4. Методы исследования нелинейных математических

МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЁРДЫХ ТЕЛ И ИХ СИСТЕМ

4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных

математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем

Методы исследования математических моделей линейных систем деформируемых твёрдых тел предполагают выполнение следующих условий [2, 3, 4, 5, 7]:

1) линейность связи между деформациями и перемещениями;

2) линейность связи между напряжениями и деформациями.

Однако для реальных деформируемых твёрдых тел ни одно из этих условий не выполняется. Учет нелинейной связи между деформациями и перемещениями приводит к так называемой геометрической нелинейности, а учет нелинейной связи между напряжениями и деформациями приводит к физической нелинейности. Рассмотрение одновременно обоих условий является математически очень сложной задачей, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только физическую нелинейность. Возникает вопрос о возможности исследования нелинейных математических моделей систем деформируемых твёрдых тел методом конечных элементов так, как это делалось для соответствующих линейных систем.

Решение линейных задач теории упругости МКЭ сводится к решению системы

[K]{U}={P}, (4.1)

где [K]– матрица жесткости системы деформируемых твёрдых тел;

{U}– вектор перемещений; {P}– вектор внешних сил.

Рассматривая краевую задачу в полной постановке, мы должны ввести понятие начальной деформации и начальных напряжений, которые могли быть до момента приложения внешних сил, эффект их действия необходимо учитывать. В случае полной постановки такой задачи уравнение закона деформирования будет иметь вид [4]:

{}=[D_₀}, (4.2)

где [D]- модуль объемной деформации; {₀} и {₀}- начальные деформации и напряжения.

В случае использования уравнения (4.2), вектор {P} в (4.1) определяется внешними действующими силами и начальными условиями.

В случае нелинейных задач соотношение (4.2) будет несколько иным. В общем виде его можно записать

F({}) = 0. (4.3)

Можно утверждать, что, если удастся найти такое решение уравнения (4.1), что при соответствующем подборе одного или нескольких входящих в (4.2) параметров [D], {₀} или {₀}, уравнение (4.1) и соотношение (4.3) удовлетворяются при одинаковых значениях напряжения и деформации, то полученное решение будет искомым. Очевидно, что при решении следует руководствоваться некоторыми алгоритмами для определения [D], _₀}. При этом можно ограничиться вычислением только одной из указанных величин, зафиксировав другие. Вопрос этого выбора зависит от метода решения линейной задачи и уравнения закона деформирования.

В классических методах указанные параметры определяются итерационно. Если определяется [D], то получается так называемый метод переменной жесткости. Это название предопределено тем, что [D] определяет жесткость (прочность) материала. Если же определяются {₀} или {₀}, то имеем так называемые методы начальных деформаций или начальных напряжений [10]. Ниже рассмотрены два из этих методов.