10. Динамика плоского движения тел

Плоским является движение, при котором траектории точек тела лежат в параллельных плоскостях.

1. Движение центра масс

Центр масс твердого тела это точка, к которой приложена результирующая сила инерции при поступательном движении неинерциальной системы отсчета. В этом случае силы инерции, действующие на тела (или части тела), являются параллельными силами. Точно также параллельны в однородном поле тяжести силы тяжести, действующие на частицы тела. В этом случае положение центра масс и положение центра тяжести тела совпадают.

В ыведем формулу радиус-вектора центра тяжести. Потребуем, чтобы момент результирующей силы тяжести относительно некоторой оси y был бы равен векторной сумме моментов сил тяжести всех частиц тела относительно этой же оси (рис. 10.1).

Отсюда радиус-вектор центра тяжести или центра масс относительно выбранной оси можно определить по формуле

. (10.1)

Здесь m – суммарная масса тел. Проецируя это равенство на оси координат, можно определить три координаты центра масс.

Перенесем массу тела в левую часть уравнения и дважды продифференцируем по времени. Вторая производная это ускорение. В результате получим . Произведение массы частицы на её ускорение равно действующей на частицу силе, а их сумма равна равнодействующей силе. Таким образом, центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, к которой приложены все внешние силы,

. (10.2)

Отсюда следует, что если тело движется поступательно, то его можно принимать за материальную точку.

1. Плоское движение твердых тел

П усть к телу, как будто плавающему на поверхности воды, в некоторой точке приложена сила F₀ (рис. 10.2). Мысленно приложим к особой точке тела, называемой центром масс, две равные и противоположные силы F₁ и F₂, параллельные и равные силе F₀. Под действием силы F₂, тело совершает поступательное движение. А пара сил F₀ и F₁ создает момент сил M₀=F₀d, под действием которого тело вращается.

Итак, плоское движение тела можно представить как сумму двух движений: поступательного со скоростью центра масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс под действием результирующей пар сил.

Возможно другое представление плоского движения. Пусть скорость точки О – центра масс тела равна (рис. 10.2). Проведём в плоскости движения перпендикуляр АОС к вектору скорости V₀. Так как тело твёрдое, то огибающая линия концов векторов скоростей точек является прямой линией. Она и перпендикуляр пересекутся в некоторой точке С, скорость которой равна нулю. Через неё проходит так называемая мгновенная ось вращения, относительно которой тело совершает только вращательное движение с угловой скоростью . Положение мгновенной оси со временем меняется.

Примером плоского движения является качение колеса по рельсу. Если проскальзывания нет, то мгновенная ось вращения совпадает с линией касания колесной пары с рельсами, и перемещается со скоростью вагона.

Соответственно двум способам представления плоское движение может быть описано: либо уравнением основного закона динамики вращательного движения относительно мгновенной оси

, (10.3)

либо системой двух уравнений: второго закона Ньютона для поступательного движения тела как материальной точки, расположенной в центре масс, и основного закона динамики вращательного движения тела относительно оси, проходящей через центр масс

и (10.4)

В уравнениях J₀ и J_с – моменты инерции тела относительно выбранных осей вращения О или С. Соотношение между моментами инерции тела относительно осей О или С определяют по теореме Штейнера.