17. Волны в упругих средах
Волны – это процесс распространения колебаний в пространстве. Существует большое многообразие видов механических волн в упругих средах. Наиболее известны объемные волны. В объеме газа, жидких и твердых сред могут распространяться продольные волны, в которых частицы совершают колебания вдоль направления распространения волны. В твердых средах могут распространяться поперечные волны, в которых частицы совершают колебания перпендикулярно направлению распространения волны. Различные виды волн распространяются вдоль поверхности жидкости, твердых тел, по земной коре. Распространяются волны в стержнях, шнурах, проводах и так далее. Всегда, когда среда обладает упругостью и массой, в ней могут распространяться упругие волны.
1. Уравнение волны.
Получим уравнение волны. Это уравнение изменения параметра колебаний частиц среды в любой точке пространства в зависимости от времени и расстояния до источника колебаний. Параметром, который периодически изменяется в упругой волне, может быть смещение частиц от положения равновесия, скорость частиц, или плотность и давление в жидкости и газе, механические напряжения, т.д. Под частицей понимается сравнительно небольшой объем вещества, но содержащий огромное число молекул, которые движутся совместно.
Пусть, например,
смещение источника происходят по
уравнению
,
где
А –
амплитуда колебаний, ω
– циклическая частота колебаний.
Источник действует на ближайшие частицы
окружающей среды, вынуждая их совершать
колебания около их положений равновесия
с частотой колебаний источника. Те, в
свою очередь, заставляют совершать
колебания следующие частицы. Происходит
процесс распространения вынужденных
колебаний в пространстве, который
называется волной.
Поверхность среды, до которой дошло возбуждение от источника колебаний, называется фронтом волны. Форма фронта волны может быть различной. В однородной среде фронт от точечного источника (пульсирующий шарик) является сферическим. Фронт можно считать плоским на большом расстоянии от точечного источника или при излучении большой колеблющейся плоскостью, или при колебаниях поршня в цилиндрической трубе.
Пусть от источника
распространяется вдоль оси x
волна с
плоским фронтом. Если можно пренебречь
затуханием колебаний, то амплитуда
колебаний частиц среды одинакова.
Частицы среды начинают колебания позже,
чем источник. Время запаздывания равно
времени распространения волны
,
где V
– скорость распространения фронта
волны, x
– расстояние от источника колебаний
до частиц на фронте.
Уравнение вынужденных колебаний частиц
на оси x
будет
отличаться от уравнения колебаний
источника только временем запаздывания
. (17.1)
Это уравнение
является уравнением бегущей гармонической
(синусоидальной) волны. Его можно
изобразить графиком синусоиды, который
вместе с волной перемещается вдоль оси
x
со скоростью фронта (рис. 17.1). За время
одного периода колебаний фронт
перемещается на расстояние, называемое
длиной волны
.
Длина волны также равна расстоянию
между ближайшими точками на линии
распространения, разность фаз которых
равна 2π радиан.
Перепишем уравнение
волны, введя в него длину волны. Подставив
при
,
получим
. (17.2)
Здесь
называется волновым вектором. В общем
случае это вектор, показывающий
направление распространения фронта
волны. Если волна распространяется в
направлении против оси x,
то волновой
вектор в уравнении (17.2) отрицателен.
Функция (17.2)
описывает распространение монохроматической
бесконечной волны. Аргумент функции
называется фазой. Поверхность среды,
для частиц которой фаза постоянна,
,
называется волновой поверхностью. Для
частиц на фронте фаза равна нулю. Фронт
и волновые поверхности перемещаются с
так называемой фазовой скоростью.
Продифференцировав формулу фазы, получим
.
Если волна излучается конечное время, то её описывают как группу монохроматических волн разных близких частот и скорость перемещения группы называют групповой скоростью.
При распространении волны частицы вещества, то есть масса вещества, волной не переносится. Переносится кинетическая и потенциальная энергия колебаний и импульс вследствие взаимодействия частиц.