- •Глава 6. Постановки задачи нелинейного программирования (знп) и основные определения…………………………...3
- •Глава 7. Задача одномерной оптимизации…………………………………….13
- •Глава 8. Графический метод решения знп…………………………………...33
- •Глава 10. Выпуклое программирование……………………………………....62
- •Глава 11. Квадратичное программирование…………………………………74
- •Глава 12. Задача безусловной оптимизации (збо)…………………………………………………………………..81
- •Глава 13. Задача условной оптимизации (зуо)……………………….……127
- •Глава 6.
- •6.1. Задача нелинейного программирования (знп) и ее постановки.
- •6.2. Основные определения.
- •6.3. Классификация знп.
- •6.4. Классическая оптимизация.
- •Глава 7. Методы одномерной оптимизации
- •Постановка задачи. Основные понятия
- •7.2. Поиск отрезка, содержащего точку максимума Алгоритм Свенна
- •Методы нулевого порядка.
- •Дихотомический поиск (метод деления отрезка пополам)
- •Метод золотого сечения
- •Метод дск-Пауэлла
- •7.4. Методы первого порядка.
- •Метод средней точки
- •Метод хорд (секущих)
- •Метод кубической аппроксимации
- •7.5. Методы второго порядка. Метод Ньютона-Рафсона
- •Итерация 1
- •Глава 8. Графический метод решения знп.
- •8.1. Алгоритм графического метода решения знп
- •8.2. Решение примеров.
- •Выпуклые и вогнутые функции
- •9.1. Определения
- •9.2. Свойства вогнутых (выпуклых) функций
- •9.3. Критерии вогнутости (выпуклости) гладких функций
- •9.4. Экстремальные свойства вогнутых (выпуклых) функций
- •9.5. Сильно вогнутые (выпуклые) функции
- •9.5.1. Определение. Примеры
- •9.5.2. Свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций
- •9.5.3. Критерии сильной вогнутости (выпуклости)
- •9.5.4. Экстремальные свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций
- •Глава 10. Выпуклое программирование
- •10.1. Постановка задачи
- •10.2. Функция Лагранжа. Седловая точка функции Лагранжа, условия ее существования Определение 10.1. Функция , (10.10)
- •10.3. Достаточные условия оптимальности
- •10.4. Условия регулярности выпуклого множества
- •10.5. Теорема Куна-Таккера. Общий случай
- •10.6. Теорема Куна-Таккера. Случай линейных ограничений
- •Глава 11. Квадратичное програмирование.
- •11.1. Постановка задачи квадратичного программирования (зкп)
- •11.2. Применение теории Куна-Таккера к решению зкп.
- •11.3. Решение задач.
- •Глава 12. Методы безусловной оптимизации
- •12.1. Постановка задачи
- •Алгоритм метода спуска
- •. Методы нулевого порядка (прямого поиска)
- •Метод Хука-Дживса
- •Алгоритм метода Хука-Дживса, использующий одномерный поиск
- •Метод покоординатного спуска
- •Первый вариант
- •Второй вариант
- •Методы первого и второго порядков
- •Градиентные методы. Метод скорейшего спуска – метод Коши
- •Метод Ньютона
- •Модифицированный метод Ньютона
- •Методы, использующие сопряженные направления
- •Определение сопряженных направлений
- •Оптимизация квадратичной функции. Конечная сходимость алгоритмов, использующих сопряженные направления
- •12.4.4. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла Шаг 1.Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла (дфп) принадлежит к классу квазиньютоновских методов, в которых направление поиска задаётся в виде
- •Алгоритм метода дфп
- •Итерация 1
- •Шаг 2. Вычислим , тогда .
- •Шаг 2. Вычислим , тогда .
- •12.4.5. Метод сопряжённых градиентов Флетчера-Ривса
- •Алгоритм метода Флетчера-Ривса
- •Глава 13. Методы условной оптимизации
- •13.1. Постановка задачи. Классификация методов
- •Общая схема методов условной оптимизации
- •Шаг 2.Шаг 1. Выбрать ( -я итерация) – возможное направление подъёма функции в точке . Если такого направления нет, то - решение задачи. В противном случае перейти к шагу 2.
- •13.2. Методы возможных направлений
- •13.2.1. Метод Зойтендейка
- •Пример 13.2
- •Итерация 3
- •Шаг 4.Рисунок 13.6
- •13.2.2. Метод Топкиса-Вейнотта
- •Пример 13.3
- •Итерация 1
- •Шаг 5.Рисунок 13.7
- •Алгоритм метода Топкиса-Вейнотта
- •13.2.3. Метод Франка-Вульфа
- •Алгоритм метода Франка-Вульфа
- •Шаг 5. Находим шаг в направлении новой точки . Решение этой задачи (одномерной): .
- •Шаг 3. Так как , переходим к шагу 4.
- •Шаг 5. Решаем задачу: .
- •Литература
9.5.2. Свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций
Теорема 9.13. Сильно вогнутая (выпуклая) функция является строго вогнутой (выпуклой) функцией.
Теорема 9.14. Сумма сильно вогнутой (выпуклой) и вогнутой (выпуклой) функций на выпуклом множестве будет сильно вогнутой (выпуклой) на с той же константой .
Теорема 9.15. Если сильно вогнута (выпукла) на с константой , то при любом будет сильно вогнутой (выпуклой) на с константой .
Теорема 9.16. Пусть функция непрерывна и сильно вогнута (выпукла) на выпуклом множестве , тогда ограничена сверху на этом множестве.
Доказательство. Если множество ограничено, то утверждение теоремы следует из теоремы Вейерштрасса.
Пусть – неограниченное замкнутое выпуклое множество. Возьмем произвольную точку . В силу непрерывности на для любого существует такое число , что имеет место неравенство
для всех (9.15.)
откуда для всех .
Пусть , то есть .
Тогда число . (*)
Из определения сильной вогнутости при , имеем
(9.16.)
Положим, , тогда , т.е. точка , и из (1.3.2) следует, что , (9.17.)
Тогда из (9.16.) с учетом (9.17.) получим или
(9.18.)
Преобразуем неравенство (9.18.) с учетом (*)
(9.19.)
Применяя к последнему слагаемому (9.19.) неравенство будем иметь
(9.20.)
для всех .
С учетом (*) получим
(9.21.)
для всех .
Таким образом, из неравенств (9.15.) и (9.21.) следует, что функция ограничена сверху на множестве .
Теорема 9.16. Пусть функция непрерывна и сильно вогнута на выпуклом множестве , тогда , если .
Доказательство. Утверждение теоремы следует из неравенства (9.20.).
Теорема 9.17. Если функция непрерывна и сильно вогнута на выпуклом замкнутом множестве , то множество выпукло, замкнуто и ограничено для любого .
Доказательство. Рассмотрим множество , где
а) Выпуклость множества следует из теоремы 18.
б) Замкнутость следует из непрерывности функции на .
в) Множество ограничено.
Предположим, что это не так, тогда найдется последовательность такая, что при . Но тогда в силу теоремы 9.16 найдется такое , что для всех , и, следовательно, при , т.е. предположение о неограниченности является неверным.
9.5.3. Критерии сильной вогнутости (выпуклости)
Теорема 9.18. Пусть – выпуклое множество, функция . Тогда для того, чтобы была сильно вогнутой (выпуклой) на , необходимо и достаточно существование постоянной , такой, что
(9.22)
Доказательство. Необходимость. Пусть функция сильно вогнута на , тогда по определению существует постоянная , такая что
(9.23)
для любых и любого .
Преобразуем неравенство (9.23) к виду , (9.24)
Деля обе части неравенства (9.24) на и переходя к пределу при , получим (9.22):
или ,
где ,
или .
Достаточность. Пусть при некотором неравенство (9.22) выполнено при всех . В частности оно выполняется для точек , и , , где , , т.е. имеем
, (9.25)
(9.26)
Умножим (9.25.) на , (9.26.) – на (1- ) и сложим, в результате чего получим неравенство (1.3.10).
Теорема 9.19. Пусть – выпуклое множество, функция . Для того чтобы была сильно вогнутой (выпуклой) на , необходимо и достаточно существование постоянной , что
. (9.27)