Вопрос№8 Th о функциональной полноте ив.

Th о функциональной полноте ИВ.

Лемма1: Элементарная дизъюнкция Ф вида P₀^t0…P_n^tn принимает значение 0 на единственном наборе t=<t₀,…,t_n> значений истинности переменных P₀,…,P_n.Док-во: Ф построена из ф-л P_i^ti при помощи операции . Из таблицы истинности для  , что if одна из ф-л P_i^ti приняла значение 1, то Ф также приняла бы значение 1., P_i должна принимать значение t_i .

Th: ! f-ф-ция. опред. на наборах <t₀,…,t_n> нулей и единиц и принимающая нуль или единицу в качестве значений. Тогда  такая ф-ла Ф ИВ, переменные кот. содержатся среди Q₀,…,Q_n и T_ф(Q₀,…,Q_n)=f.Док-во: If f1, то в качестве Ф м/взять ф-лу Q₀Q₀.Будем обозначать набор <t₀,…,t_n> Эл-в мн-ва {0,1} ч/з t, а ч/з f(t)-значение ф-ции f(t₀,…,t_n).! мн-во X={t |f(t)=0} не пусто. Возьмем в качестве Ф ф-лу вида (tX)(Q₀^t0… Q_n^tn).Докажем, что T_ф(t)=0 tX.! T_ф(t)=0. Т.к. Ф построена из конъюнктивных членов с помощью операции ,то конъ-ный член , кот. ложен на наборе t.  имеет вид Q₀^t0’…Q_n^tn’,где t’X. В силу леммы1t’=t и, t’X. ! теперьtX. По лемме1 конъюнктивный член  вида Q₀^t0…Q_n^tn ложен на наборе t. Используя опять то, что Ф построена из конъюнктивных членов (среди кот. находится ) при помощи операции ,заключаем, что T_ф(t)=0.

Вопрос№9 а)предел посл-сти и б)предел ф-ции в точке.

a) Опр!: 2) а) Число а наз. пределом посл-сти {x_n}, if >0  натур-е число N: n>N |x_n-a|< (n>N).[Обозначение: limx_n=limx_n при n=a]; б) Геометр. опр. предела.: переменная x_n имеет пределом число (точку) а, if >0  натур-е число N: n>N точки x_n(a-,a+); в) переменная x_n имеет пределом число (точку) а, if вне любой окр-сти т.а имеется конечное или пустое мн-во точек x_n. # ! {1/n}={1,1/2,1/3,…}. Докажем, что lim1/n при n=0. Зададим  и сост. нер-ство |x_n|=1/n<. Оно верно n>1/ или для n>N, где N-какое-либо натур-е число N>1/.Т.о. для >0  такое натур. число N,что | x_n |< для n>N. Утверждение: Если 2 посл-сти {x_n},{x_n’} имеют только конечное число различных соответствующих эл-тов (имеющих одинаковый индекс n), то они одновременно либо не имеют пределов, либо имеют пределы и притом равные. Св-ва переменных, стремящихся к пределам, выражают след. Th-мы. Th1: If переменная x_n имеет предел, то она ограничена.Th2: If переменная x_n имеет не равный 0 предел а, то  такое N, что | x_n |>|a|/2 для n>N. Более того,для указанных n, if a>0, то x_n>a/2, если же a<0, то x_n<a/2, Т.о. начиная с некот. номера, x_n сохраняет знак а. Th3:If x_na, y_nb и x_ny_n n=1,2,…,то ab. Th4: If переменные x_n и y_n стремятся к одному и тому же пределу а и x_nz_ny_n (n=1,2,…), то переменная z_n также стремится к а. Th5: If x_na,то |x_n||a|.

б)Опр! 1) Т.x₀ наз. предельной точкой мн-ва Е,if в любой её окр-сти xE, x≠x₀;2)(по Коши)Число А наз пределом ф-ции f:ER в т.x₀ (наз. предельной)мн-ва Е,if (>0)(>0)(xE,0<|x-x₀|<)|f(x)-A|<; 3)(по Гейне)! f:ER, x₀-пред. т. мн-ва Е. А наз. пределом ф-ции в т. x₀,if {x_n}_n=1^,такой, что lim x_n=x₀ при n выполняется следующее: lim f(x) при n =A. !!!опред-ия по Коши/по Гейне .4)(яз. окр-стей) …,if -окр-сти V(A,) -окр-сть U^(x₀,): x(EU^(x₀,)) f(x)V(A,); 5)1-ый замечат-ый предел: lim sin(x)/x=1 xx₀; 6)Бесконечный предел: lim f(x)=A, x(>0)(>0)(x |x|<1/)|f(x)-A|<; lim f(x)=+, x-(>0)(>0)(x x<-1/)f(x)>1/; 7)А-правосторонний предел ф-ции в т.х₀,if (>0)(>0)(x 0<x-x₀<)|f(x)-A|< [lim f(x)=A, xx₀+0]; А-левосторонний предел ф-ции в т.х₀,if (>0)(>0)(x -<x-x₀<0)|f(x)-A|< [lim f(x)=A, xx₀-0]; 8) f(x):ER удовл. усл. Коши в т.x₀,когда (>0)( U^(x₀,))(x’,х”U^(x₀,)): |f(x’)-f(x”)|<;9)Монотонные ф-ции !f(x):ER.Возрастающая[неубывающая] (x₁,х₂)(x₁<x₂) f(x₁)<f(x₂) [f(x₁)f(x₂)]; Убывающая[невозрастающая] (x₁,х₂)(x₁<x₂) f(x₁)>f(x₂) [f(x₁)f(x₂)]; Св-ва: Th1: If f:ER имеет lim f(x)=A при xx₀,то f ограничена. Док-во: (по Коши) (>0)(>0)(xE,0<|x-x₀|<)|f(x)-A|<, т.е. x{0<|x-x₀|<} A-<f(x)<A+,т.е. ф-я огр. снизу и сверху.Th2: If f:ER имеет lim f(x) при xx₀,то он-единственный.Док-во: восп. опр. на яз. окр-стей. Допустим противное, т.е. lim f(x) при xx₀=А₁, lim f(x) при xx₀=А₂, А₁≠А₂(!А₁<А₂).Тогда найдутся 2 непересек. окр-сти чисел А₁ и А₂. (рис.1). Согласно опр. предела ₁ и ₂ (U^(x₀,₁) и U ^(x₀,₂)): xU^(x₀,₁)E и xU^(x₀,₂)E  f(x)V₁(A₁,) и f(x)V₂(A₂,). ! =min{₁,₂}. Тогда  xU^(x₀,): f(x)V₁(A₁,) и f(x)V₂(A₂,) .Th3 (арифм.св-ва):! ф-ции f:ER и g:ER имеют lim f(x)=A при xx₀ и lim g(x)=B при xx₀.Тогда а) lim (f+g)=A+B при xx₀; б) lim (f*g)=A*B при xx₀;в) if B0, то lim (f/g)=A/B при xx₀;г) из Th2  if=const, то lim (с*g) при xx₀ = с*lim g при xx₀.Th4: ! f:ER и g:ER, а lim f(x)=A при xx₀ и lim g(x)=B при xx₀.If A<B,то  U^(x₀,):xU^(x₀,) f(x)<g(x). Док-во:(опр. Коши)(>0)(₁>0)(x U^(x₀,₁)):|f(x)-A|<,т.е. A-<f(x)<A+. (>0)(₂>0)(xU^(x₀,₂)):|g(x)-B|<,т.е. B-<g(x)<B+.Возьмем  так,чтобы A+<B-,а =min{₁,₂},тогдаxU^(x₀,).Th5:(о 2-х ментах)! f:ER,g:ER,h:ER. xE f(x)g(x)h(x) и lim f(x)при xx₀=lim h(x)при xx₀=A, тогда  lim g(x)=A при xx₀.Док-во: (опр.Гейне)!{x_n}_n=1^ такая,что lim x_n=x₀ при n.По опр. предела lim f(x_n)при n=lim h(x_n)при n=A. По усл. Th f(x_n)g(x_n)h(x_n),n=1,…,n. По Th о 2-х ментах для посл-стей  lim g(x_n)=A при n. Т.к. {x_n} –произв. посл-сть, то согласно опр. по Гейне, получаем lim g(x)=A при xx₀ . Др.Th-мы: Th1: ! f:ER,x₀-предельная т. мн-ва Е. f(x) имеет в т. x₀ пределf(x) имеет в этой т. односторонние пределы, причем lim f(x),xx₀-0=lim f(x),xx₀+0=lim f(x),xx₀. Th2: f:ER,x₀-конечная пред. т. f(x) имеет в т.х₀ конечный пределf(x) удовл. усл. Коши. Th3: f:ER,f-возрастающая, b=supE.If f(x) огр. сверху, то  lim f(x),xb-0=sup f(x),xE.