Вопрос№23 Разложение функции по ортогональной системе функций, ряд Фурье, условие замкнутости ортогональной системы (равенство Парсеваля-Стеклова).

Система тригонометрических фу-ий ½, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x),… явл.ортогональной системой ф-ий на отр.[-;], т.к. выполняются следующие св-ва:

1. _-^cos(nx)cos(mx)=0, nm

2. _-^cos(nx)sin(mx)=0, nm

3. _-^sin(nx)sin(mx)=0, nm

4. _-^cos²(nx)=,

5. _-^sin²(nx)=,

Пусть ф-я f(x) абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на отр.[-;]. Рядом Фурье ф-ии f(x) наз.тригонометрический ряд a₀/2+_n=1^(a_ncos(nx)+b_nsin(nx)), коэффициенты которого определяются по формулам: a_n=1/_-^f(x)cos(nx)dx, n=0,1,…; b_n=1/_-^f(x)sin(nx)dx, n=1,2,…

Вопрос№24 Метрика, метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества.

Функция , заданная на мн-ве X, называется метрикой X, если выполняется: 1)x,yX (x,y)0; (x,y)=0  x=y

2)x,yX (x,y)=(y,x)

3)x,y,zX (x,y)(x,z)+(y,z) – аксиома треугольника.

Метрическим пространством наз.пара, состоящая из мн-ва X и заданной на нем метрики : обоз. (X,).

Приведем примеры метрических пространств:

1. пусть (x,y)={0, если x=y; 1, если xy} – Пространство изолированных точек.

2. (x,y)=|x-y| - метрическое прос-во R¹.

3. (x,y)=(_k=1ⁿ(y_k-x_k)²)^ - евклидово пр-во Rⁿ.

4. Рассм.мн-во m всех ограниченных последовательностей x=(x₁,x₂,…), y=(y₁,y₂,…) действительных чисел. При этом (x,y)=sup_{( по k)}|y_k-x_k|.

5. Пр-во C₀ состоит из сходящихся к нулю числовых последовательностей и (x,y)=max_{(по kN)}|y_k-x_k|.

6. Пр-во C^k[a,b] – пр-во k-раз непрерывно дифференцируемых функций на [a,b]. (x,y)=_i=1^kmax_(t[a,b])|x⁽ⁱ⁾(t)-y⁽ⁱ⁾(t)|. При этом считается, что C⁰[a,b]=C¹[a,b].

7. Пр-во l_p состоит из векторов x=(x₁,x₂,…), y=(y₁,y₂,…), где x_k, y_kR( или C), таких, что ряд _k=1^|x_k|^p<+, _k=1^|y_k|^p<+ (p1); (x,y)=(_k=1^|x_k-y_k|^p)^(1/p).

8. Пр-во l_pⁿ состоит из векторов x=(x₁,x₂,…,x_n), y=(y₁,y₂,…,y_n), где x_k, y_kR( или C), (p>1); (x,y)=(_k=1ⁿ|x_k-y_k|^p)^(1/p).

Мн-во MX наз.открытым, если оно содержит каждую свою точку вместе с некоторой её окрестностью, т.е. mM r>0 такое, что S_r(m)M.

Мн-во М наз.замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием (т.е. M=M^=MUM, M - мн-во предельных точек для М (точка m наз.предельной точкой мн-ва М, если в любой окрестности точки m содержится хотя бы одна точка мн-ва М, отличная от самой точки m)).

Вопрос№25 Фундаментальная последовательность, полное пространство.

Последовательность {x_n} фундаментальна в метрич.пр-ве (X,), если >0 N n,m>N (x_n,x_m)< (или >0 N n>N pN  (x_n,x_m)< или >0 N n,m>N lim_(n,m) (x_n,x_m)=0).

Любая сходящаяся последовательность является фундаментальной (условие Коши). Обратное верно только для полных пространств, в частности для вещественных чисел.

Метрическое пр-во наз.полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сх-ся.

Метрическое пространство называется по́лным, если любая фундаментальная последовательность точек имеет предел.

Примеры:

1. пусть (x,y)={0, если x=y; 1, если xy} – Пространство изолированных точек. В пр-ве изолированных точек фундаментальны лишь стационарные последовательности, т.е. такие последовательности, в которых, начиная с некоторого номера, повторяется все время одна и та же точка.

2. (x,y)=|x-y| - метрическое прос-во R¹. Полнота евклидова пр-ва известна из матем.анализа.

3. (x,y)=(_k=1ⁿ(y_k-x_k)²)^ - евклидово пр-во Rⁿ. Его полнота вытекает из полноты пр-ва R.

4. Также явл.полными пр-ва l₂, C[a,b].