Вопрос№6 а)Уравнения прямых и плоскостей в пр-стве. Канонические уравнения б) кривых и в) поверхностей 2-го порядка.

а)Алгебраической пов-стью наз-ся мн-во, кот. в какой-нибудь Д.С.К. м/б задано уравнением вида A₁x^k1 y^l1 z^m1 +…+ A_sx^ks y^ls z^ms=0, где все показатели степени-целые неотр. числа. Max{k_i+l_i+m_i} наз. степенью ур-я (порядком алгебр. пов-сти). Алгебраической линией на плоскости наз-ся мн-во, кот. В какой-нибудь Д.С.К. на плоскости м/б задано ур-ем вида A₁x^k1 y^l1 +…+A_sx^ksy^ls=0, где все показатели степени-целые неотр. числа. Max{k_i+l_i} наз. степенью ур-я (порядком линии).1. Общее ур-ние плоскости в пр-стве (прямой на пл-сти): Ax₁+Bx₂+Cx₃+D=0,где A²+B²+C²0 (Ax₁+Bx₂+C=0,где A²+B²0); 2. Рассм. М (x,y) и M₀(x₀,y₀) (на пл-сти) и М (x,y,z) и M₀(x₀,y₀,z₀) (в пр-стве).(a₁,a₂) и (a₁,a₂,a₃)-компоненты вектора а.Тогда параметрическое ур-е прямой на пл-сти (в пр-стве) имеет вид: (сист) x-x₀=a₁t,y-y₀=a₂t (x-x₀=a₁t,y-y₀=a₂t, z-z₀=a₃t). !(x,y,z) и (x₀,y₀,z₀)-коорд. т. М и М₀,а (p₁,p₂,p₃) и (q₁,q₂,q₃)-компоненты векторов p,q. Тогда (сист) x-x₀=t₁p₁+t₂q₁, y-y₀=t₁p₂+t₂q₂, z-z₀=t₁p₃+t₂q₃-параметрические ур-я плоскости; 3.If l не ||-на оси ординат (a₁0), то l м/б задана ур-ем с угловым коэффиц.: y=kx+b. Векторное ур-е плоскости (r-r₀,n)=0 (здесь n – ненулевой вектор, пл-сти) или (r-r₀,p,q)=0 (здесь p,q-направляющие векторы пл-сти; [p,q]=n). Векторное ур-е прямой линии в п-стве: [r-r₀,a] (здесь a-направляющий вектор прямой, r₀-радиус-вектор нач-й т. прямой); 5.Каноническое ур-е прямой на пл-сти [в пр-стве]: t=(x-x₀)/a₁=(y-y₀)/a₂[ =(z-z₀)/a₃];6. Ур-я прямой в пр-стве (как пересечение 2-х пл-стей): Ax+By+Cz+D=0, A₁x+B₁y+C₁ z+D₁=0.При этом пл-сти не должны совпадать и быть ||. Т.о. накладывается доп. условие: (BC₁-B₁C)²+(CA₁-C₁A)²+(AB₁-A₁B)²0 (хотя бы один  д/б0); 7. Ур-е прямой по 2-м точкам в АСК (и в пр-стве, и на пл-сти): ! M(x,y,z),M₀(x₀,y₀,z₀),M₁(x₁,y₁,z₁). Тогда (x-x₀)/(x₁-x₀)=(y-y₀)/(y₁-y₀)=(z-z₀)/(z₁-z₀);8.Ур-е пл-сти по 3-м точкам в АСК в векторной форме (рис.4): (r-r₀,r₁-r₀,r₂-r₀)=0; 9. Ур-е пл-сти по 3-м точкам в АСК. Здесь т.М лежит в пл-стикогда 1-я,2-я и 3-я строки линейно зависимы (т.е. det=0).

б) 1.Линия,кот. в некот. декартовой ПСК м/б задана ур-ем x₁²/a +x₂²/b=1 (ab) наз. эллипсом. If a=b, то это есть ур-е окр-сти радиуса а.F₁(c,0) и F₂(-c,0) (c²=a²-b² , c0) – фокусы. Отношение =c/a-эксцентриситет эллипса (<1).Прямые x=a/ и x=-a/ - директрисы;2. x₁²/a +x₂²/b=-1 – ур-е мнимого элипса; 3.a²x₁²+c²x₂²=0 - ур-е пары мнимых пересекающихся прямых (ему удовл. только одна точка x₁=x₂=0); 4. Линия,кот. в некот. декартовой ПСК м/б задана ур-ем x₁²/a-x₂²/b=1 наз. гиперболой. Прямые y=bx/a и y=-bx/a – асимптоты. F₁(c,0) и F₂(-c,0) (c²=a²+b² , c>0) – фокусы. Отношение =c/a-эксцентриситет гиперболы (>1). Прямые x=a/ и x=-a/ - директрисы гиперболы; 5. a²x₁²-c²x₂²=0 - ур-е пары пересекающихся (в начале координат) прямых; 6. Линия,кот. в некот. декартовой ПСК м/б задана ур-ем y²=2px (p>0) наз. параболой.Начало канон. сист. координат – вершина параболы. F(p/2,0) – фокус. Прямая x=-p/2 – директриса параболы; 7.y²-a²=0 – ур-е пары параллельных прямых; 8. y²+a²=0 – ур-е пары мнимых параллельных прямых;9. y²=0 – ур-е пары совпавших прямых;

в)Пов-сти 2-го порядка получаются в рез-те вращения линий 2-го порядка вокуг их осей симметрии.1.Пов-сть, кот. в некот. декартовой ПСК имеет ур-е x₁²/a²+x₂²/b²+x₃²/c² =1 (ab) наз. эллипсоидом (рис.5) (вращ. эллипса вокрух его осей симметрии);2. x₁²/a² +x₂²/b²+x₃²/c²=-1 – мнимый эллипсоид; 3. Пов-сть, кот. в некот. декартовой ПСК имеет ур-е a²x₁²+b²x₂²-c²x₃²=0 наз. конусом (вращ. пары пересекающихся прямых вокуг оси апликат+сжатие к пл-сти Y);4 a²x₁²+b²x₂²+c²x₃²=0 – мнимый конус; 5. Пов-сть, кот. в некот. декартовой ПСК имеет ур-е x₁²/a²+x₂²/b²-x₃²/c² =1 (ab) наз. однополостным гиперболоидом (рис.6) (вращ. гиперболы x₁²/a²-x₃²/с²=1 вокруг той оси, кот. её не пересекает);6. Пов-сть, кот. в некот. декартовой ПСК имеет ур-е x₃²/с²-x₁²/a²-x₂²/b²=1 наз. двуполостным гиперболоидом (рис.7) (вращ. гиперболы x₃²/c²-x₁²/a²=1 вокруг той оси, кот. её пересекает); 7. Пов-сть, кот. в некот. декартовой ПСК имеет ур-е x₁²/a²+x₂²/b²=2x₃ наз. эллиптическим параболоидом (рис.8) (вращ. параболы x₁²=2px₃ вокруг её оси симметрии + сжатие к пл-сти x₂=0); 8. Пов-сть, кот. в некот. декартовой ПСК имеет ур-е x₁²/a²-x₂²/b²=2x₃ наз. гиперболическим параболоидом (седло);