Вопрос№20 Формула Ньютона-Лейбница

Непрерывная на отрезке  функция  имеет на этом отрезке первообразную, которая определяется формулой

  , (7.12.1)

где С – произвольная постоянная. Подставляя  в формулу (7.12.1), получаем с учетом свойства определенного интеграла:

  ,

откуда

  .

Тогда из выражения (7.12.1) имеем

  .

Полагая теперь  , получаем формулу

  . (7.12.2)

Равенство (7.12.2) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.

Разность  условно записывают символом  . Формула (7.12.2) дает широкие возможности для вычисления определенных интегралов.

Опред.: рассм.мн-во Е={y, (y)x(y)}. Пусть функция f(x,y) определена на мн-ве Е и y[,] интегрируема по Риману на отрезке [(y),(y)]. Тогда определен интеграл _(y)^(y)f(x,y)dx=Ф(y), который наз.интегралом, зависящим от параметра.

Теорема: (дифференцирование интеграла, зависящего от параметра)

Пусть Е={y, (y)x(y)}. f(x,y) и f/y – непрерывны на E. , - непрерывно дифференцируемы на [,]. Тогда _(y)^(y)f(x,y)dx=Ф(y) явл.дифференцируемой на [,] функцией, причем dФ/dy=

_(y)^(y)f(x,y)/ydx+f((y),y)d/dy-f((y),y)d/dy.

Д-во:

Рассм.ф-ю F(y,u,v)=_u^vf(x,y)dx. Отметим, что F(y, (y), (y))=Ф(y). Ф’(y)=F/y+(F/u)(d/dy)+(F/v)(d/dy).

F как интеграл с переменным нижним пределом интегрирования имеет частную непрерывную производную по u: F/u=-f(x,y).

F как интеграл с переменным верхним пределом интегрирования имеет частную непрерывную производную по v: F/v=f(x,y).

Покажем, что F дифференцируема по y. Тогда F/y=_u^vf(x,y)/ydx. [В частном случае, когда uxv, u,v=const, тогда F(y)=_u^vf(x,y)dx явл.дифференцируемой на y, причем dF/dy=_u^vf(x,y)/ydx].

Рассм.разность и покажем непрерывнось фу-ии F: ΔF=F(y+Δy,u+Δu,v+Δv)-F(y,u,v)=_u+Δu^v+Δvf(x,y+Δy)dx-_u^vf(x,y)dx=_u^v [f(x,y+Δy)-f(x,y)]dx+_v^v+Δvf(x,y+Δy)dx-_u^u+Δuf(x,y+Δy)dx=[применим формулу конечных приращений Лагранжа]=[_u^vf(x,y+Δy)/ydx]Δy+[F(v+Δv,y+Δy)-F(v,y+Δy)]-[ F(u+Δu,y+Δy)-F(u,y+Δy)]=[еще раз применим формулу конечных приращений Лагранжа]=[_u^vf(x,y+Δy)/ydx]Δy+f(v+₁Δv,y+Δy)Δv- f(u+₂Δu,y+Δy)Δu. Если (Δy,Δu,Δv)(0,0,0), то ΔF0 – это означает непрерывность F. Рассм.предел при Δy0 отн-ния ΔF(y,u,v)/Δy (lim_(Δy0) ΔF(y,u,v)/Δy=F(y,u,v)/y): lim_(Δy0) ΔF(y,u,v)/Δy =_u^vf(x,y+Δy)/ydx+f(v+₁Δv,y+Δy)Δv/Δy - f(u+₂Δu,y+Δy)Δu/Δy.

Заменяя u=(y), v=(y), учитывая, что (y), (y) – непрерывно дифференцируемы на [,] (т.е. при Δy0 Δ0, Δ0, ’(y)=lim_(Δy0)Δu/Δy, ’(y)=lim_(Δy0)Δv/Δy), получим:

dФ/dy=lim_(Δy0)ΔF(y,(y),(y))/Δy =_(y)^(y)f(x,y)/ydx+f((y),y)’(y)-f((y),y)’(y).

Вопрос№21 Кратные интегралы. Теорема Фубини. Поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.

Число I наз.кратным интегралом Римана функции f(x) по измеримому мн-ву E, если >0 _>0 такое, что , ||<_ и ⁽ⁱ⁾E_i выполняется |_(f,⁽ⁱ⁾)-I|< (или lim_(||0)_(f,⁽ⁱ⁾)=I).Обозначается _Efd(E) или .._(E)..f(x₁,…,x_n)dx₁…dx_n. Здесь ={E_i} – разбиение измеримого мн-ва Е на измеримые мн-ва Е_i, таких, что 1)(Е_iE_j)=0 ij 2)_i=1^i()E_i=E, i_ - число эл-тов разбиения.|| - мелкость разбиения ||=max{d(E₁),…,d(E_i())}, d(E)=sup_{(aE,bE)}(a,b) – диаметр мн-ва ЕRⁿ.(E) – n-мерный объем. Пусть f:ERⁿ, ЕRⁿ, E – измеримо.  - некоторое разбиение. Произвольным образом выберем точку ⁽ⁱ⁾=(₁⁽ⁱ⁾,… _n^i())E_i и составим выражение вида _(f,⁽ⁱ⁾)=_i=1^i()f(⁽ⁱ⁾)(E_i). Оно называется интегральной суммой Римана.

Криволинейный интеграл первого рода. Пусть Г – спрямляемая непрерывная кривая в R³_xyz. f(x,y,z)–непрерывна на Г. П усть Т={=t₀<t₁<…<t_k<t_k+1<…<t_n=} - разбиение этой кривой. Точка М_к(x(t_k),y(t_k),z(t_k))Г. Пусть t_k_kt_k+1, k=0,…,(n-1). N_k(x(_k),y(_k),z(_k))М_кМ_к+1(отрезок кривой). _Т(_k)=_k=0^n-1f(N_k)Δs_k, Δs_k=|М_кМ_к+1|. Если  конечный lim_{((Т)0)}_Т(_k), то он наз.криволинейным интегралом первого рода ((Т)=max_(k)(t_k+1-t_k) – диаметр разбиения Т). Обоз. _Гf(x,y,z)ds.

Криволинейный интеграл второго рода: Пусть дана ф-я трех переменных P(x,y,z) – непрерывна в области GГ, Г – кусочно-гладкая кривая с уравнением Г:r^=r^(t), atb. Возьмем некоторое разбиение Т={=t₀<t₁<…<t_k<t_k+1<…<t_n=}. Пусть М_к(x(t_k),y(t_k),z(t_k))Г, k=0,…,(n-1). r^=x(t)i^+y(t)j^+z(t)k^. Пусть t_k_kt_k+1, k=0,…,(n-1). _Т(_k)=_k=0^n-1P(N_k)(x_k+1- x_k) – интегральная сумма, Δs_k=|М_кМ_к+1|.N_k(x(_k),y(_k),z(_k))М_кМ_к+1(отрезок кривой). Если  конечный lim_{((Т)0)}_Т(_k), то он наз. криволинейным интегралом второго рода по координате x ((Т)=max_(k)(t_k+1-t_k) – диаметр разбиения Т). Обоз. _ГP(x,y,z)dx. Аналогично, если рассматривать ф-ии Q(x,y,z) и R(x,y,z), непрерывные вдоль Г, то также вводятся интегралы _ГQ(x,y,z)dy, _ГR(x,y,z)dz. _ГP(x,y,z)dx+_ГQ(x,y,z)dy+_ГR(x,y,z)dz наз.общим криволинейным интегралом второго рода. Формула Грина (связывает двойной интеграл с интегралом второго рода по границе).

1)Пусть GR² – ограниченная, замкнутая область с кусочно-гладкой границей. 2)Даны две ф-ии Q(x,y), P(x,y)- непрерывны и P,QC¹(G).Тогда справедлива формула: _G(Q/x-P/y)dxdy=_GP(x,y)dx+Q(x,y)dy.

приложения формулы Грина: 1)_G[Q/x-P/y]dxdy=_GP(x,y)dx+Q(x,y)dy. 2)пусть в 1) Q=x P=0, тогда _Gdxdy=G=|G|=[ - площадь G]=_Gxdy. 3)пусть в 1) P=-y Q=0, тогда _Gdxdy=G=|G|=[ - площадь G]=-_Gydx.

4)сложим (2) и (3) и разделим на 2, тогда G=1/2_Gxdy-ydx.

Поверхностный инт.первого рода: пусть S – двусторонняя простая гладкая регулярная поверхность с кусочно-гладкой границей, задана ф-я f(x,y,z)=f(M), определенная на S. Разобьем S сеткой кусочно-гладких кривых на части: S=_i=1ⁿS_i; intS_iintS_k=0 (при ik эти части не имеют общих внутренних точек). Выберем точку M_i(x_i,y_i,z_i)S_i, i=1,…,n и составим интегральную сумму _Т=_i=1ⁿf(x_i,y_i,z_i)|S_i|. Т – разбиение S на S_i. |S_i| - площадь S_i. Пусть _Т=max_idiamS_i, где diam(ER³)=sup_(M1,M2E)(M₁,M₂). (Если E – компакт, т.е. замкнутое и ограниченное мн.в R³, то diam(ER³)=max_(M1,M2E)(M₁,M₂)). Если  конечный предел инт.суммы lim_{((Т)0)}_i=1ⁿf(x_i,y_i,z_i)|S_i|=I, то он наз.поверхностным инт.первого рода. Обоз. I=_Sf(x,y,z)dS.

Поверхностный инт.второго рода: пусть S – двусторонняя простая гладкая регулярная поверхность с кусочно-гладкой границей.выбирается какая-то одна сторона поверхности. Сетью кусочно-гладких кривых разбиваем поверхность на части, т.е. S=_i=1ⁿS_i; intS_iintS_k=0 (при ik эти части не имеют общих внутренних точек). Пусть D_i – площадь проекции куска поверхности S_i на плоскость XOY, снабженная знаком (+) или (-) по следующему правилу: (+) выбирается, если cos(n^Oz)>0 (угол острый); (-)выбирается, если cos(n^Oz)<0 (угол тупой). D_i=|S_i|cos(n(M_i),Oz). Составим инт.сумму _Т(M_i)=_i=1ⁿR(x_i,y_i,z_i)D_i. M_iS_i, M_i(x_i,y_i,z_i) – выбор точек на каждом куске поверхности. Т – разбиение поверхности. Если конечный предел I этой инт.суммы lim_{((Т)0)}_i=1ⁿR(x_i,y_i,z_i)D_i=I, то он наз.поверхностным инт.второго рода. Обоз. I=_SR(x,y,z)dxdy. Точно также определяются и два остальных интеграла _SP(x,y,z)dydz, _SQ(x,y,z)dzdx. Для _SP(x,y,z)dydz D_i=|S_i|cos(n(M_i),Ox); Для _SQ(x,y,z)dzdx D_i=|S_i|cos(n(M_i),Oy).Если все три инт. , то их сумма образует общий поверхностный инт.второго рода _SR(x,y,z)dxdy+_SP(x,y,z)dydz+_SQ(x,y,z)dzdx.

Теорема(Формула Гаусса-Остроградского): Пусть S – простая гладкая регулярная ограниченная и замкнутая поверхность. G – область, ограниченная этой поверхностью. P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)C¹(G^). Тогда _G(P/x+Q/y+R/z)dxdydz=_SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=_S(Pcos+Qcos+Rcos)dS, cos, cos, cos - направляющие cos вектора n. Теорема (формула Стокса): Пусть 1)в пр-ве R³ задан простой замкнутый гладкий (кусочно-гладкий) контур Г 2)S – простая гладкая регулярная двусторонняя поверхность, натянутая на этот контур. 3)P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)C¹(G), где G – область в R³, содержащая поверхность S. Ориентация поверхности согласована с направлением обхода контура.

Тогда _ГPdx+Qdy+Rdz= =_S[(R/y-Q/z)cos+(P/z-R/x)cos+(Q/x-P/y)cos]dS=_S(R/y-Q/z)dydz +(P/z-R/x)dzdx +(Q/x-P/y)dxdy].