А. М. Леушина теория и методика формирования элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста

Оглавление

Введение

Краткий анализ преподавания арифметики в 1 классе начальной школы (до введения новых программ)

О некоторых направлениях в реформе математического образования в начальных классах школы

Новая программа по математике в I классе школы (утверждена Министерством просвещения СССР)

ГЛАВА I. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИКИ

§ 1. Обучение и развитие детей

§ 2. Своеобразие обучения маленьких детей элементам математических знаний

§ 3. Сенсорное развитие — чувственная основа умственного и математического развития детей

ГЛАВА II. О МЕТОДАХ ОБУЧЕНИЯ В ШКОЛЕ И В ДЕТСКОМ САДУ В XIX -XX вв.

§ 1. Методы обучения детой арифметике в XVIII—XIX вв. в начальной школе

§ 2. Вопросы методики обучения детей числу и счету в дошкольной педагогической литературе

ГЛАВА III. РАЗВИТИЕ У ДЕТЕЙ ПЕРВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ О МНОЖЕСТВЕ, ЧИСЛЕ И СЧЕТЕ

§ 1. Развитие у детей представлении о множестве

§ 2. Споеабы сравнения множеств детьми разного возраста

§ 3. Роль различных анализаторов в развитии навыков счета и представлений о множестве

§ 4. О развитии у детей деятельности счета

§ 5. Развитие у детей представления об известных отрезках натурального ряда

ГЛАВА IV. ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ У ДЕТЕЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О РАЗМЕРЕ, ФОРМЕ И МАССЕ ПРЕДМЕТОВ (НА ОСНОВЕ СЕНСОРНОГО ВОСПРИЯТИЯ)

ГЛАВА V. РАЗВИТИЕ У ДЕТЕЙ СТАРШЕГО ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА ПРИЕМОВ ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИНЫ, МАССЫ, ВМЕСТИМОСТИ СОСУДОВ

ГЛАВА VI. РАЗВИТИЕ У ДЕТЕЙ ОРИЕНТИРОВКИ В ПРОСТРАНСТВЕ

ГЛАВА VII. ОСОБЕННОСТИ ВОСПРИЯТИЯ ВРЕМЕНИ ДЕТЬМИ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА

ГЛАВА VIII. ОБЩЕДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ В ОБУЧЕНИИ ДЕТЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ЗНАНИЯМ

ГЛАВА IX. ПРОГРАММА И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИКИ ВО ВТОРОЙ МЛАДШЕЙ ГРУППЕ ДЕТСКОГО САДА (четвертый год жизни)

§ 1. Организация обучения детей во второй младшей группе

§ 2. Программный материал для детей трех лет

§ 3. Примерные занятия с множествами в группе детей трех лет

§ 4. Методика работы по развитию пространственных и временных представлений у детей второй младшей группы

ГЛАВА X. ПРОГРАММА И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ГРУППЕ ДЕТСКОГО САДА (пятый год жизни)

§ 1. Организация работы с детьми пятого года жизни

§ 2. Программный материал для группы детей пятого года жизни

§ 3. Примерные занятия с множествами и по счету в группе детей пятого года жизни

§ 4. Примерные занятия по развитию пространственных и временных представлений

ГЛАВА XI. ПРОГРАММА И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИКИ В СТАРШЕЙ ГРУППЕ ДЕТСКОГО САДА (шестой год жизни)

§ 1. Организация работы с детьми шестого года жкзни

§ 2. Программный материал для группы детей шестого года жизни

§ 3. Примерные занятия: множество, число и счет

§ 4. Формирование пространственных и временных представлении

§ 5. Закрепление и использование усвоенных знаний на других занятиях, в играх и бытовой жизни

ГЛАВА XII. ПРОГРАММА И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИКИ В ПОДГОТОВИТЕЛЬНОЙ К ШКОЛЕ ГРУППЕ (седьмой год жизни)

§ 1. Организация работы с детьми седьмого года жизни

§ 2. Программный материал для подготовительной группы

§ 3. Примерные занятия в подготовительной к школе группе детского сада: множество, счет, число

§ 4. Обучение детей элементам вычислительной деятельности

§ 5. Способы обучения детей решению арифметических задач в детском саду

§ 6. Примерные занятия по развитию у детей представлений о величине и измерении, о форме, о пространственных и временных отношениях

§ 7. Закрепление представлений и применение полученных знаний, умений, навыков на занятиях, в игре и в быту

Введение

XXIV съезд Коммунистической партии Советского Союза поставил перед педагогической наукой и практикой, перед всей советской общественностью ответственную задачу: обеспечить всестороннее развитие подрастающего поколения. На решение этой задачи должны быть направлены силы всех советских педагогов, начиная с воспитателей детского сада.

В настоящее время уже все дети оканчивают восьмилетнюю школу, а в ближайшие годы молодежь будет получать полное среднее образование. Естественно, что изменились требования к выпускнику школы, изменились и цели обучения. Цель всестороннего развития личности стала реальной конкретной задачей.

Преподавание математики в начальной школе, которое ранее сводилось в основном к тренировке вычислительных навыков, заучиванию правил выполнения арифметических действий без усвоения теоретических основ, не обеспечивало необходимого логико-математического развития детей. В программах старших классов, например, отсутствовали такие важные для современного образования разделы, как теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование.

Во всестороннем развитии личности важное место принадлежит умственному развитию, овладению приемами и способами умственной деятельности, совершенствованию познавательных способностей, сознательному усвоению знаний, формированию умений пользоваться ими для решения новых задач. Необходимость умственного развития и совершенствования познавательных способностей, воспитание рационального мышления (четкость, точность, ясность и др.) обусловлена теми огромными научно-техническими сдвигами, которые произошли в жизни человеческого общества за последние десятилетия.

Проблемы автоматизации производства, моделирования на электронных вычислительных машинах требуют от работников самых разнообразных областей строгого и последовательного анализа изучаемых ими процессов. Поэтому воспитание привычки к полноценной логической аргументации является практической необходимостью. Развитию логической мысли в наибольшей степени отвечает изучение математики. Для математического стиля мышления характерны: лаконизм, четкая расчлененность хода рассуждений, логическая последовательность, точность мысли и умение пользоваться символикой.

Потребовался новый подход к содержанию и методам математического образования людей, и прежде всего подрастающего поколения. И не случайно, что в наши дни ученые и учителя озабочены реформой школьного курса математики.

На что обращено особое внимание при перестройке программ? Основные поиски направлены на то, чтобы, с одной стороны, устранить перегородки между отдельными математическими дисциплинами и «построить,— как писал А. И. Маркушевич,— единый курс математики, влить в него новое содержание, избрав в качестве важнейших идей функцию и преобразование, включить элементы аналитической геометрии и математического анализа», а с другой стороны, показать применение математики к физике и к другим наукам, поскольку прикладное значение математики в настоящее время необычайно возросло (техника, экономика, оборона, лингвистика, биология, психология, педагогика, медицина и др.).

Современная наука рассматривает математику как учение о различных структурах. Привлекательной стала мысль «выделить лишь немногие классы структур, лежащие во всей математике, создать их иерархию, кратко, выразительно охарактеризовать и представить простыми и доступными для восприятия моделями (образцами)».

Учение о различных структурах математики (алгебраическая структура и прежде всего группа, структура упорядоченного или частично упорядоченного множества и др.) привлекло особое внимание психологов и педагогов. Последние обнаружили, что механизмы мышления ребенка и взрослого весьма близки, что убедительно показано в книге Ж. Пиаже и Б. Инельдер. Усвоение детьми математических понятий оказывается вполне возможным на более раннем этапе, чем считалось прежде.

Основные вопросы преподавания математики явились предметом обсуждения многих интернациональных семинаров, в которых принимали участие ученые, преподаватели математики, инженеры, логики, - психологи, историки и другие специалисты социалистических и капиталистических стран. Подобные семинары проводились в Англии, Бельгии, Швейцарии, Франции, Люксембурге и т. д.

В 1962 г. по инициативе Венгерского правительства и при содействии ЮНЕСКО был проведен в Венгрии Международный симпозиум по преподаванию математики в школе; выводы и рекомендации этого симпозиума заслуживают серьезного внимания.

Выяснилось, что исследования, проводимые в разных странах, показали возможность использования простейших операций над множествами, понятий отношения и функции в школьном курсе, предназначенном для детей, начиная с 12-летнего возраста (и даже раньше).

Международный симпозиум стимулировал дальнейшую экспериментальную работу по разработке программ для школ в разных странах.

В Советском Союзе на основе экспериментальной работы, проводимой ряд лет, такая программа преподавания математики в массовой школе, начиная с I класса, уже создана Академией педагогических наук СССР при участии видных ученых-математиков и для начальных классов школы введена как обязательная с 1 сентября 1969 г.

Чтобы понять значение поисков новых путей работы и особенности новой программы, необходимо кратко ознакомиться с характером старой программы и ее недостатками.

Краткий анализ преподавания арифметики в 1 классе начальной школы (до введения новых программ)

Уже в первые годы после Великой Октябрьской социалистической революции в поисках путей создания новой школы учителя стали пересматривать методы преподавания. К сожалению, многое в то время вносилось в школу прожектерски, не критически заимствовалось из зарубежной литературы.

Был издан новый учебник для трудовой школы I и II ступени Е. Горбунова-Посадова и И. Цунзер «Живые числа, живые мысли и руки за работой». Авторы писали, что они пытаются построить преподавание в соответствии с развитием и склонностями начинающих учиться. «В ребенке живет дух исследователя, ему присуща органическая потребность самостоятельно находить, творить, испытывать, мыслить, двигаться, применять на деле добытые знания, работать руками. Ребенок старается воплотить в свою работу, в свою игру то, чем он живет в данный момент. Ввиду этого ознакомление с начатками математики должно быть основано на активной деятельности ребенка: он должен быть деятельным сотрудником во время преподавания, а не пассивным слушателем» .

Поскольку основной деятельностью ребенка является игра, авторы предлагали обучать детей и в школе игровыми приемами. «Ребенок живет играя; игра — это его занятие, его работа. И мы даем целый ряд игр, требующих счета и сообразительности. Думаем, что играя, ребенок лучше усвоит счет, лучше всего ознакомится с числами и действиями над ними. Нам бы хотелось большую часть преподавания начальной математики перевести на такое самообучение путем живых занятий и игры» .

Ставилась задача развивать у детей математические представления, но само развитие понималось еще авторами как саморазвитие.

В 30-х годах в результате индустриализации страны стала расти потребность в повышении общеобразовательного уровня народа. Было принято постановление ЦК ВКП (б) от 25 июля 1930 г. «О всеобщем обязательном начальном обучении». Это обязывало педагогов и методистов разработать систематические руководства по обучению детей в школе. На это направляли внимание учителей и постановления ЦК ВКП (б) «О начальной и средней школе» от 5 сентября 1931 г. и «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе» от 25 августа 1932г.

Для реализации выдвинутых партией задач в 30-х годах был создан ряд методик по обучению арифметике.

Советские методисты продолжали развивать ту прогрессивную линию в преподавании арифметики, которая была заложена русскими педагогами-классиками. Детей учили не столько счету, сколько арифметическим действиям, вычислениям, объясняя это тем, что дети приходят в школу с уже сформировавшимся умением считать и элементарными понятиями о числе. Поэтому задача школы состояла в том, чтобы на основе усвоенных детьми умений систематизировать элементарные представления о числах. Процесс формирования понятий о числе рассматривался как длительный и весьма сложный.

Значительное влияние в то время оказала работа К. Ф. Лебединцева «Развитие числовых представлений в раннем детстве» (1923г.).

Наблюдая за своими детьми, К. Ф. Лебединцев пришел к выводу, что первые представления о числах в пределах пяти возникают у маленьких детей на основе различения групп предметов, причем совсем не в порядке натурального ряда. Так, узнавание группы в два предмета и наименование ее числительным два предшествует наименованию один. Дети различают группу, состоящую из двух пар предметов, раньше, чем группу из трех предметов. «В силу этих обстоятельств можно заключить, что первые числовые представления возникают у ребенка главным образом благодаря восприятию небольших групп однородных предметов, имеющихся в окружающей среде (глаза, руки, ноги, ножки стола и т. д.)» 2.

Некоторые методисты приняли точку зрения К. Ф. Лебединцева. Большинство же считало, что для формирования числовых представлений у детей важно не только обеспечить восприятие групп, но и обучать детей счету.

Кроме счета предметов, многие авторы рекомендовали вводить с самого начала и измерение. Они развивали мысль одного из дореволюционных русских методистов — Д. Галанина, подчеркивавшего значение измерения для усвоения понятия количества, которого нет, когда ребенок пересчитывает отдельные предметы. Если мы возьмем пять стаканов воды и сольем воду в один сосуд, то образуется новое целое — графин, куда вошло пять стаканов. Это целое не может рассыпаться на отдельные счетные единицы, как рассыпаются пять карандашей. Сравнение величин служит наглядной картиной при сравнении чисел, ибо, сравнивая два отрезка по длине, сразу можно увидеть, что один длиннее другого на одно деление, а, следовательно, пять больше четырех на 1 единицу.

Не останавливаясь подробно на различиях методик обучения арифметике у разных авторов, сделаем некоторые обобщения:

1. Большинство советских авторов стояло на точке зрения необходимости обучать детей в I классе двум основным видам деятельности: сначала — счету, а затем — приемам вычисления (при изучении сложения и вычитания).

2. В качестве подготовки к переходу от счета к вычислениям многие авторы считали необходимым изучить с детьми числа и их состав. Но одни авторы признавали необходимым ограничиться изучением состава чисел первого пятка, после чего перейти к изучению действий (И. Н. Кавун, Н. С. Попова, частично (Г. Б. Поляк), другие предлагали предпослать изучению действий изучение состава всех чисел в пределе 10 (А. С. Пчелко, В. Л. Эменов и др.).

Но, как и для чего следует изучать состав чисел, они не раскрывали, а объяснения их были не всегда однородны. Например, одни указывали на то, что число может быть различным образом разложено на 2—3—4 слагаемых (В. Л. Эменов), другие считали необходимым ограничиться двумя слагаемыми (Г. Б. Поляк). Оставалось непонятным, для чего же нужно разлагать число, и какими пределами следует ограничиться в изучении состава,— теоретически это не аргументировалось. Неясно было также, какое теоретическое и практическое значение имеет это предварительное (до изучения действий) изучение состава чисел.

Одни рассматривали изучение числа как подготовку к усвоению сложения и вычитания, другие — как предпосылку к выработке техники вычислений, третьи видели в этом средство формирования ясного представления о числе, четвертые считали, что изучение состава чисел имеет значение повторения и приведения в систему первоначальных числовых представлений в пределах первого пятка, со знанием которого дети приходят в школу.

Отсюда и неразрешенность ряда вопросов. Разложение и сооставление числа — это различные операции. Разложить множество объектов на более мелкие группы сможет и маленький ребенок, но это не значит, что он составит это число (исследования Я. И. Петрова, Е. И. Корзаковой и других).

3. Многие методисты связывали изучение состава числа с числовыми фигурами, хотя уже в начале -XX века велись большие дискуссии о значении числовых фигур.

Возникал вопрос, почему именно числовым фигурам приписывается столь высокая роль, в то время как дети с раннего возраста окружены многообразием различных множеств предметов, в разной форме расположенных. Многие противники симультанного (целостного) восприятия числовых фигур указывали, что восприятие количества в таких случаях подменяется восприятием формы рисунка. Авторы методик обходили все эти спорные вопросы молчанием.

4. Ряд авторов совсем не касался вопросов о формировании представлений о множестве, первых понятий о числе и о развитии у маленьких детей умения считать до школы. Отсюда методика обучения арифметике в школе оказывалась без фундамента, так как отсутствовала преемственность с предшествующим этапом жизни детей, не раскрывалась идея развития навыков счета и первоначального формирования понятия числа. Потому оставалось неясным, что хорошо, что плохо в уровне подготовки детей, поступающих в школу. Авторы мирились с тем, как фактически готовят детей, не выдвигали требований ни перед дошкольными учреждениями, ни перед родителями. Они полагали, что обучение детей счету, изучение чисел и их состава на протяжении двух-трех недель в школе ликвидирует глубокие недостатки, сложившиеся еще до школы, и дети смогут успешно перейти к изучению систематического курса.

5. Все авторы подчеркивали значение обучения детей счету. Однако ни одна из методик не раскрывала сущности этого обучения. Отдельные авторы, например А. С. Пчелко, делали попытки дать некоторые указания. Он рекомендовал начинать обучение детей не со счета, а с отсчета, предлагая самим детям создавать множества путем постепенного присоединения одного предмета к другому. Основная мысль его состояла в том, чтобы помочь детям понять значение итогового числа при счете, показать, что с присоединением нового элемента получается новое число. В этих целях А. С. Пчелко, Г. Б. Поляк и др. предлагали вести отсчет в такой форме: 1 кубик, 2 кубика, 3 кубика и т. д.,т. е. именуя предметы, с тем чтобы потом перейти к обычному счету: 1, 2, 3 и т. д. Возникает вопрос, насколько оправдан такой метод обучения в школе, куда в основном поступают дети, овладевшие счетом; с другой стороны, он не соответствует особенностям понимания у маленького ребенка. Исследования показали, что итоговое число не соответствует у детей количеству сосчитанных предметов.

6. Значительно большее единство наблюдалось во взглядах методистов на способы обучения арифметическим действиям сложения и вычитания, а главное — на обучение вычислительным

приемам.

Подавляющее большинство методистов считало необходимым одновременное изучение сложения и вычитания (И. Н. Кавун, Н. С. Попова, А. С. Пчелко). Однако и здесь имелись некоторые расхождения: так, в методике под редакцией В. Л. Эмепова сложение и вычитание рекомендуется проводить раздельно, а в методике Г. Б. Поляка раздельное изучение сложения и вычитания дается лишь для чисел первого пятка и одновременное — для чисел второго пятка.

7. По вопросу, с чего начинать изучение действий — с арифметических ли задач или с числовых примеров, также были разные точки зрения. Одни говорили о необходимости начинать изучение действий и вычислительных приемов с задач, мотивируя это тем, что смысл самого арифметического действия может быть понят и усвоен лишь на задачах, другие же считали, что приемы вычисления легче усвоить на числовых примерах, и рекомендовали изучение действий и вычислительных приемов начинать с примеров и лишь усвоенные вычислительные приемы применять при решении задач.

Таким образом, мы видим, что обучение детей в I классе, как и во всей начальной школе в целом, сводилось к тренировке вычислительных навыков.

В самих программах указывалось, что обучение начальной арифметике «характеризуется своей практической направленностью и конкретностью своего содержания».

Курс арифметики в подготовительный период строился концентрически, как это было у методистов конца XIX — начала XX в. Деление по концентрам было обусловлено признанным утверждением, что область чисел должна расширяться в соответствии с умственным развитием детей, с их возрастными возможностями. Создавалась ненужная жесткость в усвоении того или иного навыка в пределах узкого концентра. Недостаточная осознанность в усвоении навыков в одном концентре мешала усвоению целесообразных приемов вычисления в последующих концентрах.

Большая дробность концентрических кругов мешала уяснению сущности десятичной системы счисления. Учащиеся даже III класса не усваивали разрядности, ибо нельзя усвоить десятичную систему, находясь в пределах лишь двух разрядов. Дети, как правило, допускали большое количество ошибок в поразрядном вычитании больших чисел, о чем писали сами методисты.

Итак, следует признать, что программы отличались сугубо практической направленностью, излишним концентризмом, многоступенчатостью и недостаточным научным уровнем изучаемого учащимися материала. К тому же традиционная методика, направленная на однообразную тренировку навыков, на заучивание таблиц, не делала обучение арифметике привлекательным для детей.

В связи с этим ставился вопрос о необходимости уменьшить число концентров или совсем их снять и повысить теоретический уровень преподавания арифметики в начальной школе.

Поэтому вполне закономерно, что в связи с мощным развитием науки и техники, высокими требованиями, предъявляемыми к умственному развитию школьника, возникла необходимость пересмотреть программы и методы обучения математике начиная с I класса.

О некоторых направлениях в реформе математического образования в начальных классах школы

В поисках путей реформы математического образования и создания новой программы определилось несколько направлений. Одни считали, что в основу реформы должно быть положено коренное изменение содержания знаний, другие — что главным является пересмотр и усовершенствование методов обучения. Одним из дискуссионных был вопрос о том, с чего начинать обучение в I классе — с дочислового периода, с различных операций с множествами или с числа и счета, как это было прежде.

Одни исследователи считали, что в I классе следует ввести дочисловой период обучения, которому надлежит уделить значительное внимание. В этот период, не прибегая к числу, нужно познакомить первоклассников с такими математическими понятиями, как множество, соотношения между элементами множеств, с равенством и неравенством, множеств, с операциями множеств (объединение, пересечение, дополнение); познакомить с понятием величины и способами сравнения непрерывных и дискретных величин путем измерения их разными «мерками», с приемами записи равенства и неравенства величин, буквенной и знаковой символикой; познакомить с простейшими алгебраическими операциями, обобщающими арифметические действия; значительное место авторы отводили и знакомству с геометрическим материалом, И лишь на основе изучения материала в дочисловой период рекомендовалось вводить знакомство с числом и счетом с помощью слов-числительных.

Другие исследователи и методисты, наоборот, считали невозможным на начальной ступени обучения игнорировать счет и число, так как они органически вошли в жизнь нашего общества. Начинать обучение с множеств, игнорируя число, значит неизбежно создавать искусственную обстановку, так как дети, приходящие в школу, как правило, все хорошо считают. Но обучение счету и числу не означает отрицания введения алгебраических понятий в программу I класса.

Они говорили о том, что надо сделать школу не только обучающей, но и развивающей личность ребенка. Этому должно быть уделено основное внимание при реформе школьного образования, включая I класс. Так, например, Н. С. Попова писала, что с появлением в филогенезе понятия числа произошла перестройка отношения к таким понятиям, как количество и порядок, они утратили свою самостоятельность, они были «сняты» числом и тем более в наше время не могут служить основой формирования математических понятий. Она считает, что нет никакой необходимости знакомить детей с доарифметическими операциями, так как само число содержит в себе количественные и порядковые отношения (кардинальное и ординальное значение чисел). Отсюда следует вывод, что начинать обучение надо с числа и счета, уделяя особое внимание формированию сознательного счета и полноценных числовых понятий.

Одна из групп ученых под руководством Л. В. Занкова направляла свое внимание в основном на разработку наиболее эффективных методов, способствующих развитию активной, четкой, деловой мысли учащихся. Главную задачу реформы школьного обучения эти авторы видели в перестройке отношений между учителем и учащимися, в создании обстановки радостного учения.

Поиски по различным направлениям получили отражение в ряде книг. Действительный член АПН СССР проф. А. И. Марку-шевич разработал проект программы для I класса. Сотрудники АПН СССР К- И. Нешков и А. М. Пышкало опубликовали учебное пособие, созданное на основе проведенного ими эксперимента. В экспериментальной программе, помещенной в этой книге, предусматривается начать работу в I классе с операций над множествами. В этот раздел входят различные упражнения в операциях объединения, пересечения и разностей двух частей одного и того же множества и тут же знакомство с переместительным и сочетательным свойствами операций объединения и пересечения. Затем переходят к счету множеств и их подмножеств; изучают письменные и печатные цифры и упражняются в определении и записи численности объединений, пересечений и разностей двух частей одного и того же множества; изучают действия сложения и вычитания чисел в пределах 20, знакомятся с геометрическими фигурами и простейшими измерениями, изучают арифметические действия в пределах 100.

Другое направление отражено в книге Л. В. Занкова «Новое в обучении арифметике в I классе». В ней автор раскрывает основные принципы построения курса математики и методов преподавания арифметики, которые, по его мнению, будут содействовать общему умственному развитию школьников и обеспечат высокое качество усвоения учащимися теоретических знаний и практических навыков.

Особый интерес представляет работа группы ученых-психологов Московского государственного университета, получившая отражение в книге «Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий» 1, а также работа группы ученых-психологов Научно-исследовательского института психологии АПН СССР, освещенная в книге «Возрастные возможности усвоения знаний».

Авторы этих книг направили свое внимание на реконструкцию самого содержания математического образования в начальных классах, на наиболее рациональное его построение и психологическое обоснование. На основе проведенных исследований были созданы экспериментальные программы систематического курса математики, которые значительно отличались от действующих «как по широте охватываемого материала, так и по глубине раскрытия закономерностей соответствующих областей действительности».

Исходя из необходимости повышения теоретического уровня преподавания в начальной школе, они предлагают принципиально иное построение курса, начиная с начальных этапов обучения, в котором бы теоретические положения «обеспечили учащимся ориентировку в новых встречающихся в курсе математических явлениях».

Выдвигая принцип поэтапного формирования умственных действий и основных типов ориентировки (теория, утверждающая, что психическая деятельность есть результат перенесения внешних материальных действий в план отражения, а отражение проходит ряд этапов), авторы считают весьма важным создание ориентировочной основы действия. Прежде всего для учащихся должна быть выявлена специфическая сторона изучаемого предмета, чтобы при изучении арифметики учащиеся столкнулись «с новой формой оценки вещей», чтобы они усвоили опосредованный подход к тем житейским, эмпирическим представлениям, которые они приобрели до школы. В курсе арифметики следует выделить основные понятия, которые по-новому, научно охарактеризовали бы изучаемый предмет, вырабатывали у учащихся новые оценки количественных явлений. Таким конструирующим понятием начальной арифметики авторы считают меру. Мера позволяет сформировать опосредованную оценку количественных отношений. На основе ее вводится понятие единицы. «Единица — то, что отмерено и равно своей мере» 1. Единица в этих условиях начинает восприниматься через отношение к мере, а не путем противопоставления одного предмета и ряда предметов. Основным видом деятельности становится измерение, и всякое число выступает как результат отмеривания, а не просто сосчитывания отдельностей. Через измерение усваивается понятие меры, а на его основе — понятие единицы. «Тем самым эмпирический подход к оценке количественных отношений вытесняется теоретическим»2. Понятие меры позволяет сформировать и понятие о десятичной системе счисления, в которой каждый новый разряд представляет собой новую меру счета. Десяток выступает как новая мера, в которой десять раз уложилась прежняя мера. Соотношение разрядов рассматривается как соотношение мер. Учащиеся понимают соотношение различных мер, переходы одной меры в другую. Усвоение понятия меры позволяет учащемуся осмыслить понятие числа, действий над числами.

Следующий принцип, который выдвигают авторы, это дедуктивный принцип обучения. «Наилучшая ориентировка в предмете может быть достигнута через изучение общих правил, закономерностей явлений»,— пишут они. Однако усвоение этих закономерностей доступно на начальных этапах обучения лишь при условии подачи их в материализованной форме, обеспечивающей действие. Так, например, правило образования натурального ряда чисел п±\, где п — данное натуральное число, представляется в виде лестницы, где отношения каждой ступени воспроизводят отношения между числами. Пользуясь этой моделью числового ряда, учащиеся усваивают состав чисел, нумерацию, принцип десятичной системы счисления.

Поскольку принцип Десятичной системы лучше усваивается детьми на больших числах, требуется линейное, а не концентр и ческое построение программы. Такое построение создает возможность сразу отработать общий принцип действий сложения и вычитания без выделения приемов в зависимости от величины и структуры числа. Этот общий принцип действия выступает на разном материале. Так, сложные понятия могут усваиваться детьми посредством моделирования.:

При индуктивном же построении действие связывается с несущественными признаками тех же явлений, происходят частные обобщения, а это неизбежно порождает необходимость постоянного переучивания.

Все действия на моделях обязательно должны сопровождаться речевым комментированием, объяснением того, что делает ученик и почему. По мере же усвоения модели она устраняется, остается лишь «речевая схема действия». Словесное оформление действия должно происходить в процессе действий, а не после его завершения. Рассуждение вслух способствует осознанию самого действия. Вначале рассуждение бывает развернутым, а по мере освоения действия оно сокращается за счет свертывания ряда менее существенных операций, которые при необходимости быстро восстанавливаются.

Авторы считают возможным сразу вводить терминологию и различные условные обозначения. Исходя pis указанных принципов, авторы разработали экспериментальную программу обучения арифметике.

Таковы характерные особенности старой программы и основные поиски новых путей математического образования и обучения детей. Исследования в этой области продолжаются; многие из поставленных вопросов требуют дальнейшего, более глубокого изучения и проверки в массовой школе и детском саду.

Новая программа по математике в I классе школы (утверждена Министерством просвещения СССР)

Новая программа по математике для I класса школы, введенная с 1 сентября 1969 г., явилась результатом большой, скрупулезной работы сектора начального обучения Научно-исследовательского института методов обучения АПН СССР под руководством С. М. Языкова. В разработке ее и проверке, в написании учебников и методических руководств принимали участие сотрудники сектора, а также Н. А. Менчинская и члены кафедры педагогики Ленинградского педагогического института им. А. И. Герцена под руководством А. А. Люблинской. Особая роль в психологическом обосновании программы принадлежит Н. А. Менчйнской.

Новая программа опирается на многочисленные исследования, проведенные в сельских и городских школах разных областей и районов страны. В массовой проверке проекта программы принимали участие коллективы учителей, психологи и методисты.

В процессе этой опытной работы велись систематические наблюдения за работой учащихся (сильных и слабых), за выполнением учащимися домашних заданий, анализировались ошибки, трудности или успехи в работе учителей и учащихся.

Каковы же требования и принципы, на которых построена новая программа, что надлежит знать дошкольному работнику.

В программе отражаются те огромные задачи, которые поставлены XXIV съездом КПСС перед всей советской общественностью: дать стране всесторонне развитую и теоретически подготовленную молодежь. А для этого необходимо:

1. Реорганизовать начальную школу навыков в школу развития.

2. Развивать у учащихся, начиная с I класса, интерес к познавательной деятельности, познавательные способности: вооружать учащихся системой умственных и практических действий; формировать осознанное отношение к действительности. Учащийся должен воспитываться как мыслящий гражданин и как активный деятель.

3. Добиваться, чтобы осваиваемые учащимися знания были прочными. Учащийся должен уметь самостоятельно добывать новые знания и пользоваться ими в жизни. А для этого его надо научить приемам и способам умственной деятельности какв учебной, так и во внеучебной работе.

4. Учить учащихся теоретически обосновывать свои знания, применять доказательства, а для этого они должны овладеть раз личными умственными операциями (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация, сериация).

Приемы умственной деятельности не автоматизируются как навыки, они вырабатываются в течение длительного времени в упражнениях на разном содержании и разной степени трудности. Показателем их является способность переноса приобретенных умений при решении задач большей сложности и в иных условиях.

Таковы принципы построения новой программы.

Что же характеризует содержание программы?

Высокий теоретический уровень знаний, которые надлежит усвоить детям.

Математические знания (количественные, пространственные, временные) должны усваиваться в их взаимосвязях и отношениях, в функциональных зависимостях (зависимость количества мерок от размера мерки при измерении той или иной величины; зависимость расстояния от времени и мн. Др.).

Таким образом, прежний курс арифметики заменен комплексным курсом, состоящим из арифметики, алгебры и геометрии и получившим название «Математика».

Рассмотрим основное содержание программы I класса под углом зрения преемственности с программой детского сада. Основная линия преемственности состоит в том, что в программе I класса в настоящее время органически сочетается обучение и воспитание детей, развитие познавательных способностей учащихся, что характерно и для работы детского сада. В программе I класса повышен теоретический уровень образования, поставлена задача формировать у учащихся умения применять знания на практике, вырабатывать в связи с этим соответствующие умения и навыки. Все это требует умственной подготовки детей уже в детском саду.

В области элементарных математических знаний дети должны быть подготовлены к наблюдениям и умению выделять существенное, обобщать и систематизировать накопленные знания, пользоваться ими в своей бытовой и игровой деятельности, владеть простейшими понятиями.

Программа в школе начинается с изучения нумерации в пределах первого десятка и ознакомления с простейшими геометрическими фигурами.

Формирование понятия натурального числа проводится на основе практических действий с множествами предметов; в то же время у детей формируются некоторые важные обобщения {выясняется принцип образования каждого следующего числа в натуральном ряду, устанавливается соотношение между .любым числом ряда и всеми ему предшествующими и последующими и др.). Изучение сложения и вычитания в пределах десяти ведется на основе знания детьми свойств натурального ряда я ±1. А затем изучаются приемы прибавления (вычитания) числа по : его частям или путем перестановки слагаемых. Таким образом, дети вооружаются сразу различными способами сложения и вычитания чисел в пределах 10 на основе знаний о составе чисел и умений находить одно из двух слагаемых по данной сумме и другому слагаемому: 9 — 6=3, потому что 9 = б + 3, а если от суммы отнять одно из слагаемых — б, то получится другое слагаемое — 3.

Овладевая способами вычислений, дети усваивают различные математические выражения, например, детей учат записывать и читать такие простейшие выражения, как «сумма (разность) двух чисел» (5 + 4 и 6 + 4; 7 -J- 2 и 7 — 2). Сравнивая эти записи, учащиеся подмечают закономерности вычислений и на этой основе решают вопрос, какой знак следует поставить между ними — больше, меньше или равно: 5 + 4 < 6 -Ь 4; 7 + 2 > 7 — 2.

Упражняясь в сравнении выражений различного вида, например, 6 + 1 и б 1— I или 4 + 6 и 6 + 4 и т. п., дети более глубоко осознают смысл арифметических действий, а это повышает их интерес к математике, воспитывает наблюдательность, обоснованность суждений, привычку к самопроверке.

В этот же период учащиеся знакомятся с текстовыми арифметическими задачами. При решении задач на нахождение суммы ,и остатка учащиеся анализируют количественные отношения, раскрываемые в тексте задачи, и выбирают необходимое действие. Рассматриваются на этом этапе и задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, при этом задачи могут быть выражены не только в прямой, но и в косвенной форме. Изучаются также задачи па нахождение неизвестного слагаемого, при этом вводится впервые буква х (х + 3 = 8). Эта форма записи позволяет в отвлеченном виде представить учащимся связь между известными в задаче величинами и.искомой (например, между суммою и слагаемыми), На этой основе дети учатся записывать формулой любую задачу (например, прямая задача: в графине было 7 стаканов воды, 5 стаканов вылили. Сколько стаканов осталось в графине? 7 — 5 = 2; или обратная задача: в графине было несколько стаканов воды, 5 стаканов вылили, остался всего 1 стакан. Сколько стаканов воды было в графине? jc —5= 1).

В период изучения десятка учащиеся знакомятся и с геометрическим материалом, который рассматривается в тесной связи с арифметическим. Уже с первых дней учения в качестве счетного наглядного материала используются различные виды треугольников, кругов, а затем вводятся многоугольники, у которых учащиеся считают стороны, углы и вершины; учащихся знакомят с некоторыми свойствами геометрических фигур.

В этот же период вводится измерение отрезков сантиметром: отрезки измеряются и сравниваются, а это служит одной из наглядных основ сравнения чисел.

На изучение тем «Нумерация», «Сложение и вычитание в пределах первого десятка» отводится 70 часов, из них на «Нумерацию и простейшие фигуры» — 30 часов, на «Сложение и вычитание» — 40 часов.

Перестройка обучения математике в школе привела к необходимости пересмотра работы по подготовке к школе, перестройки программы математических знаний в детском саду. Это потребовало, с одной стороны, углубленного изучения умственных возможностей детей дошкольного возраста, а с другой — исследования возможности более глубокого усвоения ими математического материала с учетом тех требований к общему развитию, которое необходимо для успешной учебы в школе.

Такие исследования начали проводиться с 50-х годов в Научно-исследовательском институте дошкольного воспитания АПН РСФСР (впоследствии — в АПН СССР), в Научно-исследовательском институте психологии УССР, на кафедрах дошкольной педагогики, в том числе в Ленинградском педагогическом институте им. А. И. Герцена.

«Программа воспитания в детском саду» опирается на эти исследования и на опыт лучших воспитателей.

Студент педагогического института — будущий организатор дела дошкольного воспитания — должен не только понять требования действующей «Программы воспитания», но и ясно представлять себе перспективы ее дальнейшего развития.

Пройдет 2—3 года, прежде чем студент факультета дошкольного воспитания начнет сам преподавать методику формирования элементарных математических знаний учащимся в педучилище; они, в свою очередь, начнут работать как воспитатели в детских садах лишь через 2 года, а их воспитанники пойдут в школу еще через 4 года. Это значит, что студент должен видеть перспективы развития науки на 8—10 лет вперед. Поэтому программа и учебное пособие по методике формирования элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста не могут ориентироваться лишь на практику сегодняшнего дня.

Вот почему в предлагаемом пособии студент найдет не только то, чему и как надо учить детей, обучая их математике на основе действующей «Программы воспитания», но и разъяснения о дальнейшем ее совершенствовании в соответствии с научными исследованиями и достижениями практики.

Поскольку наука беспрерывно развивается и требования общества возрастают, «Программа воспитания» не может быть застывшей: она будет и дальше совершенствоваться. И долг дошкольных работников с высшим образованием не только понимать закономерности развития науки, но и всемерно участвовать в разработке новых проблем и внедрении научных данных в практику.