3.3.3. Метод конечных элементов в теории упругости.

При применении метода конечных элементов для решения задач теории упругости сплошное тело рассматривают условно состоящим из конечного числа отдельных элементов, вплотную прилегающих друг к другу и шарнирно скрепленных между собой в вершинах этих элементов. Форма и размеры тела остаются неизменными. В случае полупространства или полуплоскости выделяется область где значениями напряжений или перемещений, возникающих от нагрузок, можно пренебречь. Форма элементов может быть различной и зависит от формы рассматриваемой области или ее участков. Сплошное тело, разделенное на элементы, казалось бы обладает большей податливостью, что приведет к искажению напряжения и деформаций. Для того чтобы этого не произошло, необходимо ввести определенные условия, приводящие к идентификации напряженно - деформируемого состояния тела. Это достигается требованиями выполнения условий сплошности, в частности, на границах между элементами, т.е. разделение сплошной среды на элементы в МКЭ не сопровождается ее разрезом, элементы не являются отдельными кусками, а лишь выделяются из сплошной среды. В общем случае среда может быть неоднородной по своим физико-механическим свойствам. Однако разбивку на элементы следует производить так, чтобы в пределах одного элемента участок среды можно было бы рассматривать как однородный. Причем любой другой элемент, оставаясь так же однородным, может характеризоваться свойствами, отличными от соседних элементов. Таким образом, система элементов будет в целом представлять неоднородную среду.

В данной работе будут использоваться так называемые симплекс элементы, т.е. элементы, которым соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены:

₀+₁x+₂y или ₀+₁x+₂y+₃z. (*)

Очевидно, число коэффициентов в полиномах (*) больше на единицу размерности координатного пространства, или, коэффициентов столько, сколько вершин в конечном элементе. Деформация и напряжение в любом конечном элементе выражаются через перемещения по известным формулам. В узлах элементов вводятся концентрированные силы, статически эквивалентные напряжениям на границе соответствующего элемента и внешним силам, приложенным к нему. Условие равновесия этих сил в любом узле приводит к системе алгебраических уравнений для основных неизвестных параметров.

3..4 Построение конечно - элементных соотношений

для плоской задачи линейной теории упругости

Метод конечных элементов позволяет оперировать с элементами различной формы. Однако для практических задач наиболее удобными оказались треугольные элементы, позволяющие легко сгущать сетку в местах ожидаемых высоких градиентов и удобные при оконтуривании границ рассчитываемой области.

Рассмотрим метод построения конечно-элементных соотношений для плоской задачи теории упругости. Пусть имеется двумерный симплекс-элемент с вершинами i, j, k (рис.3.4). Перемещение, как величина векторная, в каждом узле будет представлено двумя компонентами: {}^T={U_ ,V_}, где  = i, j, k . Следовательно, для всего конечного элемента получим: {}^еT={_{i ,}_J,_k}. Перемещения внутри элемента должны однозначно определятся этими шестью компонентами. Для рассматриваемого элемента Функция перемещений представляется линейным полиномом: =₁+₂x+₃y.

Рис. 3.4. Схема деформации треугольного элемента.

Поэтому для аппроксимации перемещений в области элемента будем иметь:

u =₁+₂ x+₃ y, (3.6)

v =₄+₅ x+₆ y,

где _1,2,....,6 - параметры линеаризации, постоянные для элемента.

Для компоненты U в узлах i, j, k получим:

u_i =₁+₂ x_i+₃ y_i,

u_j=₁+₂ x_j+₃ y_j, (3.7)

u_k =₁+₂ x_k+₃ y_k,

Решая (3.7) относительно _1,_2,₃ и подставляя полученные для них выражения в (3.6) получим:

U = [(a_i+b_i x+c_iy)U_i + (a_j+b_j x+c_jy)U_j+ (a_k+b_k x+c_ky)U_k] /(2S), (3.8)

где a_i = x_j y_k - x_k y_i ; b_i = y_j-y_k ; c_i = -(x_j – x_k) (3.9)

Коэффициенты a_j, b_j, a_k, b_к, получаются из (3.9) круговой перестановкой индексов. Для компоненты V аналогично:

V = [(a_i+b_i x+c_iy)V_i + (a_j+b_j x+c_jy)V_j+ (a_k+b_k x+c_ky)V_k] /(2S), (3.10)

Деформации определяются из уравнений Коши

{}= = . (3.11)

П одставляя в уравнения (3.11) равенства (3.8) и (3.10) и производя дифференцирование, получим :

Напряжения {}= [D]*{} = [D]*[B]*{ }^e (3.13)

Матрица [D] для случая плоского напряжённого состояния имеет вид:

[D]= ;

Для вывода основного уравнения МКЭ воспользуемся принципом стационарности

полной энергии системы:

( 3.14)

где П = 0,5* {}^T{}dS – {}^T{P} (3.15)

{P} - вектор внешних сил.

Подставим в (3.15) соотношения (3.12) и (3.13):

П = 0,5* {}^T[B]^T[D] [B] {}^e dS - {}^T{P}, (3.16)

т.к. в (3.16) векторы и матрицы от координат не зависят, то

П = 0,5*{}^T[B]^T[D] [B] {}^e S - {}^T{P}, (3.17)

Подставляя (3.17) в (3.14), получим:

S*[B]^T[D] [B] {}^e - {P} = 0, (3.18)

Введём обозначение: [K] = S*[B]^T[D] [B], (3.19)

тогда (3.18) примет вид: [K] { }^e ={ P} (3.20)

Это и есть основное уравнение МКЭ.

Если в (3.19) выполнить матричные операции, то получим:

где [K]_ij = [K]_ji^T,

m, n = i, j, k ;  = E / (1-²).

Матрица жесткости системы, определяющая жесткость конструкции в целом, строится в следующем порядке

K_ij= , (3.23)

где N - количество конечных элементов дискретизованной области.

Суммирование в (3.23) производится учитывая номера конечных элементов и узлов. Покажем сказанное на примере. Пусть дискретизованная область имеет вид рис. 3.5.

Матрица жесткости для этого ансамбля(глобальная матрица)

может быть получена следующим образом:

1) формируем соответствующее матричное поле, пока не заполненное (двумерный массив);

2) рассматриваем i-й конечный элемент и для него вычисляем матричные коэффициенты по (3.22), которые прибавляем к глобальной матрице на позиции, определяемые глобальными

Рис. 3.5 – Схема номерами рассматриваемых узлов.

дискретизации Следовательно, соблюдая глобальную нумерацию узлов и

номера конечных элементов (верхние индексы), получим:

(3.24)

Ввиду того, что матрица жесткости системы имеет ленточную структуру и симметрична относительно главной диагонали, в памяти ЭВМ достаточно сформировать и хранить лишь члены из ленты по одну сторону от главной диагонали (включая и диагональные члены). После построения матрицы жесткости всей конструкции [K], составляется система линейных уравнений.

[K]{}= {P} (3.25)

где {P} и {} - векторы узловых сил и перемещений системы;

{P}= ; {}= . (3.26)

В своём первоначальном виде система (3.25) решения не имеет, т.к. матрица жёсткости [K] сингулярная – её главный определитель равен 0. Отметим, что построение основного уравнения метода конечных элементов (3.25) производилось без учёта граничных условий. Учёт граничных условий в (3.25) приводит к изменению матрицы жёсткости [K] и векторов {P} и {}. Матрица [K] уже не будет сингулярной и система (3.25) будет иметь решение.

После определения перемещения, по уравнениям (3.12) и (3.13) определяются деформации и напряжения в элементах.