- •Глава 6. Постановки задачи нелинейного программирования (знп) и основные определения…………………………...3
- •Глава 7. Задача одномерной оптимизации…………………………………….13
- •Глава 8. Графический метод решения знп…………………………………...33
- •Глава 10. Выпуклое программирование……………………………………....62
- •Глава 11. Квадратичное программирование…………………………………74
- •Глава 12. Задача безусловной оптимизации (збо)…………………………………………………………………..81
- •Глава 13. Задача условной оптимизации (зуо)……………………….……127
- •Глава 6.
- •6.1. Задача нелинейного программирования (знп) и ее постановки.
- •6.2. Основные определения.
- •6.3. Классификация знп.
- •6.4. Классическая оптимизация.
- •Глава 7. Методы одномерной оптимизации
- •Постановка задачи. Основные понятия
- •7.2. Поиск отрезка, содержащего точку максимума Алгоритм Свенна
- •Методы нулевого порядка.
- •Дихотомический поиск (метод деления отрезка пополам)
- •Метод золотого сечения
- •Метод дск-Пауэлла
- •7.4. Методы первого порядка.
- •Метод средней точки
- •Метод хорд (секущих)
- •Метод кубической аппроксимации
- •7.5. Методы второго порядка. Метод Ньютона-Рафсона
- •Итерация 1
- •Глава 8. Графический метод решения знп.
- •8.1. Алгоритм графического метода решения знп
- •8.2. Решение примеров.
- •Выпуклые и вогнутые функции
- •9.1. Определения
- •9.2. Свойства вогнутых (выпуклых) функций
- •9.3. Критерии вогнутости (выпуклости) гладких функций
- •9.4. Экстремальные свойства вогнутых (выпуклых) функций
- •9.5. Сильно вогнутые (выпуклые) функции
- •9.5.1. Определение. Примеры
- •9.5.2. Свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций
- •9.5.3. Критерии сильной вогнутости (выпуклости)
- •9.5.4. Экстремальные свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций
- •Глава 10. Выпуклое программирование
- •10.1. Постановка задачи
- •10.2. Функция Лагранжа. Седловая точка функции Лагранжа, условия ее существования Определение 10.1. Функция , (10.10)
- •10.3. Достаточные условия оптимальности
- •10.4. Условия регулярности выпуклого множества
- •10.5. Теорема Куна-Таккера. Общий случай
- •10.6. Теорема Куна-Таккера. Случай линейных ограничений
- •Глава 11. Квадратичное програмирование.
- •11.1. Постановка задачи квадратичного программирования (зкп)
- •11.2. Применение теории Куна-Таккера к решению зкп.
- •11.3. Решение задач.
- •Глава 12. Методы безусловной оптимизации
- •12.1. Постановка задачи
- •Алгоритм метода спуска
- •. Методы нулевого порядка (прямого поиска)
- •Метод Хука-Дживса
- •Алгоритм метода Хука-Дживса, использующий одномерный поиск
- •Метод покоординатного спуска
- •Первый вариант
- •Второй вариант
- •Методы первого и второго порядков
- •Градиентные методы. Метод скорейшего спуска – метод Коши
- •Метод Ньютона
- •Модифицированный метод Ньютона
- •Методы, использующие сопряженные направления
- •Определение сопряженных направлений
- •Оптимизация квадратичной функции. Конечная сходимость алгоритмов, использующих сопряженные направления
- •12.4.4. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла Шаг 1.Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла (дфп) принадлежит к классу квазиньютоновских методов, в которых направление поиска задаётся в виде
- •Алгоритм метода дфп
- •Итерация 1
- •Шаг 2. Вычислим , тогда .
- •Шаг 2. Вычислим , тогда .
- •12.4.5. Метод сопряжённых градиентов Флетчера-Ривса
- •Алгоритм метода Флетчера-Ривса
- •Глава 13. Методы условной оптимизации
- •13.1. Постановка задачи. Классификация методов
- •Общая схема методов условной оптимизации
- •Шаг 2.Шаг 1. Выбрать ( -я итерация) – возможное направление подъёма функции в точке . Если такого направления нет, то - решение задачи. В противном случае перейти к шагу 2.
- •13.2. Методы возможных направлений
- •13.2.1. Метод Зойтендейка
- •Пример 13.2
- •Итерация 3
- •Шаг 4.Рисунок 13.6
- •13.2.2. Метод Топкиса-Вейнотта
- •Пример 13.3
- •Итерация 1
- •Шаг 5.Рисунок 13.7
- •Алгоритм метода Топкиса-Вейнотта
- •13.2.3. Метод Франка-Вульфа
- •Алгоритм метода Франка-Вульфа
- •Шаг 5. Находим шаг в направлении новой точки . Решение этой задачи (одномерной): .
- •Шаг 3. Так как , переходим к шагу 4.
- •Шаг 5. Решаем задачу: .
- •Литература
9.3. Критерии вогнутости (выпуклости) гладких функций
Непрерывно-дифференцируемую на множестве функцию будем называть гладкой функцией. Множество таких функций принято обозначать через .
Дважды непрерывно-дифференцируемую функцию будем называть дважды гладкой.
Теорема 9.8. Пусть – выпуклое множество, функция . Для того чтобы была вогнута (выпукла) на , необходимо и достаточно выполнение неравенства , для всех (9.3)
Доказательство. Необходимость. Пусть функция вогнута на множестве . Перепишем неравенство (9.1) в виде
, , , или , или (9.4) , где , .
Так как функция , то в неравенстве (9.4) можно перейти к пределу :
.
Откуда получаем требуемое неравенство (9.3)
или
.
Достаточность. Пусть для некоторой гладкой функции на выпуклом множестве выполняется неравенство (9.3). Покажем, что тогда вогнута на . Возьмем произвольные точки и число , . Рассмотрим точку . Для пары точек , из неравенства (9.3) получим соответственно
, (9.5)
, (9.6)
Умножим неравенство (9.5) на , (9.6) – на и сложим. Получим: , или , т.е. (9.1).
Замечание. В случае функции одной переменной неравенство (9.3) имеет вид , откуда следует, что график вогнутой функции лежит не выше касательной к этому графику в любой точке .
Теорема 9.9. Пусть – выпуклое множество, функция . Тогда, для того чтобы была вогнута (выпукла) на , необходимо и достаточно выполнение неравенства для всех
Теорема 9.10. Пусть – выпуклое множество из , , функция . Тогда для вогнутости (выпуклости) на необходимо и достаточно выполнение неравенства (9.7)
для всех и , где
(9.8)
Замечание. Условие (9.7) представляет собой условие неположительности квадратичной формы на : . (9.9)
Существует алгебраический критерий неположительности квадратичной формы: для того чтобы квадратичная форма для всех , необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы имели следующие знаки:
(9.10)
Условие – условие неотрицательности квадратичной формы.
Алгебраический критерий неотрицательности квадратичной формы: для того чтобы выполнялось условие квадратичной формы для всех , необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были неотрицательны
. (9.11)
Неравенство (9.7) является удобным средством проверки вогнутости (выпуклости) дважды гладких функций.
Пример 9.1. Вогнутой функцией является квадратичная функция с неположительно определенной матрицей. Для того чтобы квадратичная функция была вогнутой, необходимо и достаточно, чтобы симметрическая матрица была неположительно определенной.
Доказательство.
но , следовательно, для того чтобы выполнялось соотношение (9.1), необходимо и достаточно, чтобы произведение , что выполняется, если С – неположительно определенная матрица.
Пример 9.2. Определить вогнутость (выпуклость) функции
(*)
Матрица имеет следующий вид
Так как главные миноры матрицы имеют знаки , , , то по (9.7) и (9.10) квадратичная форма (*) неположительна и на основании теоремы 9.10 функция вогнута на .