2. Интерференция волн

Интерференция – это явление наложения волн, в результате которого в пространстве возникают области усиления и ослабления колебаний. Согласно принципу суперпозиции, волны при встрече не искажают друг друга, проходят друг через друга, не изменяясь. В области наложения волн происходит перераспределение энергии колебаний. Устойчивое во времени и в пространстве интерференционное распределение энергии возможно только при наложении когерентных волн. Волны являются когерентными, если разность фаз в точке наблюдения постоянна по времени и частоты одинаковы. Для поперечных волн дополнительно должно соблюдаться условие параллельности направления колебаний. Усиление колебаний будет, если в точке наблюдения разность фаз равна четному числу π радиан, (горб на горб). Волны ослабляют друг друга, если разность фаз равна нечетному числу π радиан, (горб на впадину).

Рассмотрим частный случай интерференции – образование стоячих волн. Например, в струне, концы которой закреплены в стенках. Если перпендикулярно струне действует периодическая сила, то от места возбуждения в обоих направлениях распространяются поперечные волны. Достигнув места закрепления у стенки, волны отражаются. По закону сохранения энергии амплитуда отраженной волны должна быть равна амплитуде бегущей волны. Отраженная и бегущая волны интерферируют. Около самой стенки струна закреплена, и её конец совершать колебания не может. Значит, в этой точке отраженная волна должна быть в противофазе с бегущей волной. Уравнения для бегущей и отраженной волны примут вид

; (17.3)

. (17.4)

Здесь А – амплитуда колебаний w – циклическая частота, x– координата от начала струны. Бегущая и отраженная волны накладываются. Сложив уравнения волн по формулам тригонометрии, получим уравнение для результата интерференции

. (17.5)

Как видно, частицы струны совершают колебания с частотой бегущей волны, но фазовая скорость отсутствует. Собственно говоря, это не волна, а колебательное состояние среды. Его называют стоячей волной. Выражение имеет смысл амплитуды. Точки среды, где амплитуда равна нулю, называются узлами смещения. Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны. Узлы отделяют друг от друга изолированные зоны, называемые пучностями, в которых частицы совершают колебания (рис.17.2). Направления колебаний в соседних пучностях противоположны. Максимальная амплитуда в два раза больше амплитуды бегущих волн. Стоячая волна в струне может возникнуть при условии, что на её закрепленных концах будут узлы смещения. Для этого длина струны должна быть равна целому числу полуволн (рис.17.3).

3. Скорость распространения упругих волн

Упругая волна – это механический процесс, который должен подчиняться второму закону Ньютона. Рассмотрим три примера определения скорости упругих волн.

1 . Определим скорость распространения волны в струне, которая растянута силой Т. Пусть по струне бежит поперечная волна. Будем мысленно перемещаться вместе с некоторым бегущим изгибом волны в струне в форме «горбика» со скоростью волны (рис. 17.4). «Горбик бежит по струне, а частицы струны пробегают «горбик» и движутся почти по дуге окружности с центростремительным ускорением. Уравнение второго закона Ньютона для некоторого элемента примет вид .

Из треугольника сил . Масса «горбика» определим, умножив линейную плотность массы ρ на длину «горбика» . Подставив преобразования в уравнение второго закона Ньютона, получим для скорости распространения поперечной волны в формулу

. (17.6)

Чем сильнее натянута струна, тем скорость распространения волны будет больше.

2. Определим скорость распространения продольной волны в упругом стержне (рис.17.5). Для стержня справедлив закон Гука : относительная деформация пропорциональна напряжению (отношение силы к площади сечения). Коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга. Это характеристика упругих свойств материала. Пусть площадь сечения стержня S, плотность материала ρ.

Подействуем на свободный конец стержня силой F. Частицы стержня начнут движение с некоторой скоростью U. Фронт волны сжатия начнет распространяться по стержню со скоростью упругой волны V и за время dt сжатым будет участок длиной . Величина сжатия участка будет равна произведению скорости движения частиц на время действия силы . Отсюда получим, что отношение скорости смещения частиц к скорости распространения волны пропорционально отношению деформации участка к его длине: . Подставив величину относительной деформации из закона Гука, получим соотношение между скоростями .

Запишем уравнение второго закона Ньютона для участка стержня, пришедшего в движение: изменение импульса участка равно импульсу силы . Массу участка определим как произведение плотности на объем . Подставив в уравнение второго закона Ньютона массу и скорости смещения, получим .

Откуда после сокращения получим для фазовой скорости упругой продольной волны в стержне формулу

. (17. 6)

Здесь Е – модуль Юнга, ρ – объёмная плотность материала. В металлах, благодаря высокой упругости, скорость звука составляет несколько километров в секунду.

3. Рассмотрим распространение звуковой волны в газе. Звук в газах − это процесс распространения областей сжатия – разрежения.

Пусть поршень, находящийся у основания трубки с площадью сечения S, начал движение с дозвуковой скоростью U. Частицы газа, прилегающие к поршню, приходят в движение с такой же скоростью. Воздух перед поршнем сжимается и сжатие передается последующим слоям. Граница между сжатым и невозмущенным газом, называемая фронтом, перемещается со скоростью звука V (рис. 17.6).

Применим для определения скорости звука уравнение второго закона Ньютона для движущейся массы газа: (изменение импульса газа равно импульсу силы со стороны поршня) Массу газа определим как произведение плотности на объем: , а силу давления на газ как произведение повышения давления на площадь: F = dpS. Примем, что отношение скоростей поршня и скорости фронта пропорционально отношению проходимых расстояний: , которое, в свою очередь, равно относительному изменению плотности газа. Подставив полученные преобразования в уравнение второго закона Ньютона, произведя замену Δl=Vdt, получим .

Вследствие кратковременности процессы сжатия – разрежения газа в звуковой волне происходят адиабатически, без теплообмена между нагретой областью сжатия и охлажденной областью разрежения. Поэтому применим уравнение Пуассона . Дифференцируя , получим

. (17.7)

Здесь R = 8,31 Дж/ моль∙К – газовая постоянная, Т – абсолютная температура, М = 28,9 10 ^–3 кг/моль – масса моль воздуха, g = 1,4 – показатель адиабаты для двухатомных газов.