2. Разностные схемы для основных уравнений математической физики

1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация

Задачи математической физики имеют обширные приложения: это различные задачи механики деформируемого твёрдого тела и теории упругости, различные колебательные процессы и распространения, задачи о течении жидкости и газов и многие другие. Процессы, исследуемые в этих задачах, разделяются на два класса: нестационарные, т.е. меняющиеся во времени, и стационарные, т.е. неменяющиеся во времени. Общим для этих задач является подход их формализованного описания. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. В настоящем курсе будут рассмотрены задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. В замкнутой форме такие задачи не решаются, поэтому для решения разработаны различные численные методы. Основными из них являются МКР, МКЭ, МСЭ, МГЭ. Их изучение начнём с метода конечных разностей или иначе метода сеток [.

Пусть D некоторая двумерная область двух независимых переменных x и y и Г – граница этой области. Говорят, что в области D задано линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции u(x,y), если для любой точки из области D имеет место соотношение

где a(x,y), b(x,y),….- коэффициенты, f(x,y) – свободный член уравнения.

Эти функции известны и их обычно считают определёнными в замкнутой области = D+Г. Коэффициенты a,b,c определяют тип дифференциального уравнения. В этой связи вводится понятие дискриминанта уравнения:

. (1.2)

В зависимости от знака линейное дифференциальное уравнение (1.1) в области D относится к одному из следующих типов:

< 0 – эллиптический тип,

= 0 – параболический тип,

> 0 – гиперболический тип для всех (x,y) D.

Уравнениями параболического и гиперболического типов описываются нестационарные процессы, а стационарные - описываются эллиптическими уравнениями.

1.2.2 Разностная аппроксимация основных производных. По определению производная функции одной переменной записывается в виде

при h 0. (1.3)

Значению шага приращения h можно придать некоторое малое, отличное от нуля, значение и попытаться проверить, что приближение получается достаточно точным (проблема точности) и что ошибка не возрастает в ходе процесса вычислений (проблема устойчивости). В приведенном соотношении (1.3) производная заменяется разностью. Этот приём можно применить и к уравнениям в частных производных, приближённо заменяя производные разностями. Но в исследуемых уравнениях математической физики мы будем рассматривать функции от двух переменных, поэтому обе переменные должны участвовать в разностном уравнении. Рассмотрим методику такой аппроксимации. Вначале рассмотрим разности в направлении x. При этом будем исходить из правила разложения функции u(x,y₀) в ряд Тейлора в окрестности точки (x₀, y₀ ). Получим

где ξ лежит между х и х₀. Положим х = х₀ +h, после ряда преобразований получим