1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел

Задачи исследования систем деформируемых твёрдых тел

При исследовании сложных систем деформируемых твёрдых тел, в том числе и систем грунтовых оснований, фундаментов и зданий; возникают задачи двух типов: задачи анализа и задачи синтеза. Содержание задач анализа состоит в изучении физического содержания и свойств исследуемой системы и её внешней среды. Задачи синтеза сводятся к определению структуры системы и (или) её параметров, обеспечивающих условия её эффективности по определённым критериям. Выполнение всех этих задач можно представить следующими этапами:

Этап 1. Формирование задачи исследования, определение основной цели исследования и условий устойчивого существования системы в окружающей среде.

Этап 2. Содержательное описание и точная постановка задачи. Сущность решаемой проблемы и допустимая область её решения. Оценка значимости и непротиворечивости факторов, влияющих на состояние системы.

Этап 3. Формализация задачи: разработка математической модели исследуемой системы. Разработанная модель системы должна отвечать условиям содержательности и дедуктивности. Содержательность – это способность модели отражать существенные свойства исследуемого процесса или физической системы. Дедуктивность – это возможность использования модели для получения результата с применением средств и методов предметной области.

Этап 4. Определение разрешимости исследования разработанной математической модели системы. Здесь выделяются следующие подэтапы:

• исследование принципиальной разрешимости;

• выбор метода исследования;

• исследование технической реализуемости.

Принципиальная разрешимость исследования математической модели системы и выбор метода её исследования определяется уровнем развития математических методов, применяемых в конкретной предметной области. Вопрос технической реализуемости определяется уровнем развития вычислительной техники и соответствующей технологии обработки информации. Перечень математических методов, применяемых при решении различных задач исследования математических моделей сложных систем, обширен, но он никогда не может быть достаточным. Для исследования систем механики деформируемого твёрдого тела и механики грунтов применяется аппарат линейной и нелинейной теории упругости, теории пластичности, теории предельного равновесия и др.

Этап 5. Разработка алгоритма решения задачи.

Этап 6. Разработка и отладка программного обеспечения.

Этап 7. Вычислительный эксперимент и анализ результатов.

Каждый из этих этапов содержит свои проблемные задачи, решение которых представляло прежде и в настоящее время представляет определённые трудности.

Первые опубликованные теоретические исследования по механике упругих тел, очевидно, принадлежат Галилею; его знаменитая книга «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению» была издана в 1638 году.

Первая публикация о нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями сделана Бюльфингером в трудах Российской академии наук в 1729 году.

Большой вклад в развитие методов теории упругости внесли русские учёные: Н.И. Безухов, И.Г. Б.Г. Галёркин, А.А. Ильюшин, Л.М. Качанов, С.Г. Лехницкий, В.В. Новожилов, С.И. Работнов, А.Р. Ржаницин, С.П. Тимошенко, М.М. Филоненко-Бородич, и другие.

Значительный вклад в разработку и развитие методов исследования напряжённо-деформированного состояния деформируемых твёрдых тел различной природы и свойств внесли и современные учёные Беларуси: В.Н. Абрашин, А.А. Борисевич, С.В. Босаков, Ю.В. Василевич, М.А. Журавков, М.Д. Мартыненко, Ю.М. Плескачевский, И.А. Прусов и другие.

Учитывая многообразие условий, определяющих состояние систем деформируемых твёрдых тел, для их исследования специалистами был выбран двухступенчатый подход: экспериментальные методы исследования и теоретические работы по математическому моделированию систем. Уровни содержания каждого из этих подходов определялись многими факторами, но в целом такой подход логически обоснован и в настоящее время он не потерял своей значимости.

Системный подход

Часто выполнение одних задач исследования системы затрудняет решение других, но в целом основным и единственным критерием оценки функционирования подсистем должно быть обеспечение максимума эффективности системы. Следовательно, свойства системы, как сложного объекта, не обнаруживаются в свойствах её отдельных подсистем. Это значит, что традиционный метод изучения целого путём анализа его частей и последующего объединения (суперпозиции) их свойств непригоден для больших и сложных систем. А для физических нелинейных систем принцип прямой суперпозиции и вовсе неприемлем. Решением проблемы становится системный подход, суть которого состоит во взаимосвязанном рассмотрении всех элементов (подсистем) системы. При системном подходе система рассматривается не изолированно, а как подсистема более общей системы. Основным при системном подходе является определение цели, например, условие предельного равновесия деформируемой среды. Для каждой цели должен быть выбран свой надёжный критерий эффективности. Например, для деформируемых систем это может быть удовлетворение принципа стационарности полной энергии системы. Системный подход характеризуется системой принципов. Принципы системного подхода - это некоторые утверждения общего характера, обобщающие опыт человека по исследованию сложных систем. Основные принципы следующие:

1. Принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели.

2. Принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности частей (элементов).

3. Принцип связности: рассмотрение любой части системы совместно с ее связями.

4. Принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей.

5. Принцип иерархии: полезно введение иерархии частей и (или) их ранжирование.

6. Принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой.

7. Принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации.

8. Принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации.

9. Принцип неопределенности: учет неопределенностей в системе.

Системный подход при исследовании различных систем, явлений, объектов позволяет с единых позиций строить общую методологию их исследования независимо от их природы. Эта методология, как и любая другая, содержит определенные этапы.

Этап 1. Определение системы.

1. Определение системы и области её существования.

2. Определение исследуемой функции системы.

3. Определение краевых условий.

4. Декомпозиция системы вплоть до простых элементов.

5. Определение свойств элементов системы и модулей.

6. Нахождение связей между элементами и модулями системы.

Этап 2. Построение математической модели.

1. Формальное описание исследуемой функции.

2. Разработка дискретной модели системы.

3. Разработка алгоритмической модели.

4. Разработка программного обеспечения (машинной модели).

5. Проверка адекватности математической модели системы.

Этап 3. Исследование системы при различных входных воздействиях и совершенствование модели системы.

При исследовании систем механики деформируемого твёрдого тела идеи системного подхода находят применение. Проблемы возникают в связи с количеством объектов исследуемых систем, разнородностью их свойств и изменением этих свойств в процессе функционирования системы. К причинам создающим указанную проблему относятся задачи исследования систем нелинейно-деформируемых твёрдых тел и неприменимость к ним принципа прямой суперпозиции.

Математическое моделирование

Математическое моделирование основывается на известном факте: различные изучаемые процессы могут иметь одинаковое математическое описание. Следовательно, если система определена и ее функция может быть описана с помощью математических и логических предложений, то исследование системы возможно математическими средствами и средствами вычислительной техники.

Математическая модель концентрирует в себе записанную в форме математических предложений совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте, процессе, явлении или системе. Поскольку эти знания никогда не бывают абсолютными, то можно утверждать, что математическая модель только с определенной достоверностью описывает поведение реальной системы. Поэтому при построении математических моделей систем необходимо учитывать следующие основные требования: адекватность, универсальность, точность и экономичность.

Адекватность. Математическая модель считается адекватной исходной системе, если она отражает заданные её свойства с допустимой точностью. Пусть модель имеет k выходных параметров, тогда погрешность модели ε_мод можно представить как норму вектора ε = { ε₁, ε₂, …, ε_k }; ε_мод = max | ε_j |, j = ; или ε_мод = ,

где - относительная погрешность модели по j-у выходному параметру,

y_j^e, y_j - вычисленное и действительное значение j-го выходного параметра.

Должно выполнятся условие ε_мод < ε_пред , где ε_пред - предельная допустимая погрешность. Область в пространстве внешних параметров, для которой выполняется это условие, называется областью адекватности модели.

• Универсальность. Это характеристика полноты отображения в модели исследуемых свойств реальной системы.

• Точность. Оценивается точность математической модели степенью совпадения значений параметров исходной системы и значений тех же параметров, вычисленных с помощью оцениваемой математической модели. Погрешности математического моделирования определяются двумя факторами: степенью точности формального описания исходной системы и неточностью определения исходных данных.

• Экономичность. Эта характеристика стоимости исследования модели системы по разработанному алгоритму на компьютере.

Основное назначение математического моделирования - сделать возможными некоторые выводы о поведении реальной системы в пространстве и времени. Наблюдения за реальной системой (натурный эксперимент) в лучшем случае могут дать материал лишь для проверки той или иной гипотезы, той или иной модели, поскольку они представляют собой источник информации ограниченного объема о прошлом этой системы. Модель допускает значительно более широкие исследования, результаты которых дают информацию для прогнозирования поведения системы. Чтобы обеспечить эти и другие возможности математической модели, приходится всегда решать проблему адекватности модели и системы, т.е. ставится вопрос исследования согласованности результатов с реальной ситуацией. Создавая математическую модель системы, исследователь выделяет систему как объект окружающей среды и строит ее формальное описание в соответствии с поставленными целями. В дальнейшем через поведение математической модели анализируется поведение реальной системы при различных входных воздействиях. Следует сразу отметить, что построение математической модели системы процесс не формализованный и носит поисковый характер, т.е. это путь проб и ошибок в поиске основной идеи. Построение принципиально новой математической модели системы может быть оценено как открытие.

Для построения математических моделей используют различные методы, которые можно объединить в две группы: формальные и неформальные методы. Формальные методы применяют для построения математических моделей систем при известных математических моделях элементов. Неформальные методы применяются для синтеза теоретических и эмпирических математических моделей. Теоретические математические модели создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу систем. Эмпирические математические модели создаются в результате изучения внешних проявлений свойств системы. Математическая модель системы получается как синтез математических моделей её элементов. Правила синтеза обусловлены структурой и свойством исходной системы и её элементов.

Построение математической модели системы

Из приведенного общего определения системы следует, что природа элементов системы может быть различна. Это качество системы и принципы системного подхода в целом позволяют подойти к исследованию систем на довольно высоком содержательном уровне. Наполнение системы определяет её предметную направленность и этим предопределяют методологию и технологию её исследования. Задачи исследования могут быть разными. В настоящей работе ставится задача исследования напряжённо-деформированного состояния системы деформируемых твёрдых тел в целом и на уровне её отдельных элементов. Для этого в каждом конкретном случае необходимо определить содержание системы, т.е. её границы и наполнение. Всё это обусловит облик исследуемой системы. Математическая модель сложной системы получается как синтез математических моделей её элементов. Полученная совокупность моделей повторит структуру и иерархию самой системы. Отметим, что основной спецификой моделирования систем является учёт связей между отдельными моделями. Изложенный материал позволяет дать более строгое определение математической модели системы.

Математическая модель это некоторый абстрактный образ, т.е. конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно отражающих основные закономерности и особенности оригинала, т.е. реального объекта или системы, которые имеют свою среду (пространство) и условия существования.

Всякая реальная система или объект всегда имеют определенные связи с внешней средой, которая налагает свои условия на их существование и функционирование. Все эти и другие качества в математической модели должны иметь своё отображение, а это значит, что математическая модель может иметь свою структурную схему. В самом общем случае эта структурная схема автором представлена следующим образом:

1. Математическая модель среды существования системы,

2. Математическая модель состояния среды системы или объекта,

3. Условия связи системы с внешней средой,

4. Математическая модель основной функции системы,

5. Математическая модель результата решения.

Математическое наполнение элементов этой структуры зависит от класса моделируемых задач и даже от особенностей задач одного класса. Для краевых задач механики деформируемых твёрдых тел приведенная структурная схема имеет вид:

1. Геометрическая модель деформируемой среды,

2. Механико-математическая модель элементов структуры деформируемой среды,

где  _{i ,}  _i - интенсивности напряжений и деформаций.

3. Система краевых условий, задаётся в соответствии с классификацией поставленной задачи как краевой задачи математической физики.

4. Условия равновесия системы (ядро математической модели):

, где ,

где П – полная энергия деформируемой системы,

{P}– вектор внешних сил,

{σ}, {ε}, {U} – векторы напряжений, деформаций и перемещений,

V– объём области существования исследуемой системы.

5. Математическая модель искомого решения: .

Известно, что наиболее трудным этапом системных исследований является построение и оценка адекватности математической модели реальной системе и разработка методов её исследования. Наиболее применяемыми методами исследования математических моделей физических систем являются приближённые аналитические методы и численные: метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Предлагаемая структурная схема является общим эффективным алгоритмом построения математических моделей систем или объектов. Таким образом, в процессе математического моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами:

1. с системой (реальной, проектируемой, воображаемой),

2. с математической моделью системы,

3. с алгоритмической (машинной) моделью.

В соответствии с этим возникают следующие задачи:

1. определение и формирование системы,

2. построение математической модели системы,

3. разработка алгоритмической (машинной) модели,

4. разработка программного комплекса.

Процесс моделирования содержит определённые этапы. На схеме, pис. 1.1, представлена структурная схема процесса математического моделирования, состоящая из восьми этапов. Подобное деление на этапы является несколько условным, но приведенное содержание этапов является в любом случае обязательным.

Рис. 1.1. Технологическая схема процесса математического моделирования