4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем

Рассмотренные и другие методы решения нелинейных краевых задач теории упругости являются итерационными и основаны на идее решения нелинейных задач методами линейной теории упругости. Реализация такого подхода сводится к построению алгоритма изменения модуля упругости элементов деформируемого тела или к изменению вектора сил. Эти методы имеют слабую сходимость или вообще не приводят к искомому решению (метод переменной жёсткости).

В настоящей работе предлагаются оригинальные двухэтапные методы решения краевых задач нелинейной теории упругости [2, 11, 12]. В этих методах рассматривается однородное нелинейно-деформируемое твёрдое тело объёма V c границей Г и системой граничных условий, соответствующих первой или третьей краевым задачам теории упругости. Уравнение закона деформирования твёрдого тела в общем случае представим виде:

, (4.6)

где f (**) – функция модуля упругости при нелинейном деформировании;

**- совокупность параметров, определяющих значение модуля упругости.

Начальное значение модуля упругости Е = Е₀.

Твёрдому телу объёма V c границей Г и законом деформирования

(4.7)

поставим в соответствие геометрически тождественное гипотетическое линейно-упругое тело с законом деформирования

. (4.8)

Модуль упругости подлежит определению и должен быть таким, чтобы при тождественных граничных условиях для обоих тел их смещения совпадали. В соответствии с принципом возможных перемещений для всякой сплошной среды

П dV – W) = 0, (4.9)

где П - потенциал деформации; W - работа внешних сил.

Для единичного элемента

(4.10)

где ε - средняя деформация; k – коэффициент объемного сжатия.

Метод энергетической линеаризации

В разработанном методе энергетической линеаризации краевой задаче нелинейной теории упругости телу объёма V c границей Г и законом деформирования ставится в соответствие геометрически тождественное гипотетическое линейно-упругое тело с законом деформирования

. (4.11)

Модуль деформации Е^г подлежит определению и должен быть таким, чтобы при тождественных граничных условиях для обоих тел их смещения совпадали.

В силу поставленного условия для модуля деформации Е^г и тождественности граничных условий для рассматриваемых твёрдых тел можно утверждать, что работы внешних сил на смещениях для исследуемого нелинейно – деформируемого и гипотетического линейно-упругого тел будут равны, т.е. будем иметь Wⁿ = W^r, тогда

Пⁿ - энергия деформации нелинейно-упруго

П^r - энергия деформации гипотетического линейно - упругого тела; индексы “n” и “r”– признаки нелинейно-упругого и гипотетического линейно - упругого тел.

Полученное выражение представим в следующей форме

, (4.12)