- •Физические основы механики
- •1. Кинематика поступательного движения
- •1. Основные понятия кинематики
- •2. Скорость
- •3. Ускорение
- •4. Уравнения равнопеременного движения
- •5. Стандартный график движения поезда
- •2. Силы в механике
- •1. Сила тяжести и вес тела
- •2. Силы трения покоя и скольжения
- •3. Аэродинамические силы
- •4. Сила упругости
- •3. Силы в транспорте
- •1. Сила тяги локомотива
- •2. Зависимость силы тяги от скорости
- •3. Сила трения качения
- •4. Сила торможения
- •4. Динамика поступательного движения
- •1. Законы Ньютона
- •2. Движение поезда в режиме постоянной силы тяги
- •3. Движение поезда в режиме постоянной мощности
- •4. Движение поезда при торможении и выбеге
- •5. Неинерциальные системы отсчета
- •Силы инерции
- •2. Движение вагона на повороте
- •3. Опрокидывание вагона на повороте.
- •4. Силы в автосцепках вагонов
- •6. Статика
- •1. Условие равновесия тел
- •2. Сила давления вагона на рельсы
- •3. Стоянка поезда на спуске
- •4. Балластировка локомотива
- •7. Законы сохранения в механике
- •1. Закон сохранения импульса
- •2. Работа
- •3. Кинетическая энергия
- •4. Потенциальная энергия
- •5. Закон сохранения энергии
- •8. Соударение тел
- •1. Явление удара
- •2. Соударение тел
- •3. Сцепление вагонов
- •Параметры кинематики вращательного движения
- •2. Момент силы
- •3. Основной закон динамики вращательного движения
- •4. Расчет момента инерции некоторых тел
- •10. Динамика плоского движения тел
- •1. Движение центра масс
- •1. Плоское движение твердых тел
- •3. Теорема Штейнера
- •4. Ускорение при скатывании вагона
- •11. Кинетическая энергия вращателього
- •1. Кинетическая энергия вращательного движения
- •2. Кинетическая энергия при плоском движении тела
- •3. Скатывание вагона с сортировочной горки
- •4. Аккумулирование энергии маховиком
- •12. Закон сохранения момента импульса
- •1. Момент импульса
- •2. Закон сохранения момента импульс для одного тела
- •3. Закон сохранения момента импульса для системы тел
- •4. Гироскоп
- •13. Релятивистская механика
- •1. Постулаты сто
- •2. Преобразования Лоренца
- •3. Следствия преобразований Лоренца
- •3. Основы релятивистской механики
- •4. Радиолокационный скоростемер.
- •14. Механические колебания
- •1. Уравнение гармонических колебаний.
- •2. Пружинный маятник
- •3. Физический маятник
- •4. Галопирующие колебания вагона
- •15. Затухающие колебания
- •1. Уравнение затухающих колебаний
- •2. Параметры затухания колебаний
- •3. Амортизаторы вагона
- •4. Рессорное подвешивание вагона
- •16. Вынужденные колебания
- •1. Уравнение вынужденных колебаний
- •2. Вибрация электродвигателя
- •17. Волны в упругих средах
- •1. Уравнение волны.
- •2. Интерференция волн
- •3. Скорость распространения упругих волн
- •4. Колебания контактного провода
- •1. Кинематика поступательного движения…………………… …………...………7
15. Затухающие колебания
Затухающие колебания – это собственные колебания маятников, амплитуда которых со временем уменьшается. Реально собственные колебания всегда затухающие из-за действия силы сопротивления среды.
1. Уравнение затухающих колебаний
Получим уравнение затухающих колебаний. На маятник действует, во-первых, упругая возвращающая сила. В первом приближении силы упругости пропорциональны смещению х от положения равновесия где – коэффициент упругости. Во-вторых, сила сопротивления среды. Примем, что сила сопротивления пропорциональна скорости . Так бывает при движении тела в вязкой среде с небольшой скоростью.
Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Ох будет иметь вид: произведение массы тела на ускорение равно сумме проекций сил упругости и сопротивления:
. (15.1)
Приведём это уравнение к канонической форме, поделив его на массу
. (15.2)
Здесь обозначено: – коэффициент затухания, – циклическая частота свободных (незатухающих) колебаний. Решением этого дифференциального уравнения является функция, превращающая уравнение в тождество
, (15.3)
где – циклическая частота затухающих колебаний, – амплитуда колебаний в начальный момент времени, – начальная фаза колебаний. При малом затухании (b < w0) частота затухающих колебаний практически не отличается от частоты свободных колебаний. Если b > w0 , то колебания невозможны: тело, выведенное из положения равновесия, медленно смещается к положению равновесия. Такое движение называется апериодическим колебанием.
А мплитудой затухающих колебаний является выражение перед синусом в уравнении (15.3)
А =А 0 е -b t . (15.4)
Как видно, со временем амплитуда уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 15.1, пунктир).
2. Параметры затухания колебаний
Затухание колебаний характеризуют несколькими параметрами. Во-первых, коэффициент затухания, который характеризует уменьшение амплитуды со временем, согласно формуле (15.4). Пусть за некоторое время τ, называемое временем релаксации, амплитуда уменьшилась в e = 2,72 раза, тогда , откуда . Коэффициент затухания характеризует уменьшение амплитуды колебаний со временем и равен величине, обратной времени релаксации.
Во-вторых, параметром затухания является логарифмический декремент. По определению он равен логарифму отношения амплитуд двух соседних колебаний:
, (15.5)
где – амплитуда в момент времени t, – амплитуда через один период .
Установим связь между логарифмическим декрементом и коэффициентом затухания , то есть . Используя это соотношение уравнение для амплитуды (15.4) можно записать как функцию числа совершенных колебаний N. Подставив время и коэффициент затухания , получим . Отсюда видно, что логарифмический декремент характеризует уменьшение амплитуды в зависимости от числа колебаний и равен величине, обратной числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е = 2,72 раза.
Логарифмический декремент характеризует потери энергии. Полная энергия колебаний равна , или . Потери энергии за малое число колебаний определим, дифференцируя функцию энергии . Примем число совершенных колебаний равное половине колебания и получим . То есть, логарифмический декремент равен относительным потерям энергии за половину периода.