.

Шаблоном называют множество узлов сетки участвующих в аппроксимации дифференциального уравнения в одной точке.

Новое неизвестное будем обозначать через =y(tn,xi). Разделенную разность обозначим так: , а так же введем следующее обозначение:

Берем внутреннюю точку (tn,xi) и в этой точке производные будем заменять разностными отношениями, а правую часть будем аппроксимировать точно.

n+1

n

i-1 i i+1

= +f(tn,xi) n=0,…,(N-1) i=1,…,(M-1) (2)

=Uo(xi), i=0,1,…,M

= = , n=0,1,….,N

Совокупность разностных уравнений аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во внутренних узлах сетки и дополнительное условие в граничных узлах сетки называется разностной схемой или разностной задачей.

Задача (2) системы линейных уравнений (2) решается последовательно по времени.

Пусть известно, тогда , то есть решение на следующем слое мы будем находить явно по формулам:

Разностная схема (2) называется явной, потому что решение в одной точке на верхнем слое (смотри (3)) явно выражается через значение неизвестных на нижнем слое.

Разность между вычисленным и точным решениями в узлах сетки обозначим через , и назовем погрешностью метода: =