23. Уравнения с разделяющимися переменными.
Найти общее решение дифференциального
уравнения:
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям
это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
- верно
Пример. Найти решение дифференциального
уравнения
при условии у(2) = 1.
при у(2) = 1 получаем
Итого:
или
- частное решение;
Проверка:
, итого
- верно.
Пример. Решить уравнение
-
общий интеграл
- общее решение
Пример. Решить уравнение
Пример. Решить уравнение
при
условии у(1) = 0.
Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ).
Если у(1) = 0, то
Итого, частный интеграл:
.
Пример. Решить уравнение
.
Для нахождения интеграла, стоящего в
левой части уравнения см.
Таблица основных интегралов.
п.16. Получаем общий интеграл:
Пример. Решить уравнение
Преобразуем заданное уравнение:
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.
24. Уравнения, приводящиеся к однородным.
Кроме уравнений, описанных выше,
существует класс уравнений, которые с
помощью определенных подстановок могут
приведены к однородным. Это уравнения
вида
.
Если определитель
то переменные могут быть разделены
подстановкой
где и
- решения системы уравнений
Пример. Решить уравнение
Получаем
Находим значение определителя
.
Решаем систему уравнений
Применяем подстановку
в исходное уравнение:
Заменяем
переменную
при подстановке в выражение, записанное
выше, имеем:
Разделяем переменные:
Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.
Итого, выражение
является общим интегралом исходного
дифференциального уравнения. В случае
если в исходном уравнении вида
определитель
то переменные могут быть разделены
подстановкой
Пример. Решить уравнение
Получаем
Находим значение определителя
Применяем подстановку
Подставляем это выражение в исходное уравнение:
Разделяем переменные:
Далее возвращаемся к первоначальной
функции у и переменной х.
таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.
25.Решить уравнение
Сначала приведем данное уравнение к
стандартному виду:
Применим полученную выше формулу:
