3. Теорема Штейнера

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении и по определению равен сумме произведений масс частиц тела m_i на квадраты их расстояний r до оси вращения:

. (10.5)

П редставим вектор от оси С– С до некоторой точки массы m_i как сумму векторов (рис. 10.3). Подставив в определяющую формулу момента инерции (10.5) радиус-вектор r и возведя сумму в квадрат, получим

. (10.6)

Первый член этого уравнения J₀ – момент инерции тела относительно оси О – О, проходящей через центр масс. Во втором члене сумма определяет положение центра масс относительно оси О – О, и так как ось проходит через центр масс, то эта сумма равна нулю. Третий член – это произведение суммы масс частиц (то есть массы тела) на квадрат расстояния между осями. Итак, момент инерции равен

J_с = J₀ + m а ² . (10.7)

Это уравнение теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

В тех случаях, когда момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс J₀ , можно сравнительно легко рассчитать, теорема Штейнера позволяет определить момент инерции относительно произвольной оси J_с, избежав весьма трудоемких расчетов.

4. Ускорение при скатывании вагона

Рассмотрим скатывание вагона с общей массой кузова и колесных пар m по рельсам, расположенным под углом α к горизонту (рис. 10.4). Учтем в решении задачи вращательное движение колесных пар. Представим качение колеса как сумму двух движений: поступательного движения, которое объединим с движением вагона, и вращательного движения относительно оси колесной пары. Пусть суммарный момент инерции всех колесных пар вагона равен J, радиус круга катания – R.

На все колесные пары действуют следующие силы: суммарная сила тяжести mg кузова и колесных пар, силы нормального давления рельсов N и сила сопротивления F_сопр со стороны рельсов. Обе эти силы приложены в зоне контакта колес с рельсами. Еще в зоне контакта действует сила сцепления колес с рельсами F_сц. По природе это сила трения покоя, она направлена вдоль рельса так, чтобы исключить проскальзывание колеса по рельсу. В данном случае сила сцепления направлена против хода вагона, чтобы ее момент сил создал ускоренное вращение колеса по часовой стрелке.

Запишем уравнение динамики поступательного движения вагона совместно с поступательным движением колесных пар: . Спроецируем уравнение на оси координат

Ox: ma = mg sin α – F_cц – F_сопр , (10.8)

Oy: 0 = N – mg cos α . (10.9)

По закону трения, сила сопротивления пропорциональна силе нормального давления, которая, в свою очередь (по уравнению 10.9), равна проекции силы тяжести на ось Oy F_сопр= μ_сопрmg cos α. Существующие уклоны железнодорожных путей невелики, и косинус угла таких уклонов можно принять равным единице. Также обозначим для краткости записи уклон одной буквой sin α = i.

З апишем уравнение динамики вращательного движения всех колесных пар вагона относительно их осей (рис. 10.4,б): произведение момента инерции всех колесных пар вагона J на угловое ускорение ε равно моменту сил сцепления относительно осей колесных пар:

J ε = F_cц R (10.10)

Моменты силы сопротивления и силы давления рельсов N не входят в уравнение. Это связано с тем, что их равнодействующая проходит через ось колесной пары и не создает результирующего вращающего момента сил. Не создает вращающего момента сила тяжести вагона, приложенная к осям колесных пар.

Угловое ускорение связано с ускорением поступательного вагона соотношением ε = a/R. Переписав уравнение (10.10) в виде , получим вместе с (10.8) два уравнения с двумя неизвестными: ускорением и силой сцепления. Сначала сложим эти уравнения для исключения силы сцепления

, (10.11)

и получим для ускорения при скатывании вагона формулу

. (10.12)

Если бы инертностью вращения колес можно было пренебречь (J = 0), то ускорение было бы больше: a = g (i – μ_сопр). То есть инерция вращения колес увеличивает общую инертность вагона. Коэффициент в знаменателе формулы учитывает вклад в общую инертность вагона инертность вращения колес, а для локомотива еще учитывается еще инертность якорей электродвигателей.

Формально при решении таких задач можно не применять уравнение динамики вращательного движения колес. Достаточно одного уравнения (10.11), в котором вместо инертной массы подставить так называемую эффективную массу, равную произведению массы на коэффициент инертности колес m_эфф= mγ. А массу, определяющую силу тяжести, оставить без изменения. Именно так поступают при производстве тяговых расчетов. Поправочный коэффициент невелик: 1,05 для груженого вагона, для порожнего вагона роль колес в инертности больше – 1,10, и для электровоза – 1,30.

Определим скорость вагона в конце спуска длиной S. При равноускоренном движении между путем, скоростью и ускорением существует кинематическое соотношение . Подставив формулу рассчитанного ускорения (10.10), получим для скорости вагона в конце спуска формулу

. (10.13)

Как и следовало ожидать, при погрузке роль инертности вращения колёс уменьшается и поэтому груженые вагоны скатываются быстрее, чем порожние.

Задачи

1. Определить, во сколько раз эффективная масса больше тяготеющей массы поезда массой 4000 т, если масса колес составляет 15% от массы поезда. Колеса считать дисками диаметром 1,02 м. Как изменится ответ, если диаметр колес будет в два раза меньше?

2. Определить ускорение, с которым скатывается колесная пара массой 1200 кг с горки с уклоном 0,08. Колеса считать дисками. Коэффициент сопротивления качению 0,004. Определить силу сцепления колес с рельсами.

3. Определить, с каким ускорением закатывается колесная пара массой 1400 кг на горку с уклоном 0,05. Коэффициент сопротивления 0,002. Каким должен быть коэффициент сцепления, чтобы колеса не буксовали. Колеса считать дисками.

4. Определить, с каким ускорением скатывается вагон массой 40 т, с горки с уклоном 0,020, если у него восемь колес массой 1200 кг и диаметром 1,02 м. Определить силу сцепления колес с рельсами. Коэффициент сопротивления 0,003.

5. Определить силу давления тормозных колодок на бандажи, если поезд массой 4000 т тормозит с ускорением 0,3 м/с². Момент инерции одной колесной пары 600 кг·м², количество осей 400, коэффициент трения скольжения колодки 0,18, коэффициент сопротивления качению 0,004.

6. Определить силу торможения, действующую на четырехосный вагон массой 60 т на тормозной площадке сортировочной горки, если скорость на пути 30 м уменьшилась от 2 м/с до 1,5 м/с. Момент инерции одной колесной пары 500 кг·м².

7. Скоростемер локомотива показал увеличение скорости поезда в течении одной минуты от 10 м/с до 60 м/c. Вероятно, произошло буксование ведущей колесной пары. Определить момент сил, действующих на якорь электродвигателя. Момент инерции колесной пары 600 кг·м², якоря 120 кг·м². Передаточное отношение зубчатой передачи 4,2. Сила давления на рельсы 200 кН, коэффициент трения скольжения колес по рельсу 0,10.