6. Свойства матрицы жёсткости

Матрица жёсткости (3.44) для тетраэдра обладает следующими двумя свойствами:

• Симметричность: [k_ij] = [k_ji]^Т. Это становится очевидным при исследовании матрицы (3.44) посредством подстановки полученных аналитических значений её элементов [k_ij] для i, j=1,2,3,4.

• Сингулярность – главный определитель этой матрицы равен нулю.

Покажем это [15,59]. Используя аналитическое выражение для [k_ij] сформируем строку в (3.44) и просуммируем коэффициенты. Для определённости рассмотрим первую матричную строку в (3.44).

S_i = (b_i b_i ρ + (c_i c_i + d_i d_i ) G + b_i c_i λ + c_i b_i G + b_i d_i λ + d_i b_i G +

+b_i b_j ρ + (c_i c_j + d_i d_j ) G + b_i c_j λ + c_i b_j G + b_i d_j λ + d_i b_j G +

+b_i b_k ρ + (c_i c_k + d_i d_k ) G + b_i c_k λ + c_i b_k G + b_i d_k λ + d_i b_k G +

+b_i b_n ρ + (c_i c_n + d_i d_n ) G + b_i c_n λ + c_i b_n G + b_i d_n λ + d_i b_n G ) =

= [ (b_i ρ + c_i G + d_i G) + (c_i G + b_i λ ) + (d_i G + b_i λ ) ].

Рассмотрим суммы , , . Простой подстановкой значений коэффициентов,

входящих в эти суммы, получим = 0, = 0, = 0.

Для примера рассмотрим сумму b_i + b_j + b_k + b_n . При подстановке в общем случае будем иметь в виду, что действительные номера узлов конечного элемента i, j, k, n получают локальную перенумерацию. При этом узлом начального отсчёта может быть любой из узлов i, j, k, n . Поэтому чётность может быть + - + - или - + - + , для вычисления сумм это безразлично. Для определённости примем чётность + - + - , тогда будем иметь:

b_i + b_j + b_k + b_n = y_k z_n + y_j z_k + y_n z_j - y_k z_j – y_n z_k - y_j z_n – y_n z_i - y_k z_n - y_i z_k + y_n z_k + y_i z_n

+ y_k z_i + y_j z_j + y_n z_i + y_j z_n - y_i z_n – y_j z_i - y_n z_j – y_j z_k - y_k z_i – y_i z_j + y_j z_i + y_k z_j + y_i z_k = 0.

Для остальных сумм аналогично. В итоге получим S_i = 0. Это значит, что в матрице жёсткости сумма элементов в каждой строке (столбце) равна нулю. Отсюда следует, что любая строка (столбец) матрицы жёсткости есть линейная комбинация остальных строк (столбцов). Поэтому определитель всегда равен нулю. Полученные выводы являются весьма важными, т.к. содержат критерии контроля правильности построения матрицы жёсткости.

3.7 Аналитический алгоритм метода суперэлементов

Метод суперэлементов основывается на той же теоретической базе, что и МКЭ, только предварительно ещё используется метод декомпозиции, т.е. вся расчётная область разбивается на отдельные макроэлементы, называемые суперэлементами. Границы между суперэлементами так же условны, как и границы между конечными элементами при дискретизации области. Всякий суперэлемент подлежит дискретизации конечными элементами. Для каждого суперэлемента составляется своя конечноэлементная задача, но в отличие от обыкновенной конечноэлементной задачи в каждом суперэлементе граница, по которой происходит стыковка с другим суперэлементом, явно не определена. Поэтому алгоритм суперэлементного решения строится так:

1. контактная граница первого суперэлемента выражается через перемещения впереди находящихся узлов. Это выражение происходит с помощью аналитических соотношений;

2. рассматривается второй суперэлемент, для которого ситуация будет подобна первому суперэлементу.

Продолжая указанный процесс до последнего суперэлемента, в итоге получают разрешимую систему линейных алгебраических уравнений. После чего начинается движение в обратном порядке, т.е. в обратной последовательности вычисляются все необходимые перемещения.

В общем случае при конечноэлементной дискретизации суперэлемента не ставится вопрос количества внутренних узлов [146]. Представляет интерес такая конечноэлементная дискретизация суперэлемента, когда внутренних узлов не существует. Такой вариант метода суперэлементов разработан автором, при этом получается очень компактный алгоритм, который легко программируется [19,73,172]. Сущность разработанного варианта метода суперэлементов рассмотрим на примере плоской задачи, рис.3.8. Вся расчётная область разбита на 5 суперэлементов. Цифрами 1-6 обозначены вертикальные границы.

Рис.3.8 Суперэлементная дискретизация расчётной области

Полная дискретизация суперэлемента показана на рис.3.9.

Рис. 3.9 Дискретизация I^го суперэлемента.

Для суперэлемента, представленном на рис. 3.9, запишем его матрицу жёсткости:

(3.45)

Матрица А₁₁ выражает связи узлов первой вертикали между собой, матрица А₁₂ выражает связи узлов первой вертикали с узлами второй вертикали, матрица А₂₁ выражает связи узлов второй вертикали с узлами первой (А₁₂^Т  А₂₁), матрица А₂₂ выражает связи узлов второй вертикали между собой. Учитывая приведённые обозначения:

(3.46)

Таким образом, для первого суперэлемента основное уравнение примет вид:

(3.47)

где (3.48)

F_1, F₂ – известные внешние силы.

Для рассматриваемой задачи будем считать, что на вертикалях 1 и 6 заданы внешние силы F или перемещения . На вертикалях 2,3,4,5 в их внутренних узлах заданы внешние силы. При суперэлементной дискретизации эти силы на каждой вертикали представлены в виде (3.48), где составляющие принадлежат разным суперэлементам. Величины этих составляющих неизвестны. Поэтому в (3.47) F₂'– неизвестна, неизвестны так же перемещения ₁ и ₂, т.е. (3.47) неразрешима. Перепишем (3.47) в виде:

(3.49)

Верхний индекс в матричных коэффициентах показывает принадлежность их к некоторому суперэлементу.

II

Рис. 3.10 Дискретизация II^го суперэлемента.

Для суперэлемента II, рис. 3.10, по аналогии с суперэлементом I можно записать:

(3.50)

И так далее. Проанализируем вторую строчку в (3.49) и первую в (3.50) и сложим их:

Для всей системы в целом можно записать:

(3.51)

При постановке исходной задачи могут быть известны ₁ и ₆, но тогда будут неизвестны F₁ и F₆. Учитывая граничные условия такого вида, из (3.51) исключаются первая и последняя строки, а вторая и предпоследняя преобразуются вследствие учёта значений ₁ и _6. В итоге получится система типа (3.51), но порядок её будет меньше на 2. Для решения подобных систем рационально применять метод прогонки.

Система (3.51) строится и решается одновременно. Для её построения нужно рассматривать два смежных элемента i и (i+1), на каждом последующем шаге (i+1) элемент становится i, а (i+2) – (i+1). Такой подход сокращает объёмы используемой памяти, формируется текущая матрица невысокого порядка, и вместо решения СЛАУ высокого порядка решаются системы, порядок которых ниже в n раз, где n – количество суперэлементов.