Дополнение к лабораторной работе №2

Решение краевых задач для криволинейных областей

Если граница Г области G криволинейна, то значения u_tj для граничных узлов получают путем переноса значений из точек гра­ницы Г. Погрешность, получаемую в результате такого переноса,

можно значительно уменьшить, если для каждого граничного узла составлять уравнение следующего вида:

1) для узла A_h (рис. 14)

(2.1)

(2.2)

Получив одно из таких уравнений для каждого граничного узла и присоединив их к системе (4) или (5) лабораторной работы №1, получим систему алгеб­раических уравнений относительно значений u_ij в узлах сетки. Если эту систему решать методом Либмана, то последовательные прибли­жения граничных значений будут вычисляться по формулам

(2.3)

(2.4)

Варианты задания

1. (Г), u(x,y)|_Г = |х| + |у|.

2. х² + у² = 16 (Г), u(x,y)|_Г = |х| + 2 |у|.

3. (Г), u(x,y)|_Г = |х|  |у|.

4. (Г), u(x,y)|_Г = 2|х| + |у|.

5. (Г), u(x,y)|_Г = |х|  |у|.

6. х² + у² = 16 (Г), u(x,y)|_Г =0,5 |х| + |у|.

7. (Г), u(x,y)|_Г = |х| +0,5 |у|.

8. (Г), u(x,y)|_Г = |х| + |у|.

9. (Г), u(x,y)|_Г = 2|х| + 0,5|у|.

10. (Г), u(x,y)|_Г = 0,5||х| +2| у|.

Лабораторная работа №3 Метод сеток для уравнения параболического типа.

Основные теоретические сведения.

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теп­лопроводности: найти функцию и(х, t), удовлетво­ряющую уравнению

, (3.1)

начальному условию u(x.0) = f(x) (0 < x < s) (3.2)

и краевым условиям u(0.t) = (t) ; u(s.t) = (t). (3.3)

Построим на полуполосе t  0, 0 ≤ х ≤ s, рис. 3.1, два семейства параллельных прямых:

х = ih (i = 0, 1, 2,...), t = j l (j = 0, 1, 2, ...).

Рис. 3.1

Обозначим х_i = ih ; t_j = j l, тогда можем записать

( 3.4)

, (3.5)

. (3.6)

На основании соотношений (3.5) и (3.6) для уравнения (3.1) получим два типа конечно-разностных уравнения

= (3.7)

(3.8)

Рис.3.2 Рис.3.3

Уравнение (3.7) соответствует явному двухслойному шаблону рис.3.2, а уравнение (3.8) соответствует неявному двухслойному шаблону рис.3.3.

Введём обозначение  = l / h² , учитывая это уравнения (3.7) и (3.8) можно привести к виду

(3.9)

(3.10)

При выборе числа  в уравнениях (3.9), (3.10) следует учиты­вать два обстоятельства:

1) погрешность замены дифференциального уравнения разностным должна быть наименьшей;

2) разностное уравнение должно быть устойчивым.

Доказано, что уравнение (3.9) будет устойчивым при 0 <  ≤ 1/2, а уравнение (3.10) — при любом .

Методом сеток можно решать смешанную краевую задачу для неоднородного параболического уравнения

+ F(x,t) (3.11)

Тогда соответствующее разностное уравнение, использующее явную схему узлов, имеет вид

+ l F_i,j (3.12)

Отсюда получаем при  =1/2

(3.13)

при  = 1/6

(3.14)

Пример. Используя разностное уравнение (3.13), найти при­ближенное решение уравнения , (3.15)

удовлетворяющее условиям и(х, 0) = sin π x (0  x  1), и(0, t ) = и(1, t ) = 0 (0  t  0,025). (3.16)

Решение.

Выберем по аргументу х шаг h = 0,1. Так как  = 1/2, получаем по аргументу t шаг l = h²/2 = 0,005. Записываем в табл. 5.1 начальные и краевые значения. Учитывая их симметрию, заполняем таблицу только для x = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Значения функции и (х, t) на первом слое находим, используя значения на начальном слое и краевые условия, по формуле

(3.17)

при j = 0:

Таким образом, получаем

= 0,5 (0,5878 + 0) = 0,2939,

= (0,8090 + 0,3090) = 0,5590

и т. д.

Записываем полученные значения и _i1 (i = 1, 2, 3, 4, 5) во вторую строку табл. 3.1. После этого переходим к вычислению значений на втором слое при j = 1:

.

Аналогично определяем значения и(i,j) при последующих значениях t. В двух последних строках таблицы приведены значения точного решения задачи (х, t)= e ^{–π π t}sin π x и модуля разности

 - u  при t = 0,025.

Таблица 3.1
j	x t	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
0 1 2 3 4 5	0 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025	0 0 0 0 0 0	0,3090 0,2939 0,3795 0,2658 0,2528 0,2404	0,5878 0,5590 0,5316 0,5056 0,4808 0,4574	0,8090 0,7699 0,7318 0,6959 0,6619 0,6294	0,9511 0,9045 0,8602 0,8182 0,7780 0,7400	1,0000 0,9511 0,9045 0,8602 0,8182 0,7780
(х, t)	0,025	0	0,2414	0,4593	0,6321	0,7431	0,7813
 - u 	0,025	0	0,0010	0,0019	0,0027	0,0031	0,0033

Задача

Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа

с заданными начальными условиями

и краевыми условиями , где

Решение выполнить при по симметрической схеме

Варианты:

№
1
2
3
4
5		0
6
7		0.2
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22