Статистическая физика / Конспект лекций

другом невесомыми стрежнями и могут перемещаться в пространстве только вместе со всей системой как целым. Ещё один простой пример — система, состоящая из двух материальных точек ( ), связанных между собой жёстким невесомым стержнем (жёсткий ротатор).

Во всех подобных случаях координаты материальных точек — неизвестных функций в системе уравнений (1.1.2) — оказываются связанными между собой некоторыми алгебраическими соотношениями —

уравнениями связей:

Например, координаты двух материальных точек, из которых состоит жёсткий ротатор, связаны одним таким соотношением:

где — неизменное расстояние между материальными точками, которое равно длине жёсткого стержня.

В подобных условиях значения только декартовых координат механической системы,

можно задать независимо. Значения же остальных b координат будут однозначно определены, если решить относительно них b уравнений связи (1.2.3). Величина f (1.2.5) называется числом степеней свободы механической системы. Например, у жёсткого ротатора в соответствии с (1.2.4), (1.2.5)

и . Для абсолютно твёрдого тела, каково бы ни было число N 3 материальных точек, из которых оно состоит, f 6. Исключение составляет специальный случай, когда все материальные точки расположены на одной прямой: тогда .

Чтобы определить движение системы связанных материальных точек, придётся решать дифференциальные уравнения движения (1.1.2) совместно с алгебраическими уравнениями связей (1.2.3). Это крайне неудобно. Гораздо проще с учётом характера наложенных на систему связей выбрать новых независимых координат ,

через которые, используя в дополнение к соотношениям (1.2.6) b уравнений связей (1.2.3), можно однозначно выразить все декартовых координат

. Величины (1.2.6) называются обобщёнными координатами

механической системы.

21

Например, в случае жёсткого ротатора вначале удобно перейти от шести декартовых координат двух материальных точек с массами и к новым координатам — трём координатам центра масс системы

и трём координатам, описывающим относительное расположение материальных точек:

Затем вместо декартовых координат (1.2.8) введём сферические координаты — радиальную координату , аналогично (1.2.4), и угловые переменные — полярный и азимутальный углы, которые определяют

ориентацию вектора	для относительного положения материальных точек с
координатами и	в системе координат, жёстко связанной с центром масс

(1.2.7). В качестве обобщённых координат выберем три координаты центра масс (1.2.7) и две угловые переменные и .

Уравнения (1.2.6), которые вместе с уравнением связи (1.2.3) выражают шесть исходных декартовых координат через пять выбранных обобщённых координат, имеют хорошо известный вид преобразований декартовой системы координат к сферической системе координат:

Точно так же и в общем случае, если решить уравнения для связей (1.2.3)

и определить	уравнений (1.2.6) относительно декартовых
координат, то мы найдём	соотношений, которые устанавливают связь

декартовых координат с обобщёнными координатами:

С помощью соотношений (1.2.11) мы можем представить проекции скоростей материальных точек через обобщенные скорости

С учетом (1.2.12) кинетическая энергия системы (1.1.19) принимает вид квадратичной формы по обобщённым скоростям:

22

Заменяя в потенциальной энергии в соответствии с (1.2.11) декартовы координаты обобщёнными и вычитая её из кинетической энергии (1.2.13), получим в соответствии с (1.2.1) функцию Лагранжа системы в обобщенных координатах:

или кратко

Символы и в (1.2.15) обозначают наборы обобщённых координат и скоростей .

После весьма громоздких преобразований вместо уравнений движения Ньютона (1.1.2) для системы материальных точек со связями (1.2.3) мы можем получить новые уравнения движения относительно обобщённых координат рассматриваемой системы:

Уравнения (1.2.16) называются уравнениями Лагранжа, которые описывают динамику системы, имеющей степеней свободы, в обобщённых координатах.

Таким образом, преимущество использования функций Лагранжа заключается в универсальности описания динамики системы, независимо как от наличия связей, ограничивающих движение частиц, так и от выбора системы координат. Нетрудно проверить, если связей нет, и обобщённые координаты совпадают с декартовыми координатами, уравнения Лагранжа (1.2.16) превращаются в уравнения , а в итоге в уравнения Ньютона

(1.1.2).

Уравнениям Лагранжа (1.2.16) можно придать		более привычный вид,
если определить обобщённый импульс	,	сопряжённый (т.е.

соответствующий) обобщённой координате , а также обобщенную силу

23

Тогда с учётом определений (1.2.17) вместо (1.2.16) получим соотношение, по виду напоминающее второй закон Ньютона (1.1):

Чтобы получить соотношение, связывающее обобщённый импульс с обобщёнными скоростями и обобщенными координатами , необходимо продифференцировать в соответствии с (1.2.17) функцию Лагранжа (1.2.15). Поскольку, как видно из (1.2.15), обобщённые скорости входят только в выражение для кинетической энергии, получим:

Выражение (1.2.19) также напоминает соотношение, связывающее импульс материальной точки с ее скоростью и массой. Но обобщенный импульс связан не только со «своей», но со всеми обобщенными скоростями, а также с обобщенными координатами.

Уравнения Лагранжа, как и уравнения Ньютона, являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка

относительно обобщённых координат	. Траектория	системы
определяется значениями обобщённых координат		и скоростей
в начальный момент времени:

1.3. Уравнения Гамильтона

Если функцию Лагранжа (1.2.14), (1.2.15) рассматривать как функцию времени и независимых переменных: обобщённых координат и обобщённых скоростей , то полный дифференциал функции Лагранжа имеет вид:

Используя обозначения для обобщённых импульсов и обобщённых сил (1.2.17), а также имея в виду, что в соответствии с (1.2.14), (1.2.15) функция Лагранжа явно зависит от времени только при наличии такой зависимости у потенциальной энергии, перепишем (1.3.1) в виде

24

Теперь произведём замену переменных — вместо обобщённых скоростей будем использовать обобщённые импульсы. Для этого вычтем из

обеих частей равенства (1.3.2) дифференциал выражения

:

или, с учётом (1.2.18),

где введена функция Гамильтона

Как видно из (1.3.4), функция Гамильтона является функцией обобщенных координат и сопряженных им импульсов, т.е. функцией независимых переменных.

Таким образом, проведенным выше преобразованием в полном

дифференциале	(1.3.2)	функции	(1.2.14)		заменены	независимые
переменные, а именно		вместо	обобщенных		координат и скоростей
	введены		новые	независимые		переменные
	. В итоге мы получили полный дифференциал (1.3.3)
новой функции	(1.3.4). Такое преобразование известно под названием
преобразования Лежандра.
Заметим теперь, что, как видно из (1.2.13) и (1.2.19),

25

С помощью (1.3.5) можно выразить кинетическую энергию , определённую в (1.2.13) как функцию обобщённых координат и скоростей, через обобщённые координаты и импульсы. Для этого выразим обобщённые скорости через обобщённые импульсы, решив систему линейных алгебраических уравнений (1.2.19):

где	— элементы матрицы, обратной матрице	(1.2.4.1). Подставив
(1.3.6) в (1.3.5), получим:

В итоге с учётом (1.2.14), (1.3.5) и (1.3.7) выразим функцию Гамильтона (1.3.4) через обобщённые координаты и импульсы:

Соотношение (1.3.8) показывает, что функция Гамильтона механической системы есть энергия (полная) этой системы, выраженная через обобщённые координаты и импульсы.

Возвращаясь к полному дифференциалу функции Гамильтона (1.3.3),

получим из него уравнения Гамильтона:

Уравнения Гамильтона (1.3.9), число которых равно , для системы с заданной функцией Гамильтона являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка

относительно неизвестных	функций	— обобщённых координат	и
обобщённых импульсов	.
Эти функции в принципе можно вычислить, если решить уравнения
(1.3.9), задав значения координат		и импульсов	в
начальный момент времени	:

26

Наряду с уравнениями Лагранжа (1.2.16), уравнения Гамильтона (1.3.9) являются уравнениями движения системы. Их называют также каноническими уравнениями механики. «Одноимённые», т.е. относящиеся к одной степени свободы, обобщённые координата qi и импульс pi , называют

канонически сопряжёнными, взаимно сопряжёнными или просто сопряжёнными.

Какие из уравнений — Лагранжа или Гамильтона — выбрать для описания движения механической системы, определяется соображениями удобства. В ряде теоретических построений удобнее оказываются уравнения Гамильтона (1.3.9). Хотя их вдвое больше, чем уравнений Лагранжа, но они

— первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа — второго порядка. Кроме того, определённое удобство связано с тем, что уравнения

Гамильтона, как видно из (1.3.9), симметричны относительно координат и импульсов. Симметрия этих уравнений позволяет, например, без труда

вывести уравнение баланса энергии системы	. В самом деле, из
соотношения (1.3.3) непосредственно следует:

Поскольку два последних слагаемых в равенстве (1.3.11) взаимно уничтожаются, то из него следует искомое соотношение:

i

Как видно из (1.3.12), если потенциальная энергия явно не зависит от времени, то энергия системы сохраняется (ср. :

В статистической физике предпочтение отдается использованию динамики Гамильтона. Ее дополнительные преимущества будут видны из дальнейшего рассмотрения.

1.4. Зависимость динамических переменных от времени. Скобки Пуассона. Интегралы движения

Физическая величина, значение которой	в данный момент времени
определяется динамическим состоянием	системы	(1.3.10),

называется динамической переменной (динамической функцией):

27

Динамическая переменная может зависеть от времени как неявно «через» обобщенные координаты и импульсы, так и явно:

Динамической переменной типа (1.4.2) является функция Гамильтона

. Она зависит от времени явно, если имеет место динамика источника внешнего поля, действующего на систему, например, в случае, когда электрическое поле, действующее на заряженную частицу, создаётся конденсатором, у которого с течением времени меняется заряд или расстояние между пластинами.

Выведем дифференциальное уравнение, описывающее зависимость динамической переменной (1.4.2) от времени . Для этого продифференцируем уравнение (1.4.2) по времени:

Преобразуем сумму в правой части (1.4.3), используя уравнения Гамильтона

(1.3.9):

Новая динамическая переменная , т.е. функция координат, импульсов и, возможно, времени, называется скобкой Пуассона для динамических переменных и .

Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, которые легко выводятся из их определения:

если в скобке Пуассона переставить местами функции, то скобка переменит знак:

если в скобке Пуассона одна из функций величина постоянная: , то скобка равна нулю:

Кроме того, скобки Пуассона удовлетворяют следующим равенствам:

28

Если одна из функций в скобке Пуассона является обобщенной координатой или обобщенным импульсом , то нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:

Из (1.4.8) непосредственно следует

где символ Кронекера. Равенства (1.4.9) определяют основной набор канонически сопряженных переменных.

Если взять частную производную от скобки Пуассона по времени, получим

Наконец, между скобками Пуассона от трех функций, если они взяты попарно, существует соотношение, которое носит название тождества Якоби:

С учётом (1.4.4) уравнение (1.4.3) запишем в виде

Если динамическая переменная удовлетворяет условию

то она называется интегралом движения. Как видно из (1.4.12), для интеграла движения справедливо уравнение

29

Скобка Пуассона для функции Гамильтона самой с собой, как следует из (1.4.4), тождественно равна нулю:

Тогда из (1.4.12) следует, что

Равенство (1.4.16) означает, что если функция Гамильтона системы не зависит явно от времени, то она является интегралом движения, и, следовательно, энергия системы сохраняется.

Ясно, что аналогичными свойствами обладает любая динамическая переменная, которая однозначно зависит от функции Гамильтона:

Как следует из (1.4.12), (1.4.13), динамическая переменная, которая явно не зависит от времени, является интегралом движения, если скобка Пуассона для этой динамической переменной и функции Гамильтона равна нулю.

Как уже было показано ранее, интегралами движения для замкнутой системы, на которую не действуют внешние силы, являются вектор импульс механической системы (1.1.9) и вектор момента импульса механической системы (1.1.17). Это означает, что для такой системы справедливы равенства:

Приведём еще один простейший пример интеграла движения. Допустим, что функция Гамильтона механической системы не зависит от обобщённой координаты . Такие координаты называются циклическими. Для любой циклической координаты

Но тогда, как следует из соответствующего уравнения Гамильтона (1.4.9),

Отсюда видно, что импульс, сопряжённый циклической координате,

сохраняется, т.е. является интегралом движения:

30