4.4 Сравнительный анализ эффективности методов исследования

нелинейных математических моделей систем деформируемых твёрдых тел

Используемые методы исследования поставленной задачи

При выборе методов решения необходимо учитывать следующие требования:

1. Минимальная вычислительная погрешность. Известно, что за счёт особенностей хранения действительных чисел в памяти ЭВМ, числа представляются не точно. Кроме того, любая операция деления, извлечения корня выполняются не точно. А в рассматриваем случае, когда количество таких операций измеряется миллиардами, накопленная вычислительная погрешность может оказаться больше допустимой погрешности.

2. Скорость нахождения решения. Даже на современных ПЭВМ решение СЛАУ в несколько сотен тысяч уравнений может занять продолжительное время. Поэтому для практического использования очень важно, чтобы решение можно было бы найти за обозримое время, порядка нескольких минут.

3. Использование памяти ПЭВМ. В силу больших размерностей задач необходимо использовать методы, требующие минимального объёма оперативной памяти. Это избавит от необходимости промежуточного хранения результатов вычислений на жёстком диске, что в свою очередь позволит увеличить скорость решения задачи.

В качестве исследуемых методов решения СЛАУ были выбраны следующие: метод Гаусса, метод квадратного корня для неположительно определённых матриц (используется разложение матрицы системы, где - нижняя треугольная матрица, - диагональная матрица с элементами на главной диагонали равными ), метод сопряжённых градиентов с предобусловливанием Холецкого [13]. Использовались авторские модификации данных методов, позволяющие наиболее полно учесть особенности структуры матрицы жёсткости. Для нахождения нелинейного решения граничной задачи использовались метод начальных напряжений и метод энергетической линеаризации [2, 11].

Численный анализ методов исследования нелинейных математических

моделей деформируемых твёрдых тел

Исследования методов проводились на решении краевой задачи нелинейной механики грунтов, для которой известны результаты натурного эксперимента [27].

Модельная задача. Рассматривается железобетонная одиночная висячая свая сечением 0,250,25 м, глубиной погружения 5 м на нелинейно-деформируемом грунтовом основании [27, таблица 1] под действием вертикальной статической нагрузки q [27, рисунок 9]. Приведённые начальные характеристики грунтового основания E = 6,875 МПа, = 0,41. Необходимо определить осадку сваи.

Размеры расчётной области определены на основании экспериментальных исследований [27]: Предполагалось отсутствие каких либо перемещений на границах расчётной области. Результаты вычислений приведены в таблице 4.1 и на графике рисунка 4.1.

Таблица 4.1 - Осадки одиночной висячей сваи, q = 200 кН

Метод решения СЛАУ	Линейное решение (1-я итерация)		Метод энергетической линеаризции		Метод начальных напряжений
	Время, с	Осадка, см	Время, с	Осадка, см	Время, с	Кол-во итераций	Осадка. см
Гаусса	57	0,7	112	2,21	497	9	2,26
Квадратного корня	54	0,48	110	2,20	486	9	2,27
Сопряжённых градиентов (1подход)	28	0,48	57	2,22	252	9	2,28
Сопряжённых градиентов (2подход)	28	0,48	49	2,21	151	9	2,29
Обратная матрица (метод Гаусса)	578	0,49	1157	2,24	579	9	2,25
Обратная матрица (разложение )	539	0,48	1078	2,21	540	9	2,27
Используя разложение	54	0,48	108	2,20	55	9	2,27
Эксперимент		2,24		2,24			2,24

Рисунок 4.1 - Влияние метода решения СЛАУ на скорость их

решения при различных схемах дискретизации

Выводы об эффективности разработанных алгоритмов

Применение высокоэффективных методов: сопряжённых градиентов с предобусловливанием Холецкого и метода энергетической линеаризации позволяет практически решать пространственные краевые задачи МКЭ на сетке 50 x 50 x 50 узлов, что соответствует решению СЛАУ (4.1) порядка 375000 неизвестных.