- •Глава 6. Постановки задачи нелинейного программирования (знп) и основные определения…………………………...3
- •Глава 7. Задача одномерной оптимизации…………………………………….13
- •Глава 8. Графический метод решения знп…………………………………...33
- •Глава 10. Выпуклое программирование……………………………………....62
- •Глава 11. Квадратичное программирование…………………………………74
- •Глава 12. Задача безусловной оптимизации (збо)…………………………………………………………………..81
- •Глава 13. Задача условной оптимизации (зуо)……………………….……127
- •Глава 6.
- •6.1. Задача нелинейного программирования (знп) и ее постановки.
- •6.2. Основные определения.
- •6.3. Классификация знп.
- •6.4. Классическая оптимизация.
- •Глава 7. Методы одномерной оптимизации
- •Постановка задачи. Основные понятия
- •7.2. Поиск отрезка, содержащего точку максимума Алгоритм Свенна
- •Методы нулевого порядка.
- •Дихотомический поиск (метод деления отрезка пополам)
- •Метод золотого сечения
- •Метод дск-Пауэлла
- •7.4. Методы первого порядка.
- •Метод средней точки
- •Метод хорд (секущих)
- •Метод кубической аппроксимации
- •7.5. Методы второго порядка. Метод Ньютона-Рафсона
- •Итерация 1
- •Глава 8. Графический метод решения знп.
- •8.1. Алгоритм графического метода решения знп
- •8.2. Решение примеров.
- •Выпуклые и вогнутые функции
- •9.1. Определения
- •9.2. Свойства вогнутых (выпуклых) функций
- •9.3. Критерии вогнутости (выпуклости) гладких функций
- •9.4. Экстремальные свойства вогнутых (выпуклых) функций
- •9.5. Сильно вогнутые (выпуклые) функции
- •9.5.1. Определение. Примеры
- •9.5.2. Свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций
- •9.5.3. Критерии сильной вогнутости (выпуклости)
- •9.5.4. Экстремальные свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций
- •Глава 10. Выпуклое программирование
- •10.1. Постановка задачи
- •10.2. Функция Лагранжа. Седловая точка функции Лагранжа, условия ее существования Определение 10.1. Функция , (10.10)
- •10.3. Достаточные условия оптимальности
- •10.4. Условия регулярности выпуклого множества
- •10.5. Теорема Куна-Таккера. Общий случай
- •10.6. Теорема Куна-Таккера. Случай линейных ограничений
- •Глава 11. Квадратичное програмирование.
- •11.1. Постановка задачи квадратичного программирования (зкп)
- •11.2. Применение теории Куна-Таккера к решению зкп.
- •11.3. Решение задач.
- •Глава 12. Методы безусловной оптимизации
- •12.1. Постановка задачи
- •Алгоритм метода спуска
- •. Методы нулевого порядка (прямого поиска)
- •Метод Хука-Дживса
- •Алгоритм метода Хука-Дживса, использующий одномерный поиск
- •Метод покоординатного спуска
- •Первый вариант
- •Второй вариант
- •Методы первого и второго порядков
- •Градиентные методы. Метод скорейшего спуска – метод Коши
- •Метод Ньютона
- •Модифицированный метод Ньютона
- •Методы, использующие сопряженные направления
- •Определение сопряженных направлений
- •Оптимизация квадратичной функции. Конечная сходимость алгоритмов, использующих сопряженные направления
- •12.4.4. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла Шаг 1.Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла (дфп) принадлежит к классу квазиньютоновских методов, в которых направление поиска задаётся в виде
- •Алгоритм метода дфп
- •Итерация 1
- •Шаг 2. Вычислим , тогда .
- •Шаг 2. Вычислим , тогда .
- •12.4.5. Метод сопряжённых градиентов Флетчера-Ривса
- •Алгоритм метода Флетчера-Ривса
- •Глава 13. Методы условной оптимизации
- •13.1. Постановка задачи. Классификация методов
- •Общая схема методов условной оптимизации
- •Шаг 2.Шаг 1. Выбрать ( -я итерация) – возможное направление подъёма функции в точке . Если такого направления нет, то - решение задачи. В противном случае перейти к шагу 2.
- •13.2. Методы возможных направлений
- •13.2.1. Метод Зойтендейка
- •Пример 13.2
- •Итерация 3
- •Шаг 4.Рисунок 13.6
- •13.2.2. Метод Топкиса-Вейнотта
- •Пример 13.3
- •Итерация 1
- •Шаг 5.Рисунок 13.7
- •Алгоритм метода Топкиса-Вейнотта
- •13.2.3. Метод Франка-Вульфа
- •Алгоритм метода Франка-Вульфа
- •Шаг 5. Находим шаг в направлении новой точки . Решение этой задачи (одномерной): .
- •Шаг 3. Так как , переходим к шагу 4.
- •Шаг 5. Решаем задачу: .
- •Литература
13.2.1. Метод Зойтендейка
Пусть требуется найти максимальное значение вогнутой функции :
при условиях
. (13.14)
Характерной особенностью этой задачи является то, что её система ограничений содержит только линейные неравенства.
Предположим также для любой допустимой точки , что и , где и . Далее приводится алгоритм Зойтендейка для случая линейных ограничений.
Алгоритм метода Зойтендейка
Начальный этап. Выбрать начальную точку , для которой
и ,
, .
Положить .
Основной этап.
Шаг 1. Для предполагаем, что , , , .
Шаг 2. Определить возможное направление подъёма , решая следующую задачу:
(13.15)
при условиях
. (13.16)
Шаг 3. Если , то - задача решена. В противном случае перейти к шагу 4.
Шаг 4. Определить (шаг в направлении ), решая задачу одномерной оптимизации:
.
Шаг 5. Положить , заменить на и перейти к шагу 1.
Дадим некоторые пояснения к алгоритму.
На шаге 2 решается вспомогательная задача, являющаяся задачей линейного программирования. Конечно, надо быть уверенным в её разрешимости и, соответственно, в существовании возможного направления подъёма .
Вектор является возможным направлением подъёма в точке , если и . Поскольку множество планов построенной ЗЛП ограниченно, вспомогательная задача всегда разрешима. А если существует , то . Причём для : , следовательно, . Если , то есть возможность найти лучшую точку. Если , то выбрать возможное направление подъёма не представляется возможным.
Для шага 4 необходимо определить величину . Рассмотрим неравенство: . Так как , , то , .
Отсюда и определяем для этого неравенства. определяется при следующих условиях:
(13.17)
где , .
Пример 13.2
.
Начальный этап. Выбираем начальную точку , для которой , , , . . Положить .
Основной этап.
Итерация 1.
Шаг 1. Для заданы , , , .
Шаг 2. .
Решаем задачу:
при условиях
.
При решении этой задачи симплекс-методом получаем , .
Шаг 3. Так как , то переходим к шагу 4.
Шаг 4. Решаем одномерную задачу:
.
Определяем (согласно 3.17):
,
т. е. решаем задачу:
.
Очевидно, что решением является .
Шаг 5. Положить .
и перейти к шагу 1.
Итерация 2
Шаг 1. Для : , .
Шаг 2. .
Решаем задачу при условиях:
.
Оптимальное значение этой ЗЛП – ; .
Шаг 3. Так как , переходим к шагу 4.
Шаг 4. Решаем задачу линейного поиска:
.
Определяем :
.
Таким образом, решая задачу
, получим оптимальное значение : .
Шаг 5. Положить: . и перейти к шагу 1.
Итерация 3
Шаг 1. Для : , .
Шаг 2. .
Решаем задачу
при условиях:
.
Решение: , .
Шаг 3. Так как , задача решена и .
На рис. 13.6 проиллюстрирован процесс решения задачи.