3. Метод конечных элементов и суперэлементов

3.1. Физические предпосылки методов

Системы деформируемых твёрдых в самом общем случае характеризуются неоднородностью своей структуры и свойств составляющих ее макроэлементов. Отдельные элементы системы могут иметь нулевые физико-механические характеристики, т.е. система может содержать пустоты, в таких случаях система деформируемых твёрдых тел будет определена в многосвязной области. Эта особенность характерна для систем механики грунтов и строительной механики. Для систем механики грунтов макроэлементами будут грунтовое основание, состоящее из слоев, линз и вклиниваний; конструкции фундаментов в плане всего здания и само здание, т.е. в целом имеется неоднородная система с большим спектром свойств. Математические модели таких систем аналитическими методами не исследуются. Единственным путем их исследования могут быть те или иные методы численного моделирования, которые предусматривают разбиение области существования системы на элементы определенной формы, размеров и свойств. Приведенным особенностям хорошо отвечает метод конечных элементов (МКЭ). В этом методе идеализация сплошной среды заключается в ее замене системой плоских или объемных элементов. Форма элементов может быть различной и зависит от формы рассматриваемой области или ее участков. Для плоской задачи наиболее простые решения получаются при треугольной форме элементов. Для пространственной задачи элементы могут выбираться в форме параллелепипедов или тетраэдров.

Сплошное тело, разделенное на элементы, казалось бы, обладает большой податливостью, что приведет к искажению напряжения и деформаций. Для того чтобы этого не произошло, необходимо ввести определенные условия, приводящие к идентификации напряженно-деформируемого состояния тела. Это достигается требованиями выполнения условий сплошности. В общем случае среда может быть неоднородной по своим физико-механическим свойствам. Однако разбивку на элементы следует производить так, чтобы в пределах одного элемента участок среды можно было бы рассматривать как однородный. Причем любой другой элемент, оставаясь так же однородным, может характеризоваться показателями свойств, отличными от соседних элементов. Таким образом, система элементов в целом может представлять неоднородную среду. В узлах элементов вводятся концентрированные силы, статически эквивалентные приложенным внешним силам.

3.2 Деформации твёрдых тел

3. 2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел

Теория упругости изучает вопросы деформирования и напряжения в различных упругих телах, возникающих под действием внешних сил.

Величины внешних, т.е. поверхностных нагрузок, а также внутренних сил характеризуются их интенсивностью, т.е. величиной усилия, приходящегося на единицу площади поверхности, на которую они действуют. При рассмотрении внутренних усилий эту интенсивность обычно называют напряжением. Это название можно сохранить и для внешних нагрузок, если они распределены на рассматриваемой области сплошным образом.

Если P обозначим усилие, приходящееся на рассматриваемую элементарную площадку S, то указанное выше напряжение определяется следующим образом:

Заметим, что такая формулировка понятия напряжения непременно предполагает тело сплошным, непрерывным.

Внешнюю силу, произвольно ориентированную в пространстве в декартовой системе координат, можно представить в виде составляющих P_x, P_y, P_z, имеющих ориентацию по осям координат. При обозначении напряжения одного индекса недостаточно, так как кроме направления действия составляющей, необходимо еще определить и площадку, на которую она действует. Напряжения представляют в виде двух составляющих: нормальное  и касательное  напряжения. Индекс нормального напряжения указывает ту ось, параллельно которой направлена составляющая. Касательные напряжения имеют два индекса: первый индекс соответствует оси, параллельно которой действует составляющая, а второй индекс указывает на направление нормали к площадке, на которую действует составляющая. На рис.3.1 представлены составляющие напряжения в декартовой системе координат.

Рис.3.1. Составляющие напряжения в декартовой системе координат.

Для составляющих напряжения принимается следующее правило знаков: нормальное напряжение считается положительным, когда оно вызывает растяжение, и отрицательным, когда оно вызывает сжатие. Для касательных напряжений положительным направлением будет то, которое совпадает с направлением координатной оси.

Под деформацией понимают изменение линейных размеров тела. Деформация любого элементарного объема может быть представлена состоящей из ряда отдельных простейших деформаций, т.е. разложена на составляющие.

В случае элементарного параллелепипеда имеется шесть составляющих деформации: три линейные составляющие (удлинение ребер) и три угловые составляющие (сдвиги).

Относительные удлинения ребер обозначают с индексом, указывающим направление удлинения. Положительными линейными деформациями считаем удлинения, отрицательными - укорочения. Считается, что положительному сдвигу соответствует уменьшение угла между положительными направлениями осей, отрицательному - увеличение тех же углов. Углы сдвига, проектирующиеся на плоскость x y, обозначим _xy (или _yx). Соответственно для остальных плоскостей углы сдвига _yz (или _zy) и _zx (или _xz).

При элементарных деформациях первого рода (удлинение ребер) меняется объем параллелепипеда и его форма, рис.3.2а; а при деформациях второго рода (сдвиги) объем остается неизменным, изменяется лишь форма, рис.3. 2б.

а) б)

Рис.3.2. Виды деформаций: а) удлинение ребер, б) сдвиг.

Рассмотрим сплошное твердое тело, прикрепленное к опорам таким образом, что оно не может перемещаться. Тогда перемещения любой точки этого тела могут произойти только в результате деформации этого тела. Обозначим U,V,W проекции полного перемещения некоторой точки на оси координат Ox, Oy, Oz и назовем их компонентами смещения. Компоненты смещения различны для различных точек и являются функциями координат точки:

U=f₁(x,y,z), V=f₂(x,y,z), W=f₃(x,y,z).

Полное смещение точки определяется выражением

.

Запишем дифференциальные уравнения равновесия в статическом (динамическом) виде:

(3.1)

Здесь  - плотность вещества, X, Y, Z - проекции на соответствующие оси объемной силы, отнесенной к единице массы. Выражения в скобках для правой части используется в случае движения.

Перемещения определяются деформациями тела, эта зависимость выражается уравнениями

(3.2)

Эти уравнения также называют геометрическими или уравнениями Коши.

Наличие всех компонентов напряжений, показанных на рис.3.1, определяет следующие составляющие деформации:

(3.3)

где  - модуль упругости,  - коэффициент Пуассона, G - модуль сдвига, .

В этом виде обычно выражается закон упругости для изотропного тела.