Вопрос№19

Первообразная и ее свойства. {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция дифференцируема на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и (x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const. {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.

Определенный интеграл.

Пусть [a,b] - некоторый отрезок; f : [a,b] - некоторая функция. Отрезок [a,b] разобьем на n частей точками a=x0<x1<…<xn-1<xn=b и будем говорить, что произведено разбиение r отрезка [a,b] на отрезки [xi,xi+1], i=0,1,..,n-1. Длину отрезка [xi,xi+1] условимся обозначать через i, a max{ xi: i=0,1,..,n-1}= r. На каждом отрезке [xi,xi+1] выберем произвольную точку i и составим сумму . Ее называют интегральной суммой Римана функции f на отрезке [a,b] c разбиением r и промежуточными точками i. {O}Определенными интегралами Римана от функции f на отрезке [a,b] называется конечный предел (1), если он не зависит от выбора разбиений и точек i. Иначе говоря, IR есть такое число, что для . Нетрудно видеть, что мы дали определение интеграла Римана в духе определения предела по Коши. {O} (по Гейне) Пусть - последовательность разбиений ={a= , такая что при . Тогда интегралом Римана от функции f на отрезке [a,b] называется конечный предел , если он не зависит от выбора разбиений rk и промежуточных точек ik .

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). Определенный интеграл  - это число, имеющее смысл площади фигуры, ограниченной сверху кривой y = f(x) ( при f(x) > 0 ) , снизу осью 0x, слева прямой x = a и справа прямой x = b. Число a называется нижним, число b - верхним пределом интегрирования.

Механический смысл опред.инт.: Опред.инт. равен работе переменной силы на прямолинейном участке пути на отрезке [a;b]. Опред.инт. равен массе стержня переменной плотности.

Пусть к движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой переменная сила F=F(x). Если F=const, то (работа A) A=Fs=F(b-a). Разобьем отрезок [a,b] точками a=x₀<x₁<…<x_n=b. В каждом из частичных отрезков выберем произвольным образом точки _i  Δx_i , Δx_i= x_i+1 - x_i . И будем считать, что на каждом отрезке действует сила F_i=F(_i). Тогда искомая работа AF(₁)Δx₁+F(₂)Δx₂+…+ F(_n)Δx_n. Если увеличивать число точек разбиения, то допущение о том, что F=const становится приемлемым. В пределе получим величину искомой работы.

Теорема о среднем. {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для х[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ  | mM и _aò^bf(x)g(x)dx=_aò^bg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] mf(x)M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим m_aò^bg(x)dx_aò^bf(x)g(x)dxM_aò^bg(x)dx при g(x)0; m_aò^bg(x)dx_aò^bf(x)g(x)dxM_aò^bg(x)dx при g(x)0; Если _aò^bg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : _aò^bf(x)g(x)dx=0  рав-во _aò^bf(x)g(x)dx=_aò^bg(x)dx выполнено при любом ; Пусть _aò^bg(x)dx0  при g(x)0 _aò^bg(x)dx>0, а при g(x)0 _aò^bg(x)dx<0; Разделим нер-ва на _aò^bg(x)dx в обоих случаях получим : m_aò^bf(x)g(x)dx/_aò^bg(x)dxM; Пологая =_aò^bf(x)g(x)dx/_aò^bg(x)dx  получаем утверждение теоремы _aò^bf(x)g(x)dx=_aò^bg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует [a,b] такое, что _aò^bf(x)g(x)dx=f()_aò^bg(x)dx чтд.

{O} Функцию f : [a,b]->R, для которой существует предел (1) называют интегрируемой функцией (по Риману). R[a,b]- множество всех интегрируемых функций на отрезке. Критерий Коши интегрируемости функций: ( Необходимое условие интегрируемости по Риману: Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на нем.

1.Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа  ф-ция f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство _aò^bf(x)dx=_aò^bf(x)dx 2. Пусть a<c<b и ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,c] и [b,c] тогда она интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство: _aò^bf(x)dx=_aò^сf(x)dx+_сò^bf(x)dx 3. Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] [a.b] лежащем в этом отрезке. 4. Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] 5. Пусть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ( M>0 |  x[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] 6. Пусть f(x) -интегр-ма на [a,b] и х[a,b] f(x)0 тогда _aò^bf(x)dx0.