Вопрос№3 а)Правило Крамера, б)Th Кронекера-Капелли и в)Th-мы об однородных уравнениях.

а) Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём Следствие. Квадратная система линейных однородных уравнений имеет нулевое решение <-> ее определитель равен 0.

б) Система уравнений вида

называется системой n линейных уравнений с m неизвестными x1, x2, … xm. Здесь aij и bj (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений рис1.

Th:СЛУ (рис.1) совместна  ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы А. Док-во:  ! система совместна и k₁, k₂,…, k_m -одно из её решений. Подставляя эти числа вместо неизвестных в систему, получим s тождеств, кот. показывают, что последний столбец расширенной матрицы является суммой всех остальных столбцов, взятых соответственно с коэффициентами k₁, k₂,…, k_m. Всякий другой столбец расширенной матрицы входит и в матрицу А и поэтому линейно выражается через все столбцы этой матрицы. Обратно, всякий столбец матрицы А является столбцом в расширенной матрице, т.е. линейно выражается через столбцы этой матрицы. След-но системы столбцов матрицы А и расширенной для нее матрицы эквивалентны м/у собой, а поэтому обе эти системы s-мерных векторов имеют один и тот же ранг ( Th). ! теперь дано, что матрица А и расширенная к ней имеют равные ранги. След-но любая максимальная линейно независимая система столбцов матрицы А остается максимальной линейно независимой системой и в расширенной матрице.Т.о., ч/з эту систему, и поэтому и вообще ч/з систему столбцов матрицы А, линейно выражается последний столбец расширенной матрицы. След-но  такая система коэф-в k₁, k₂,…, k_m , что сумма столбцов матрицы А, взятых с этими коэф-ми, равна столбцу из свободных членов, а потому числа k₁, k₂,…, k_m составляют решение нашей системы. Т.о. совпадение рангов матрицы А и расширенной к ней матрицы влечет за собой совместность данной системы.

в) Система уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

В общем случае однородная система имеет вид (1):

T h1. Для того, чтобы однородная система линейных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг этой системы был меньше числа ее неизвестных.

Из этой теоремы вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение.

Следствие 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Система линейно независимых решений , ,…, называется фундаментальной, если каждое решение системы (1) является линейной комбинацией решений , ,…, .

Th2. Если ранг системы однородных уравнений (1) меньше числа неизвестных n, то всякая фундаментальная система решений однородной системы (1) состоит из решений.