Это значит, что аппроксимация

(1.4)

будет иметь погрешность

Равенство (1.4) было получено с помощью подстановки в ряд Тейлора х=х₀+h, полученный результат называется правой разностью. Если в ряд Тейлора подставить х=х₀ - h, то получим другое равенство, называемое левой разностью:

(1.5)

При построении разностных схем дифференциальных операторов потребуются и правая и левая разности. Выведем разностную формулу для и_хх . Вначале необходимо построить разностное приближение для и_хх через и_х , а затем заменить и_х подходящими разностными приближениями. Используя правую разность, получим

(1.6)

Если в эту формулу подставить правые разности для и_х , то весь окончательный результат окажется как бы «сдвинутым» вправо. Для компенсации этого эффекта используют

левые разности и_х. Левая разность для заменяется формулой (1.5) и, кроме того, . (1.7)

Как видим, это выражение полностью совпадает с правой разностью для , формула (1.4). Подставим (1.5) и (1.7) в (1.6), получим

(1.8)

Это весьма важный результат, которым в дальнейшем мы будем неоднократно пользоваться. Используя ряд Тейлора можно показать, что погрешность аппроксимации в этом случае будет равна:

Совершенно аналогично можно получить аппроксимацию для производных по направлению у, где шаг обозначим через к.

. (1.9)

При этом ошибка округления будет равна

Используя полученные выражения для аппроксимации первых и вторых производных можно полностью переписать дифференциальные уравнения в частных производных, получив из них уравнения в конечных разностях. Например, общеизвестное уравнение Лапласа можно записать в виде

+ = 0.

Напомним, что все эти выкладки произведены для функции u(x,y) в окрестности точки (x₀,y₀ ). Но всякое дифференциальное уравнение второго порядка определено в некоторой замкнутой области = D+Г, что может быть представлено сколь угодно большим количеством точек типа . Следовательно, возникает вопрос о методах построения разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от двух переменных в двумерной области = D+Г. Метод построения разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений определённых в двумерной области = D+Г получил название метода сеток или метода конечных разностей.

3. Общий принцип метода сеток

Идею этого метода покажем на примере решения задачи Дирихле для уравнения

где a,b,c,d,q,f – функции независимых переменных х,у; определённые в замкнутой области = D+Г. Будем также считать, что все эти функции непрерывны в D+Г, a,b положительны в D+Г, a q неположительные в ней. Необходимо найти решение уравнения (1.10) , непрерывное в D вплоть до границы Г, и принимающее в точках границы Г заданные значения φ, т.е. и|_г= φ, где φ – непрерывная функция на Г.

Для получения численного решения этой задачи произведём дискретизацию D+Г посредством проведения семейства параллельных прямых:

x = x₀ +i h , (i= 0, 1, 2,…),

y = y₀ +k l , (k= 0, 1, 2,…).

Точки пересечения этих прямых называют узлами. Два узла называют соседними, если они удалены друг от друга в направлении х или у на один шаг сетки в направлении соответствующей оси. Рассматривать будем только узлы, принадлежащие = D+Г. Узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат множеству узлов D+Г, называют внутренними. Множество внутренних узлов называется сеточной областью, обозначим её D_h = {M_h}. Функция, определённая в узлах сетки, называется сеточной функцией. Узлы, у которых хотя бы один соседний узел не принадлежат к рассматриваемому множеству, называют граничными, совокупность их называют границей сеточной области. Для каждого внутреннего узла (i,k) составим разностное уравнение для заданного уравнения (1.10), заменив в точке (x₀ +i h, y₀ +k l) производные, входящие в (1.10), разностными соотношениями (1.4), (1.5), (1.8), (1.9). Для краткости записей в дальнейшем примем обозначения: и(x₀ +i h, y₀ +k l)= и_i,k . Коэффициенты в (1.10) в узле (i,k) будем обозначать через a_i,k, b_i,k ,…f_i,k . Тогда для узла (i,k) дифференциального уравнения (1.10) в конечных разностях получим следующее выражение

Уравнения типа (1.11) можно записывать для каждого внутреннего узла. Если же узел (i,k) является граничным узлом, то в этом узле и_ik= φ|_г в ближайшей к этому узлу точке Г. В итоге для решения задачи (1.11) в области D+Г получим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Если эта система разрешима, то, решив её, получим приближённые значения искомого решения на конечном множестве точек, являющихся внутренними узлами. Но при такой постановке решения дифференциального уравнения (1.10) сразу возникают вопросы сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем.