2.2 Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле для

уравнения Пуассона.

2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Задача Дирихле для уравнения Пуассона представлена уравнениями (2.5) и (2.1) и определена в области = D+Г. Разностная схема, аппроксимирующая эту задачу, может быть получена на основании (2.8), (2.9), (2.12) и (2.16) с погрешностью порядка О(h²+l²) и будет иметь следующий вид:

L_h (u ^(h)) = f^(h), (2.18)

где L_h(u^(h))≡ (2.19)

f^(h) ≡ (2.20)

Полученная разностная схема, расписанная для всех внутренних точек области D, будет системой линейных алгебраических уравнений порядка (М-1)•(N-1).

2.2.2 Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле

для уравнения Пуассона. Принцип максимума

Устойчивость разностной схемы будет обоснована, если будут выявлены следующие два свойства:

1. Разностная схема L_h (z ^(h)) = g^(h),

где g^(h) ≡ , g^(h) – произвольный элемент из F_h , однозначно разрешима.

2. Имеет место оценка

|| z ^(h))||_Uh ≤ C || g^(h)||_Fh ,

где С – постоянная, не зависящая от h и g^(h). Заметим, что здесь, как и выше, нормы определяются по правилу

|| z ^(h))||_Uh = max |z_mn| ,

|| g^(h)||_Fh = max |α_mn| + max |β_mn| .

Введём следующее обозначение:

Λ_h (u ^(h)) ≡ Λ_xx (u ^(h)) + Λ_yy (u ^(h)).

Лемма 1. Пусть v^(h)={v_mn }, v_mn const, - некотороя сеточная функция, определённая на D_h = D + Г_h . Если

Λ_h (u ^(h))|_(Xm,Yn) ≥ 0, (2.21)

где (х_m,y_n ) D , то v^(h) достигает своего наибольшего значения на D^(h) в граничных точках, т.е. на Г_h .

Лемма 2 .

Пусть v^(h) = {v_mn], v_mn const,- некото­рая сеточная функция, определенная на

D_h = D + Г_h. Если выполняется условие

Λ_h (v ^(h))|_(Xm,Yn) ≤ 0, (2.22)

где (х_m,y_n ) D , то v^(h) достигает своего наименьшего значения на D_h в граничных точках, т. е. на Г_h.

Теорема (принцип максимума). Каждое решение разностного уравнения

Λ_h (v ^(h))|_(Xm,Yn) ≤ 0, (х_m,y_n ) D , (2.23)

принимает свое наибольшее и наименьшее значение в некоторых точках границы Г_h

Доказательство следует из лемм 1, 2.

2.3. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге

Укажем здесь один практический прием, позволяющий на основе вычислений судить о точности полученных приближенных сеточных значениях решения.

Пусть u(х, у) — точное решение некоторой граничной задачи, a u_h (x, у) — приближенное ε_h(x,y)= решение этой задач, полученное по методу сеток с шагами h и l, l/h = const. В методе сеток часто известен порядок относительно h погрешности

ε_h(x,y) = u(х, y)-u_h(x, у). (2.24)

Предположим, что для ε_h(х, у) имеет место представление ε_h(x,y)= К (х, у) • h^p, верное с точностью до величин порядка O(h^p), где К [х, у) — некоторая положительная ограниченная в области задания граничной задачи функция, р — положительное число. При шаге, в два раза большем h, получим

ε_2h(x,y)= u(х, y)-u_2h(x, у). (2.25)

ε_2h(x,y)= К(х, у) • (2h)^p = 2^p ε_h(x,y) (2.26)

Из формул (2.24)—(2.26) можно вывести правило для определения ε_h(x,y) через сеточные значения u_h(x, у) и u_2h(x, у).

ε_h(x,y) = [u_h(х, y)-u_2h(x, у)]/( 2^p – 1) . (2.27)

Формула (2.27) носит приближенный характер, т.к. приближенной была формула ε_h(x,y)= К (х, у) • h^p, на основе которой получено выражение (2.27). Достоинство такого выражения для ε_h(x,y) состоит в том, что эту величину можно реально вычислить. Можно ожидать, что значение

u_h^*(x, у) = u_h(х, y) + [u_h(х, y)-u_2h(x, у)] / ( 2^p – 1)

будет более точным, чем u_h(x, у). В этом и состоит пра­вило Рунге для уточнения сеточных значений u_h(x, у). В реальных вычислениях часто поступают следующим образом. Находят решение при шаге h, потом вычис­ляют решение при шаге 2h и сравнивают значе­ния u_h(х, y) и u_2h(x, у) в одинаковых узлах. Если эти значения совпадают на заданном числе знаков, то решение u_h(х, y) принимают за искомое. Если такого совпадения нет, то шаг h делят пополам и вычисляют решение u_{h /2} (x, у). Далее контроль точности в вычисле­нии значений u_{h /2} (x, у) осуществляют аналогично преды­дущему.