2.1.3 Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа

Сущность методики построения разностных аппроксимаций для линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа покажем на примере уравнения Пуассона:

, (2.5)

определённого в области D с границей Г. Построим прямоугольную сетку, определив положение узлов (х_m ,у_n ) по правилу

x_m = m h , (m= 0, 1, 2,…),

y_n = n l , (n= 0, 1, 2,…).

Сеточную область D_h определим как совокупность узлов, принадлежащих области = D+Г. Для аппроксимации дифференциального оператора разностным используем пятиточечный шаблон. Сеточную область и разностную аппроксимацию строим согласно п.1.2. Очевидно, что построение D_h зависит от того, какой шаблон выбран для аппроксимации дифференциального уравнения. Пусть узел (m.n) D_h. Замену дифференциального уравнения (2.5) разностным будем осуществлять только во внутренних узлах. Тогда для т. (m.n) можем записать:

(2.6)

Заменяя дифференциальные операторы разностными, согласно изложенного в п.1.2, получим

+ = f(x_m,y_n), (2.7)

x_m-1 < x_m < x_m+1 , y_n-1 < y_n < y_n+1 .

Пусть функции и ограничены по модулю в области , тогда в формуле (2.7) при достаточно малых h и l можно пренебречь членами, содержащими множители h² и l² , в итоге получим искомое разностное уравнение

L_h (u ^(h)) = f^(h), (2.8)

где , f(x_m,y_n). (2.9)

В (2.9) через u_m,n обозначено приближённое сеточное значение решения уравнения (2.5) , поэтому u_m,n u(x_m,y_n) и u(x,y) - решение уравнения (2.5).

Согласно введённых определений и понятий можно из формул (2.7) и (2.8) получить

L_h (u_h(x,y)) = f^(h) + f^(h), (2.10)

где

f^(h) = .

При сделанных выше предположениях относительно и , будет иметь место оценка погрешности

|| f^(h)||_Fh ≤ М h² , (2.11)

где М - постоянная, не зависящая от h.

Оценка (2.11) означает, что разностное уравнение (2.8) аппроксимирует дифференциальное уравнение (2.5) на решении u(x,y) с погрешностью порядка O( h²).

2.1.4 Разностная аппроксимация граничных условий

Рассмотрим вопрос замены граничных условий (2.1) разностными отношениями на множестве граничных узлов Г_h. Пусть т. (m, n) Г_h , обозначим её буквой В, т. (m+1,n) –внутренняя точка, ближайшая к точке В по направлению x, обозначим её буквой А. Буквой М обозначим точку контура Г, ближайшую к В по направлению x. Выпишем координаты этих точек: М(х_m- ,y_n), 0 < < h , B(х_m,y_n), A(х_m+1,y_n). По условию (2.1) имеем и|_г= φ₁(М). Значит можно положить

u_m,n= φ₁(М) (2.12)

для точек (m, n) Г_h. Определим погрешность формулы (2.12) . Имеем

φ₁(М) = u(х_m- , y_n) = u(х_m, y_n) - , х_m- < х < х_m . Отсюда следует

u(х_m, y_n) - φ₁(М) = u(х_m, y_n) - u_m,n = - . (2.13)

Из выражения (2.13) следует, что погрешность формулы (2.12) будет иметь первый порядок относительно h в предположении, что = α h, 0 < α < 1. Если точки М и В совпадают, то формула (2.12) будет точной.

Точность вычисления u_m,n при (m, n) Г_h можно повысить, если воспользоваться ещё значением u(х, y) в точке А. Имеем

u(М) = u(х_m- , y_n) = u(B) - + , (2.14)

где - некоторая средняя точка между М и В,

u(А) = u(х_m+h, y_n) = u(B) - + , (2.15)

где - некоторая средняя точка между А и В. Исключив из (2.14)

с помощью формулы (2.15), получим

Отбросив здесь величину О(h²), получим разностное граничное условие, аппроксимирующее граничное условие (2.1) в узле (m, n) Г_h с погрешностью порядка О(h²).

Формулы вида (2.12) могут быть записаны для любого узла (m, n) Г_h.

Рассмотрим вопрос замены граничных условий (2.2) разностными отношениями на множестве граничных узлов Г_h. Пусть т. (m, n) Г_h , обозначим её буквой В. Буквой М обозначим точку контура Г, ближайшую к В. Буквой А обозначим внутреннюю точку (m-1,n),

С – граничный узел (m,n-1), n – внешняя нормаль к Г в точке М. Пусть α есть угол между нормалью и осью Ох, β - угол между нормалью и осью Оу. При этом β = 1.5π + α .

Необходимо построить разностную аппроксимацию для граничного условия

|_г = φ(М).

По определению имеем: = cos α + cos β = cos α + sin α. (2.16)

Будем считать, что направления нормалей в т.В и т.М совпадают. Т.к. расстояние между этими точками величина порядка О(h), то принятое предположение внесёт погрешность этого же порядка. Значит,

|_(M) ≈ |_(B) .

В итоге получим (2.17)

Формула (2.17) является искомой разностной аппроксимацией граничного условия |_г=φ(М) с погрешностью О(h+l). Выражения (2.17) должны быть записаны для всех узлов (m, n) Г_h , вследствие этого будут получены разностные граничные условия, аппроксимирующие граничные условия второго рода.