- •Математический факультет Кафедра вычислительной математики и программирования
- •Содержание
- •2 Разностные методы решения задач математической физики….…..20
- •Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •1 Математические модели физических систем
- •1.1 Физические системы и методы их исследования
- •Основные определения и понятия
- •Системы деформируемых твёрдых тел
- •1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел
- •1.1.4 Средства исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел
- •Разностные схемы для основных уравнений математической физики
- •1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация
- •1.2.2 Разностная аппроксимация основных производных. По определению производная функции одной переменной записывается в виде
- •Это значит, что аппроксимация
- •Общий принцип метода сеток
- •Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
- •2 Разностные методы решения задач математической физики
- •2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.2 О задаче Дирихле
- •2.1.3 Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа
- •2.1.4 Разностная аппроксимация граничных условий
- •2.2 Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле для
- •2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
- •2.2.2 Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
- •2.3. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге
- •2.4. Разностные схемы для линейных дифференциальных
- •2.5. Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.5.1. Общая постановка задачи.
- •3. Метод конечных элементов и суперэлементов
- •3.1. Физические предпосылки методов
- •3.2 Деформации твёрдых тел
- •3. 2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.2.2. Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.3. Прикладные вопросы метода конечных элементов
- •3.3.1. Основная концепция метода конечных элементов
- •3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области
- •3.3.3. Метод конечных элементов в теории упругости.
- •3..4 Построение конечно - элементных соотношений
- •3.5. Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования
- •Свойства матрицы жёсткости
- •3.7 Аналитический алгоритм метода суперэлементов
- •Методы исследования нелинейных математических
- •4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных
- •4.2 Итерационные численные методы
- •4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем
- •4.4 Сравнительный анализ эффективности методов исследования
- •5 Основы методологии компьютерного объектно-
- •5.1 Основные понятия и определения
- •5.2 Построение виртуальной физической модели системы
- •5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании
- •5.4 Деформации грунтовых оснований при устройстве отдельных
- •6 Технология компьютерного объектно-
- •6.1 Технологические этапы компьютерного объектно-ориентированного
- •6.2 Интерфейс визуального ввода данных
- •7 Программное обеспечение компьютерного
- •7.1 Структура программного обеспечения объектно-ориентированного моделирования системы деформируемых твёрдых тел
- •7.2 Технология объектно-ориентированного программирования
- •Объектно-ориентированного моделирования физической системы
- •7.3 Программный комплекс «Энергия - 2д » моделирования
- •7.4 Программный комплекс «Энергия - ос » моделирования
- •7.5 Программный комплекс «Энергия - 3д » моделирования
- •8 Верификация технологии и программного
- •8.1 Методологические аспекты верификации
- •8.2 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.3 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.4 Верификация технологии и программного обеспечения
- •Численные методы математической физики
- •1. Метод сеток для задачи дирихле
- •1.1. Основы метода сеток
- •1.3.Варианты задания
- •Лабораторная работа №2
- •Дополнение к лабораторной работе №2
- •Лабораторная работа №3 Метод сеток для уравнения параболического типа.
- •Лабораторная работа №4 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании
систем механики грунтов
При визуальном объектно-ориентированном компьютерном моделировании сложной нелинейной системы «Фундамент – грунтовое основание» необходимы следующие исходные данные:
0бласть определения системы: определяется форма и начальные размеры расчётной области. Как правило, для пространственных задач расчётная область принимается в форме параллелепипеда, размеры которого определяются на основании экспериментальных данных или посредством расчёта в соответствии с принципом Сен-Венана и теоретического решения задачи о действии сосредоточенной силы на поверхности или внутри полупространства.
Структуры грунтовых напластований: на основании инженерно-геологических изысканий строится геометрическая модель грунтового основания строительной площадки, при этом определяется мощность и глубина залегания слоёв, линз и включений грунтов с указанием их физико-механических характеристик.
Тип и структура фундамента: фундаменты могут быть любого типа и произвольной структуры. Начальные размеры и расположение фундаментов в плане всего здания задаются соответствующей геометрической моделью. В плане всего здания фундаменты могут быть различных типов и различной структуры. Расчёт фундаментов производится сразу для всего здания.
Физико-механические характеристики элементов структуры основания и фундамента; эти данные определяются для условия линейного и нелинейного деформирования. Закон нелинейного деформирования грунта может быть любой, рекомендуется в виде степенной функции или двучлена степени m > 1.
Величина и характер распределения внешней нагрузки: нагрузка на фундамент может быть непрерывной и (или) дискретной, распределённой равномерно или любым другим образом.
Параметры дискретизации: определяются исходя из размеров расчётной области, структуры и свойств грунтового основания, типа и структуры фундамента. Всякий элемент дискретизации, т.е. всякий конечный элемент по своей структуре и свойствам должен быть строго однородным. Дискретизацию расчетной области пользователь может задать сам или воспользоваться автоматической разбивкой, задав шаги дискретизации.
При работе с программным обеспечением визуального объектно-ориенти-рованного моделирования заданной структуры фундаментов и грунтовых оснований выполняются следующие действия:
Формируются вектора для автоматического построения дискретизованной области нерегулярной структуры;
Создается конкретное наполнение базы данных физико-механических характеристик грунтового основания;
Формируются вектора граничных условий для заданной системы;
На экране монитора послойно строится пространственная виртуальная физическая модель системы, производится адресная привязка конструктивных элементов фундамента, при этом каждому конечному элементу системы назначаются его начальные свойства, считываемые из соответствующей базы данных.
Далее происходит численное решение сформированной задачи. Результаты решения представлены значениями компонент векторов перемещений для каждого узла дискретизованной области при условиях линейного и нелинейного деформирования. Производится экранная визуализация результатов в векторной и табличной формах. Считывание информации возможно по вертикальным и горизонтальным плоскостям пространственной дискретизованной области.
В случае изменения структуры и (или) свойств физической системы все рассмотренные процедуры повторяются полностью.
В практике строительства известно, что вследствие устройства отдельных типов фундаментов грунтовое основание в их окрестности будет находиться в уплотнённом состоянии. Возникает вопрос значимости этого уплотнения и его формального описания. Наиболее эффективным подходом решения этой задачи является метод компьютерного объектно-ориентированного моделирования на основе метода конечных элементов и метода энергетической линеаризации [11, 22]. Для решения поставленной и сопутствующих задач была разработана оригинальная методика и технология компьютерного объектно-ориентированного моделирования этого класса задач.