- •Глава 6. Постановки задачи нелинейного программирования (знп) и основные определения…………………………...3
- •Глава 7. Задача одномерной оптимизации…………………………………….13
- •Глава 8. Графический метод решения знп…………………………………...33
- •Глава 10. Выпуклое программирование……………………………………....62
- •Глава 11. Квадратичное программирование…………………………………74
- •Глава 12. Задача безусловной оптимизации (збо)…………………………………………………………………..81
- •Глава 13. Задача условной оптимизации (зуо)……………………….……127
- •Глава 6.
- •6.1. Задача нелинейного программирования (знп) и ее постановки.
- •6.2. Основные определения.
- •6.3. Классификация знп.
- •6.4. Классическая оптимизация.
- •Глава 7. Методы одномерной оптимизации
- •Постановка задачи. Основные понятия
- •7.2. Поиск отрезка, содержащего точку максимума Алгоритм Свенна
- •Методы нулевого порядка.
- •Дихотомический поиск (метод деления отрезка пополам)
- •Метод золотого сечения
- •Метод дск-Пауэлла
- •7.4. Методы первого порядка.
- •Метод средней точки
- •Метод хорд (секущих)
- •Метод кубической аппроксимации
- •7.5. Методы второго порядка. Метод Ньютона-Рафсона
- •Итерация 1
- •Глава 8. Графический метод решения знп.
- •8.1. Алгоритм графического метода решения знп
- •8.2. Решение примеров.
- •Выпуклые и вогнутые функции
- •9.1. Определения
- •9.2. Свойства вогнутых (выпуклых) функций
- •9.3. Критерии вогнутости (выпуклости) гладких функций
- •9.4. Экстремальные свойства вогнутых (выпуклых) функций
- •9.5. Сильно вогнутые (выпуклые) функции
- •9.5.1. Определение. Примеры
- •9.5.2. Свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций
- •9.5.3. Критерии сильной вогнутости (выпуклости)
- •9.5.4. Экстремальные свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций
- •Глава 10. Выпуклое программирование
- •10.1. Постановка задачи
- •10.2. Функция Лагранжа. Седловая точка функции Лагранжа, условия ее существования Определение 10.1. Функция , (10.10)
- •10.3. Достаточные условия оптимальности
- •10.4. Условия регулярности выпуклого множества
- •10.5. Теорема Куна-Таккера. Общий случай
- •10.6. Теорема Куна-Таккера. Случай линейных ограничений
- •Глава 11. Квадратичное програмирование.
- •11.1. Постановка задачи квадратичного программирования (зкп)
- •11.2. Применение теории Куна-Таккера к решению зкп.
- •11.3. Решение задач.
- •Глава 12. Методы безусловной оптимизации
- •12.1. Постановка задачи
- •Алгоритм метода спуска
- •. Методы нулевого порядка (прямого поиска)
- •Метод Хука-Дживса
- •Алгоритм метода Хука-Дживса, использующий одномерный поиск
- •Метод покоординатного спуска
- •Первый вариант
- •Второй вариант
- •Методы первого и второго порядков
- •Градиентные методы. Метод скорейшего спуска – метод Коши
- •Метод Ньютона
- •Модифицированный метод Ньютона
- •Методы, использующие сопряженные направления
- •Определение сопряженных направлений
- •Оптимизация квадратичной функции. Конечная сходимость алгоритмов, использующих сопряженные направления
- •12.4.4. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла Шаг 1.Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла (дфп) принадлежит к классу квазиньютоновских методов, в которых направление поиска задаётся в виде
- •Алгоритм метода дфп
- •Итерация 1
- •Шаг 2. Вычислим , тогда .
- •Шаг 2. Вычислим , тогда .
- •12.4.5. Метод сопряжённых градиентов Флетчера-Ривса
- •Алгоритм метода Флетчера-Ривса
- •Глава 13. Методы условной оптимизации
- •13.1. Постановка задачи. Классификация методов
- •Общая схема методов условной оптимизации
- •Шаг 2.Шаг 1. Выбрать ( -я итерация) – возможное направление подъёма функции в точке . Если такого направления нет, то - решение задачи. В противном случае перейти к шагу 2.
- •13.2. Методы возможных направлений
- •13.2.1. Метод Зойтендейка
- •Пример 13.2
- •Итерация 3
- •Шаг 4.Рисунок 13.6
- •13.2.2. Метод Топкиса-Вейнотта
- •Пример 13.3
- •Итерация 1
- •Шаг 5.Рисунок 13.7
- •Алгоритм метода Топкиса-Вейнотта
- •13.2.3. Метод Франка-Вульфа
- •Алгоритм метода Франка-Вульфа
- •Шаг 5. Находим шаг в направлении новой точки . Решение этой задачи (одномерной): .
- •Шаг 3. Так как , переходим к шагу 4.
- •Шаг 5. Решаем задачу: .
- •Литература
Выпуклые и вогнутые функции
9.1. Определения
Определение 9.1. Функция , определенная на выпуклом множестве , называется вогнутой (выпуклой) на этом множестве, если
|
(9.1) |
для всех и всех , .
Определение 9.2. Если для любого неравенство выполняется как строгое, то функция называется строго вогнутой (выпуклой) на .
Функция называется выпуклой (строго выпуклой) на выпуклом множестве , если вогнута (строго вогнута) на множестве .
Замечание 9.1. Если множество пусто или состоит из одной точки, то функцию можно считать вогнутой (выпуклой) по определению.
Замечание 9.2. Линейная функция на всем пространстве является одновременно и вогнутой и выпуклой.
9.2. Свойства вогнутых (выпуклых) функций
Теорема 9.1. Если функции , , вогнуты (выпуклы) на выпуклом множестве , то функция вогнута (выпукла) на для всех , .
Теорема 9.2. Сумма строго вогнутой и вогнутой функций есть функция строго вогнутая.
Теорема 9.3. Если вогнута (выпукла) на выпуклом множестве и , , , , , то
|
(9.2) |
Терема 9.4. Пусть – выпуклое множество, а функция выпукла (вогнута) на , тогда множество выпукло для любого ( – действительное число).
Если функция непрерывна на , а множество замкнуто, то множество замкнуто.
Доказательство. Возьмем произвольные , . Используя выпуклость множества и выпуклость функции , имеем , то есть . Следовательно, множество выпукло.
Пусть функция непрерывна на . Возьмем какую-либо предельную точку множества . Тогда существует последовательность , сходящаяся к . В силу замкнутости точка . Так как непрерывна в точке и , , то , т.е. . Следовательно, замкнуто.
Теорема 9.5. Пусть множество выпукло и . Тогда выпуклая (вогнутая) функция , определенная на , является непрерывной во всех внутренних точках этого множества.
Следствие. Если функция выпукла (вогнута) на всем пространстве , то функция непрерывна во всех точках.
Определение 9.3. Производной функции , определенной на множестве , в точке по направлению будем называть число .
Если функция дифференцируема на множестве , то имеет производные по всем направлениям в любой точке и .
Определение 9.4. Направление в точке называется возможным, если существует такое число , что для всех точки .
Очевидно, если , то любое направление в этой точке является возможным.
Теорема 9.6. Пусть множество выпукло и . Тогда вогнутая (выпуклая) функция , определенная на множестве , имеет в каждой внутренней точке этого множества производную по любому направлению .
Теорема 9.7. Пусть функция выпукла (вогнута) и не убывает в промежутке ( не исключается), функция выпукла (вогнута) на выпуклом множестве , причем для всех . Тогда функция является выпуклой (вогнутой) на множестве .
Следствия из теоремы 9.7.
Пусть функция и выпукла на выпуклом множестве , тогда функция при всех , будет выпуклой на .
Если функция выпукла на выпуклом множестве , то выпукла на и функция , .
Если функция и выпукла на выпуклом множестве , то выпуклы на и функции , , .