3. Основной закон динамики вращательного движения

Любая частица вращающегося твердого тела, совершает поступательное движение по окружности под действием внутренних f и внешних F сил согласно уравнению второго закона Ньютона: . Выведем основное уравнение динамики вращательного движения, которое описывает движение всех частиц тела. Сначала умножим уравнение второго закона Ньютона для одной частицы на радиус-вектор частицы. Этим введём в уравнение динамики моменты сил. Затем запишем столько уравнений, сколько частиц имеет тело, и просуммируем эти уравнения. В результате получим

. (9.6)

При суммировании исчезли внутренние силы, которые попарно равны и противоположно направлены. Преобразуем уравнение (9.6). Обозначим сумму моментов внешних сил как результирующий момент сил . Выразим вектор линейной скорости по формуле связи с угловой скоростью , и получим двойное векторное произведение. Раскроем его . Скалярное произведение в первой скобке равно r², во второй скобке равно нулю (как взаимно перпендикулярных векторов). Подставив преобразования в уравнение (9.6), получим . Назовем моментом инерции физическую величину

. (9.7)

Момент инерции тела равен сумме произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний от оси вращения.

Окончательно, основное уравнение динамики вращательного движения запишем в виде

. (9.8)

Назовем произведение момента инерции тела на вектор угловой скорости моментом импульса тела , а произведение момента силы на время действия силы импульсом момента силы. Тогда основной закон динамики вращательного движения примет вид: изменение момента импульса тела равно импульсу момента силы.

Так как угловое ускорение тела равно производной от угловой скорости по времени , то основной закон динамики вращательного движения при постоянном моменте инерции можно переписать в другом виде

. (9.9)

Угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Отсюда следует физический смысл момента инерции – это мера инертности тела при вращательном движении. Он является аналогом массы, которая в уравнении второго закона Ньютона является мерой инертности тела в поступательном движении. Но момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения, по формуле (9.7). Чем дальше от оси вращения находятся части тела, тем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение, тем медленнее раскручивается или тормозит вращающееся тело.

4. Расчет момента инерции некоторых тел

Момент инерции материальной точки равен произведению квадрата расстояния от точки до оси вращения, mR². Момент инерции твердых тел равен сумме моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело, то есть интегралу от произведения квадрата расстояния элементарных частиц тела от оси на величину их массы:

. (9.10)

Произведем расчет момента инерции тел простой формы.

1.Кольцо

Все частицы кольца находятся на одинаковом расстоянии от оси (рис. 9.3). Вынесем в формуле момента инерции (9.10) расстояние r = R за знак интеграла, а интеграл от элементарных масс дает полную массу кольца. Итак, .

2. Диск

П усть масса диска m, радиус R. Разделим диск на тонкостенные кольца. Несмотря на большие размеры колец, масса их будет ничтожно мала, если толщина стенки будет много меньше радиуса. Масса элементарного кольца пропорциональна площади торца кольца: . Аналогично, масса диска пропорциональна площади торца: . Из пропорций получим: . Подставим массу элементарного кольца под знак интеграла момента инерции . Нижний предел интегрирования равен радиусу элементарного кольца в центре диска r = 0, верхний предел равен радиусу кольца у поверхности диска r = R. Интегрируя, получим формулу момента инерции диска относительно оси .

3. Стержень

Пусть масса стержня m равномерно распределена по длине стержня l с линейной плотностью . Ось вращения проходит через середину, перпендикулярно стержню. Разделим стержень на элементарные отрезки длиной dr с массой . Подставим массу элементарного отрезка в интеграл момента инерции . Интегрируя, получим формулу момента инерции стержня .

Задачи

1. Уравнение зависимости угла поворота якоря тягового двигателя от времени имеет вид . Передаточное отношение редуктора 4,2, диаметр колеса 1,18 м. Определить зависимость скорости и ускорения поезда от времени.

2. Локомотив движется с ускорением 0,1 м/с². Определить угловое ускорение якоря тягового двигателя. Передаточное отношение редуктора 4,2, диаметр колеса 1,18 м.

3. Момент электромагнитных сил, действующих на якорь тягового двигателя, установленного на стенде, равен 400 Н·м. С каким угловым ускорением вращается якорь? Якорь считать цилиндром радиусом 0,25 м и массой 500 кг.

4. На шкив тягового двигателя, установленного на стенде, надет приводной ремень. Силы натяжения ветвей ремня равны 100 Н и 200 Н. Определить момент сил и мощность двигателя при частоте вращения 1200 об/мин, если диаметр шкива 0,20 м.

5. При трогаии поезда одна колесная пара буксовала в течении 3 с и достигла скорости вращения 3 об/с. Определить момент сил, действующих на колесо со стороны электродвигателя. Коэффициент трения скольжения 0,15, сила давления колеса на рельс 100 кН, момент инерции колесной пары 500 кг м².

6 . Колесная пара на кг·м²стенде приводится во вращение электродвигателем с угловым ускорением 0,04 1/с². Определить вращающий момент сил якоря электродвигателя, если момент инерции колесной пары 500 кг·м², момент инерции якоря 100 кг·м². Передаточное отношение зубчатой передачи 4,5 (рис. 9.4).

7. Колесная пара, с моментом инерции 600 кг·м² на стенде вращается с угловой скоростью 100 1/с. Определить угловое ускорение под действием сил трения тормозных колодок, прижатых с силой 500 Н. Коэффициент трения скольжения 0,18. Определить число оборотов до остановки.