2.4. Разностные схемы для линейных дифференциальных

уравнений параболического типа. Решение задачи Коши.

Вопросы построения и исследования разностных схем, возникающих при решении параболических уравнений методом сеток, рассмотрим на примере задачи Коши для уравнения теплопроводности

(2.28)

с условием на прямой t = 0

и(х, 0) = ψ(x), (2.29)

Требуется найти функцию и (х, t), которая при t > 0 и удовлетворяла бы

уравнению (2.28), а при t = 0 выполняла бы условие (2.29). Будем считать, что задача (2.28) , (2.29) имеет в верхней полуплоскости единственное решение и(х, t), непрерывное вместе со своими производными. Запишем задачу (2.28) , (2.29) в виде L(u) = f. Для этого достаточно положить

L(u) ≡

f ≡

Будем далее считать, что t изменяется в пределах 0 ≤ t ≤ T < + .

В рассматриваемом случае

D = {- < х < +, 0 < t ≤ T}, Г - объединение прямых t= 0 и t= T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область = D + Г сеточной областью D_h. К области D_h отнесем совокупность точек (узлов) (х_т, t_n ), координаты которых определяются по правилу

x_m = mh, т = 0, ± 1, ±2, ..., h>0,

t_n = n , п = 0, 1, ..., N,  >0, N ≤ T< (N+).

Заменим задачу L(u) = f разностной схемой вида L_h(u^(h)) = f ^(h). Обозначим через и( х_т, t_n ) точное значение решения задачи L(u)=f в узле (х_т, t_n ), через — соот­ветствующее приближенное сеточное значение. Для замены дифференциальных операторов разностными воспользуемся формулами численного дифференцирования.

(2.31)

(2.30)

(2.32)

(2.33)

некоторое время употреблялся в вычислительной практике.

Однако в настоящее время он не используется, так как оказалось, что соответствующая ему разностная схема неустойчива при любом выборе шага h — по пространству и шага  —по времени.

2.5. Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений

гиперболического типа

2.5.1. Общая постановка задачи.

Будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка гиперболического типа. Такие уравнения часто встречаются в физических задачах, связанных с переносом энергии и с процессами колеба­ний. Метод сеток для уравнений гиперболического типа по своей структуре имеет много общего с методом сеток для уравнений эллиптического и параболического типов.

Мы уделим основное внимание типичному и наиболее простому по виду уравнению с постоянными коэффи­циентами гиперболического типа — волновому уравнению

, (2.34)

где f (х, у) — известная функция, которую мы будем счи­тать дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой нижеуказываемой области D.

В связи с уравнением (2.34) будем рассматривать сле­дующие задачи.

Задача Коши. В области D = { y > 0, - оо < х < + оо } найти дважды непрерывно дифференцируемую функцию и (х, у), которая в этой области удовлет­воряла бы уравнению (2.34), а на прямой у = 0 — началь­ным условиям

и(х, 0) = φ(x), (2.35)

где φ и ψ —заданные функции.

Смешанная граничная задача. В области D = { y>0, α < х < β} найти дважды непрерывно диф­ференцируемую функцию и (х, у), которая в этой области удовлетворяла бы уравнению (2.34), а на границе Г обла­сти D при у = 0 — начальным условиям (2.35) и при х = α, х = β — одному из трех граничных условий:

а) (условиям первого рода)

и (a, y) = μ₁(y), u(β, y) = μ₂(y); (2.36)

б) (условиям второго рода)

= σ₁(y) , =σ₂(y) ,

(2.37)

( 2.38)

Отметим, что условия (2.36) и (2.37) являются частным случаем условий (2.38).

2.5.2. Решение задачи Коши. Рассмотрим метод сеток решения задачи Коши для дифференциального уравне­ния (2.67) с начальными условиями (2.68).

Выберем прямоугольную сетку, положив

x_m = mh, m = 0, ±1, ±2, ..., y_n = п1, n = 0, 1, 2....., h > 0, l > 0.

Рассмотрим трехслойный пятиточечный шаблон и в соответствии с этим шаблоном

определим множе­ство внутренних узлов и множество Г_h граничных узлов.

(m,n+1) К множеству отнесем узлы (х_т, у„) D, к мно­жеству Г_h

отнесем узлы, лежащие на прямой у = 0. Вся сеточная область

(m-1,n) (m,n) (m+1,n) на D_h = D°_h + Г_h будет состоять из узлов (х_т, y_n) = D +Г .

Используя взятый шаблон и формулу для замены ,

(m,n-1) получим разностную схему

где

Эта схема аппроксимирует уравнение (2.67)с погрешностью 1 порядка O(l²+h²) а начальные условия - с погрешностью порядка 0(l).