3.5. Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования

состояния пространственных систем линейной теории упругости

Вопрос дискретизации трёхмерных объектов и систем деформируемых твёрдых тел более сложный, чем объектов и систем в двумерном пространстве. Общие принципы разбиения пространственных областей на элементарные части разработали Зейферт Г. и Трельфалль В. Однако их практическая реализация представляет определённые трудности. Автором разработан принцип и алгоритм согласованной объёмной дискретизации объектов и систем в трёхмерном пространстве. Дискретизацию предлагается производить конечными элементами в форме параллелепипедов, каждый из которых в свою очередь разбивается на тетраэдры. Этот процесс можно производить различным образом. В разработанном подходе параллелепипед предлагается разбивать тремя секущими плоскостями на шесть равновеликих тетраэдров. Ориентация секущих плоскостей должна обеспечивать минимальную разность номеров узлов в каждом тетраэдре дискретизируемого параллелепипеда. В объёме параллелепипеда противоположные грани должны быть гомеоморфными, рис.3.6, что является основным условием согласованной дискретизации элементов системы твёрдых тел. Такой двухступенчатый подход к процессу дискретизации является достаточно удобным и гибким, т.к. позволяет сравнительно легко строить дискретизованную область нерегулярной структуры.

p r m m n

k l

l

i j i j

Рис. 3.6. Дискретизация параллелепипеда Рис. 3.7. Тетраэдр

Поэтому в качестве исходного конечного элемента в настоящей работе принят тетраэдр. Для тетраэдра основное уравнение метода конечных элементов имеет следующий общий вид:

(3.27)

где - векторы узловых усилий и перемещений соответственно,

- матрица жёсткости.

В настоящей работе предложен разработанный автором аналитический алгоритм построения конечноэлементных соотношений для тетраэдра и для всей дискретизируемой системы деформируемых твёрдых тел.

Конечноэлементные соотношения для тетраэдра будем выводить, полагая, что к его вершинам приложены узловые усилия

которым будут соответствовать узловые перемещения

Для тетраэдра можно взять линейные функции для перемещений

(3.28)

или (3.29)

где

(3.30)

(3.31)

Так как (3.28) имеет место для любой точки тетраэдра, то для его узлов будем иметь (3.32)

где

(3.33)

- координаты узлов тетраэдра.

Из (3.32) следует

(3.34)

где

- объём элементарного тетраэдра,

- номера вершин элементарного тетраэдра.

Остальные значения получаются круговой перестановкой индексов. Отметим, что и в этом случае порядок обхода узлов тетраэдра не имеет значения, если неизвестные коэффициенты в (3.28) определять сразу так, как это описано для определения соответствующих коэффициентов для плоской задачи.

Используя уравнения Коши и обобщённый закона Гука, получим:

(3.35)

(3.36)

где (3.37)

(3.38)

где - модуль сдвига и коэффициент Ламе соответственно.

Подставим (3.34) в (3.35) и (3.36), тогда получим:

(3.39)

(3.40)

На основании принципа возможных перемещений:

(3.41)

Подставив в (3.41) выражения (3.39) и (3.40) и учитывая, что в рассматриваемом случае все матрицы и не зависят от координат, получим

(3.42)

следовательно, для тетраэдра: (3.43)

где

Выполнив матричные операции в (3.43), получим

(3.44)

Где

где i – номер узла, связанного с узлами j; i, j=1,2,3,4;

G, λ – модуль сдвига и коэффициент Ламе:

=

Глобальная матрица жёсткости строится аналогично, как и в двумерном случае.