§ 3. Примерные занятия: множество, число и счет

Ознакомление с множеством.

В предшествующих группах дети много раз практически имели дело с множествами. Они знакомы с тем, что всякие конкретные совокупности состоят из отдельных предметов, но можно в этих совокупностях (множествах) выделить и отдельные части, обладающие теми или иными признаками.

Перед воспитателем старшей группы стоит задача —углубить представления детей о множестве, раскрыть значение терминов множество, элементы множества и приучить пользоваться ими.

Воспитательница предлагает детям привести примеры множеств. «Множество квадратов», «Множество дверей в комнате», «Множество домов на улице»,— называют дети. Воспитательница

стучит несколько раз по столу и спрашивает: «А как можно назвать это?» — «Множество звуков», «Множество движений»,— отвечают дети. Воспитательница предлагает подумать, из чего составляется всякое множество. Дети отвечают, что множество составляется из отдельных предметов, отдельных звуков, отдельных движений. Воспитательница, обобщая, говорит, что эти отдельные предметы, отдельные звуки, отдельные движения, входящие в состав множества, называются элементами множеств. Она называет несколько множеств и просит сказать, что в том или другом случае будет именоваться множеством и его элементом (множество карандашей, множество детей, множество столов в группе, множество игрушек и др.).

Далее с помощью воспитателя дети обнаруживают, что не все элементы в множествах бывают однородными, например элементами множества «мебель» будут: столы, стулья, шкаф, полка, буфет и другое, т. е. одни элементы одинаковые, как столы, стулья, а другие разные, как полка, буфет шкаф. «Что же можно сказать об элементах множества?» — спрашивает воспитательница, подводя детей к обобщению: множество может состоять из элементов разного качества. Она предлагает самим детям составить какое-либо множество из элементов разного качества. Дети приносят игрушечных мишку, петуха, лошадку. «Как можно назвать это множество?» — ставит новый вопрос воспитательница. Одни дети говорят, что это множество игрушек, а другие — что это множество животных. Оба ответа верны.

Затем воспитательница сама ставит множество из кубиков на стол, а другое, из петушков, на стул и спрашивает: «Что можно сказать про эти множества?» Дети говорят, что одно множество из кубиков, кубики — это элементы множества, а другое множество из петушков, петушки — это элементы множества петушков. «Можно ли объединить оба множества? Как тогда будет называться это множество?» — «Множество предметов», «Множество игрушек»,— отвечают дети. «Когда мы объединили эти два множества, что можно сказать про каждое из них?» —■ «Каждое из них будет частью всего множества»,— слышны ответы детей. По просьбе воспитателя дети уточняют, что в множестве игрушек две части, и называют, из чего состоит каждая часть. Далее детям предлагается сравнить эти части, определить, какая же из них по численности больше (меньше) или они равны, и сказать, что больше: все множество или какая-либо часть его.

Так воспитательница подводит детей к пониманию, что несколько отдельных частей могут быть объединены в одно целое множество, что (конечное) множество «больше» своей части. Здесь нет еще арифметического действия сложения, но в подобных упражнениях закладывается его математическая основа. На первом занятии воспитательница показывает два-три вида различных мелких игрушек, например группу уток, группу гусей, группу кур, и спрашивает, можно ли все эти группы объединить в одну и как тогда будет называться вся группа в целом и каждая из них. Дети задумываются, затем соглашаются объединить все группы, указывают, что это будет множество игрушек. «А как иначе можно назвать такое множество (эти объединенные группы)?»—стимулирует мысль детей воспитательница. «Это будет множество птиц»,— говорит один из детей. «А назовите части в этом множестве птиц».—«Одна часть —утки, одна часть — гуси, одна часть — куры»,—отвечают дети. «Сколько же частей в этом множестве птиц?» — ставит новый вопрос воспитательница. Дети отвечают.

На другом занятии детям предлагается самим создать множество из разных частей, например, дети берут две группы деревьев — березы, елки. Объединяя их, дети говорят, что они составили одно множество деревьев из двух частей: одна часть — березы и одна часть — елки и т. д. Воспитательница направляет внимание детей на отношения между частью и целым: «Чего же больше — всех деревьев вместе или только одних берез?» и т. д.

В качестве материала на подобных занятиях могут быть использованы различные предметные картинки, например кастрюли, тазы, поварешки — множество, называемое кухонной посудой; чашки, кружки, чайники, кофейники, молочники, тарелочки— множество, называемое чайной посудой, и т. д.

Такие занимательные занятия позволяют детям упражняться в различной группировке (приемах классификации), которая, в свою очередь, подводит к пониманию как родовых, так и видовых понятий, а также к более глубокому усвоению множества, в частности отношений между частью и целым.

Составляя объединенные множества, дети считают в них количество частей и количество отдельных элементов, входящих в состав части. Допустим, дети из трех групп животных (собак, кошек, лошадок) составили объединенное множество домашних животных. Считая количество этих групп, они называют: одна, две, три, всего три части. Определяя, какая из частей больше, меньше или они равны по численности, дети считают элементы в этих частях; допустим, считая собак, выясняют, что их три (одна, дзе, три), а кошек — больше (одна, две, три, четыре), а лошадок— меньше (одна, две). Считая элементы в виде отдельных предметов и составные части единого множества, они пользуются теми же словами-числительными. На эту сторону важно обратить особое внимание детей, подчеркнув, что слово один служит количественным показателем не только отдельного предмета, но и целой группы, части, если нас интересует количество частей в множестве. Дети начинают понимать, что они могут считать как части множества, так и отдельные предметы внутри каждой части множества. Постепенно у детей будет разрушаться односторонняя связь слова один лишь с конкретной отдельностью, а это значит, что они начнут осознавать значение числа один как показателя мощности множества.

Воспитательница предлагает детям самим перечислить отдельности или группы, которые можно назвать числом один. «Один большой мишка», «Одна группа мишек на полке», «Одна группа кукол сидит на диване, а одна кукла сидит за столом», «Один аквариум». «В аквариуме много рыб: одна часть-—маленькие рыбы и одна часть — большие рыбы», «Один конус и одна группа кубиков стоят на полке»,— говорят дети.

Упражняя детей в распознавании множеств и их элементов, воспитательница предлагает показать то или иное множество в целом и элементы множеств, составленных как из отдельных предметов, так и из отдельных частей.

Например, на столе стоит бокал с красными флажками. Дети говорят, что в бокале много красных флажков. «Имеются ли части в данном множестве?» — ставит вопрос воспитательница. Дети отвечают, что частей здесь пет. Воспитательница ставит в тот же бокал еще группу желтых флажков. Дети отвечают, что теперь в множестве флажков имеются две части — желтые и красные флажки. Воспитательница предлагает подумать, как можно, не считая, сказать, какое из подмножеств по численности больше. Дети вносят разные предложения: составить из красных и желтых флажков пары, разложить те и другие в ряд друг под другом, один под одним. Пользуясь тем или иным приемом, дети определяют, какая из сравниваемых частей больше какой, какая меньше какой (красных флажков больше, чем желтых, а желтых флажков меньше, чем красных).

Затем воспитательница предлагает самим детям составить множество из частей (кто как хочет). «Я взял сначала множество кружков и объединил их с множеством треугольников и множеством квадратов,— рассказывает один ребенок,— получилось множество разных фигур». Остальные дети также устанавливают количество частей своего множества. Но вот один ребенок сообщает: «Множество желтых кружков я объединил с множеством кружков красных и взял еще один зеленый кружок».— «А разве мы считали количество отдельных кружков? Ведь мы считали количество частей, которые объединили в одно множество». Ребенок задумывается. Воспитательница быстро развешивает несколько желтых кружков и предлагает Мише показать на доске, с какими кружками он объединил свое множество. Миша раскладывает несколько красных кружков и вешает еще один зеленый. «Сколько же отдельных частей ты объединил в одно множество кружков?» — «Три»,— отвечает Миша и показывает их. «Вот это правильно: зеленый кружок тоже отдельная часть, потому что он уже другого цвета, хотя зеленый кружок всего лишь один. Видите, дети, как Миша интересно составил множество из трех частей. Один кружок является такой же частью большого множества кружков, как и другие»,— уточняет воспитательница.

Подобные занятия вызывают интерес у детей: они сами берут то или иное исходное множество, а затем объединяют его с другими множествами, отличающимися от основного какими-либо признаками. «Я множество ромашек объединил с множеством колокольчиков и маков. Я составил одно общее множество цветов из трех частей».— «А сколько отдельных цветов в каждой части?» — «В части из ромашек — пять, в части из колокольчиков— два, а в части маков — один».— «Сколько же всего частей в твоем множестве?» — «Три».— «А сколько отдельных цветков в твоем букете?» — «Всего восемь».— «А как называются отдельные предметы в множестве?» — «Это его элементы».— «Что же больше по-твоему: часть или все множество в целом?» — спрашивает воспитательница. «Часть меньше целого», — отвечает ребенок.

Дальше можно познакомить детей и с операцией удаления части множества. Сначала это целесообразно сделать на множестве, состоящем из трех частей. Воспитательница вешает на доске множество, состоящее из красных, желтых и зеленых кружков. Дети определяют количество частей данного -множества. Затем одну из частей она снимает. Дети говорят, что «множество уменьшилось»: остались только две части. Вызванный ребенок удаляет еще одну часть, множество снова уменьшается: теперь осталась лишь одна часть. Значит, если из основного множества удаляется часть его, множество уменьшается. Дети упражняются в этой операции: взяв одну часть белых грибов и объединив ее с одной частью сыроежек, они составляют единое множество грибов, а затем удаляют из него любую часть, после чего у них остается лишь одна (та или иная) часть. Операция удаления части из конечного множества послужит основой для усвоения детьми в дальнейшем арифметического действия вычитания.

Обучение счету и отсчету предметов.

Обучение счету и отсчету предметов продолжается в этой группе путем сравнения равных и неравных по численности множеств, выраженных смежными числами: пять и пять, пять и шесть, шесть и шесть, шесть и семь, семь и семь, семь и восемь, восемь и восемь, восемь и девять, девять и девять, девять и десять, десять и десять. Эти 11 случаев не следует растягивать на длительный период изучения. Сначала можно на од-ном-двух занятиях поупражнять детей в счете до семи, а затем перейти к счету в пределах девяти и, наконец, в пределах десяти. Ведь при счете в пределах десяти будут повторяться все промежуточные случаи. Задача же первых занятий состоит в том, чтобы показать на основе сравнения множеств, выраженных смежными числами, сам принцип образования следующего за числом п числа как п + 1, и любого предыдущего числа как n— -1, т. е. практически познакомить детей с принципом построения натуральной последовательности чисел.

Поэтому на подобных занятиях используются по-прежнему две полоски, на которых раскладываются равномощные или не-равномощные множества. Например, разложив на верхней и нижней полосках по семь кружков, Мара передвигает один из кружков с нижней полоски на верхнюю и говорит: «Теперь здесь больше — здесь восемь, а на нижней (считает) шесть».— «Сколько же надо добавить на нижнюю полоску, чтобы на ней стало столько же, сколько сейчас у тебя на верхней?» — «Семь и восемь»,— говорит девочка, имея в виду отсутствующие два кружка. «Что же, ты добавишь сразу семь кружков, а затем еще восемь?»— «Нет, что вы! Только два. Вот посмотрите: это — семь, а это — восемь».— «А сколько же всего у тебя на каждой полоске, когда ты добавила внизу два кружка?» — «По восемь кружков, поровну».

Ответ: «Добавить семь и восемь» — показывает, что у детей еще не отдифференцировалось понятие количественного значения числа от порядкового; называя количественные числительные семь и восемь, они придают им смысл порядковых, имея в виду, что надо прибавить седьмой и восьмой.

Воспитательница может предложить подумать, какое будет число, если к восьми кружкам добавим еще один кружок? Отвечая, ребенок должен обязательно практически проверить правильность своего ответа. Допустим, он прибавляет на верхней полоске один кружок, пересчитывает множество и убеждается, что ответ его был правильным. Затем он с левого конца ряда передвигает один кружок на нижнюю полоску, и на ней оказывается девять кружков, а на верхней остается восемь кружков.

Такие практические упражнения создают основу для понимания взаимно-обратных отношений. Эти знания могут закрепляться при проведении различных вариантов занятий, на которых предлагается сосчитать количество предъявленных предметов, а самим детям взять на один больше или на один меньше, разложив предметы друг под другом, чтобы сразу было видно, где больше, где меньше.

Воспроизведение множеств по устно названному числу.

На следующих занятиях дети сами отсчитывают из большего количества указанное им число предметов. «Миша принесет семь лодочек, а Ира — восемь петушков»,— дает задание воспитательница. Предварительно она объясняет детям, что они должны запомнить, кому сколько чего принести, а отсчитав, не забыть количество предметов. На вопрос воспитателя: «.Сколько же петушков ты принесла?» — Ира должна ответить без повторного счета: «Я принесла восемь петушков».

Можно предложить детям и такое задание, когда требуется запомнить количество предметов, их цвет и пространственное расположение. Например, воспитательница предлагает положить слева от себя шесть зеленых треугольников, а справа от себя четыре красных треугольника. Затем дети рассказывают, каких сколько и где лежат. «А что еще можно о них сказать, если ты не знаешь, где сколько?» — «Слева у меня множество зеленых треугольников, а справа множество красных треугольников».— «А нельзя ли эти множества объединить в одно? Что тогда можно сказать про это множество?» Дети объединяют обе группы треугольников и говорят, что у них одно множество треугольников. Но это множество состоит из двух частей: одна часть — зеленые треугольники, а другая часть — красные треугольники. Воспитательница предлагает припомнить, сколько треугольников входит в состав красных и сколько в состав зеленых.

Что должны сообразить дети, выполняя такое задание? То, что перед ними два множества, которые м о г yj быть объединены в одно, состоящее из двух частей, при этом каждая из них обладает своим цветом; а также помнить о связи количества с цветом треугольников и о месте расположения каждой из групп (справа или слева).

По мере упражнений все связи числа с предметом, его цветом, пространственным расположением предметов становятся привычными для детей, и количество ошибок при выполнении заданий постепенно уменьшается. В значительной степени этому помогает громкое проговаривание (самоотчет). Выполнение задания должно сопровождаться опросом нескольких детей. Надо учитывать, что детям не сразу удается рассказать, что они сделали, поэтому можно помочь наводящими вопросами, например: «Какого цвета и сколько треугольников у тебя лежит справа?», «А слева какого цвета треугольники и сколько их?» и т. д.

Рис. 14.

Обучение счету при разном пространственном расположении предметов.

В старшей группе вполне можно варьировать расположение предметов. Дети должны научиться считать предметы «по кругу», по вертикали, в виде числовой фигуры и расположенные неопределенной группой (рис. 14). Важно при этом обратить их внимание на то, что необходимо запомнить, с какого предмета они начали счет, чтобы не сосчитать дважды один и тот же предмет и в то же время не пропустить ни одного. Целесообразно поэтому постепенно усложнять пространственную форму расположения элементов множества, например, в виде вертикального ряда, по наклонной линии. Дети склонны принимать за точку отсчета тот предмет, который расположен ближе к ним. Можно предложить детям посчитать о г себя (снизу вверх и сверху вниз), доказав этим, что результат будет один и тот же, потом также посчитать и по наклонной линии. При горизонтальном расположении целесообразно посчитать слева направо (как делали до сих пор), а также справа налево. Далее детям можно предложить посчитать количество кружков при разном расположении их в числовой фигуре. Показав различные способы сосчитывания, следует обсудить с детьми наиболее удобный из них. Воспитательница подчеркивает, что считать можно в любом направлении, лишь бы не пропустить какой-либо элемент множества.

Обучение пониманию значения числа как показателя определенного класса множеств.

В старшей группе продолжается дальнейшее развитие понимания числа как показателя, отражающего определенный класс множеств. Этому могут способствовать различные приемы, используемые на занятиях. Например, воспитательница предлагает взять три-четыре вида различных предметов, но в равном количестве, показать это равенство практически, разложив предметы рядами друг под другом.

Аналогичное занятие может быть проведено таким образом: на двух-трех столах дети раскладывают игрушки в равном количестве: на одном — по шесть, на другом — по восемь, на третьем — по десять (в выполнении этого задания может участвовать сразу несколько детей). Сопоставив число игрушек на своих столах, дети приходят к обобщению, что каждого вида игрушек на данном столе независимо от их характера по восемь. Число, обобщающее эти множества, конкретизируется: восемь петушков, восемь елочек, восемь курочек, восемь машин, восемь квадратов, восемь треугольников, восемь кубиков и т. д.; все игрушки разные, но всех их по восемь. Обобщение предметов по их количеству выступает в единстве с конкретизацией.

Таким образом, дети учатся абстрагировать число на основе взаимно-однозначного соответствия элементов равномощных множеств.

Это обобщение может и должно быть увязано с представлением о множестве. «А что мы можем сказать про все игрушки, стоящие на этом столе?» — спрашивает воспитательница. «На столе много разных игрушек».— «А кто догадается точнее сказать?» — «На столе много игрушек».— «Правильно. Что же можно еще сказать про данное множество?» — «Множество игрушек состоит из разных частей, разных видов игрушек. Там, где стоит по восемь игрушек в каждом ряду, всего семь частей,— считает ребенок ряды разных игрушек.— Все части равные, в каждой из них по восемь игрушек».

В данном ответе отражается понимание того, что единое множество может состоять из ряда частей и что все части могут быть выражены числом.

А это значит, что число для ребенка становится показателем мощности множества.

При варьировании подобных занятий задания могут быть разные. Например, детям, сидящим за одним столом, предлагается взять три вида игрушек по семь штук, а сидящим за Другим столом — по шесть и т. д. Здесь общий интерес поддерживается разными ответами детей каждой из групп. Но может быть и такой вариант, когда каждый ребенок получает индивидуальное задание. В этом случае у детей, сидящих за одним столом, задания разные. (Воспитательница заранее намечает, кому какое задание она даст.) При таком варианте занятия каждый ребенок должен запомнить указанное ему число и совершенно самостоятельно выполнить задание. Важно и на этих занятиях направлять внимание детей на связи между множеством и числом.

При другом варианте занятия на обобщение детям раздаются карточки с разным количеством нарисованных на них предметов, например восемь вишен, семь ягод малины, шесть огурцов, шесть помидоров и др. Наборы карточек у детей разные. Задача состоит в том, чтобы научить детей ориентироваться в этих количествах, запомнить и быстро поднимать карточки, на которых количество предметов соответствует количеству предметов, нарисованных на карточке воспитателя. Педагог показывает карточку с нарисованными геометрическими фигурами, например с шестью кругами, и предлагает детям поднять карточки с таким же количеством предметов. Если шесть предметов изображено на нескольких карточках, ребенок должен поднять все эти карточки (дети, не имеющие карточек с данным количеством, рук не поднимают). Поднятые карточки передаются соседу, который проверяет правильность ответа. Если у рядом сидящих детей имеется такое же количество, они тоже обмениваются своими карточками. Проверенные карточки откладываются в сторону нижней стороной вверх. Задание дается на другое число и проверяется так же. В конце воспитательница выясняет, у кого какие карточки остались незамеченными, чтобы дополнительно поупражнять этих детей. Об отложенных в сторону карточках, сгруппированных по признаку числа, дети рассказывают: «У нас три карточки, по шести предметов каждая: шесть помидоров, шесть огурчиков, шесть листьев березы и т. д.», «А у нас четыре карточки, по четыре предмета каждая: четыре желудя, четыре листа клена, четыре мяча, четыре вишни и т. д. Предметы разные, но их всех по четыре» (см. приложение 2).

Подобным способом описания дети овладевают постепенно: вначале они ограничиваются лишь названием игрушек и указанием их количества, обобщение же делает сама воспитательница или помогает делать его детям наводящими вопросами. Чтобы ответы детей не были шаблонными, вопросы нужно варьировать, например: «Из каких частей состоит множество всех твоих карточек и сколько частей в твоем множестве? По скольку предметов на каждой карточке? Что можно сказать про все эти ряды множеств?» и др.

Итак, на занятиях данного вида дети наглядно знакомятся с равномощностью множеств, выраженных одинаковым числом; объединяют эти множества в одно общее, подсчитывают количество его частей. В процессе упражнений углубляется понимание детьми множества, а также значения числа как показателя мощности определенного класса множеств.

Изучение количественного состава числа из единиц.

Следующая группа занятий связана с изучением новой программной задачи — количественного состава числа из единиц. Надо не только показать детям, что всякое множество состоит из отдельных элементов (конкретных предметов или групп), но и разъяснить им отношение числа к единице, т. е. подчеркнуть количество единиц в числе.

Состав множества из отдельных элементов особенно нагляден, когда каждый элемент отличается от другого каким-либо признаком (цветом, размером, предметным содержанием и др.).

На начальных этапах множество для счета предлагалось однородным по качественным признакам, например восемь красных флажков. Но дети уже сами составляли множество из разнородных предметов (мишка, лошадка, кубик, заяц — это множество игрушек). На последующих этапах (в средней группе) детей знакомили с множеством как целым, но состоящим из разных частей, а в старшей группе — с объединением отдельных частей з единое целое. Дети научились уже дифференцировать элементы множества, правильно считать их. Теперь надо особо подчеркнуть отношения между единицей и числом, пока зать, что, например, число пять состоит из одного, еще одного, еще одного, еще одного и еще одного. Сделать это надо на конк-ректных множествах, например: пять флажков разных цветов; пять треугольников разного размера; пять разных игрушек — петух, мишка, утка, собака, гусь. Сначала дети считают эти множества, но воспитательница обращает их внимание на количественный состав, предлагает назвать количество и цвет каждого флажка, или размер каждого треугольника, или количество каждого вида игрушек. Пересчитав пять флажков, ребенок указывает, как составлено это пять, подчеркивая количественный состав: один — красный, один — синий, один — зеленый, один — желтый, один — голубой, а всего пять.

В дальнейшем дети сами составляют множества из разных предметов, определяют их состав. Следует обратить внимание на то, чтобы дети называли не только предметы, но и количество их: «Я взяла четыре игрушки: одного лебедя, одну черепаху, одну тарелку, одну рыбку».

На одном из занятий можно предложить детям по названному числу нарисовать множество из разных предметов. Однако, увлекаясь самим рисованием, дети часто забывают о количественных отношениях предметов, которые они должны отразить в своем рисунке, забывают то число, в соответствии с которым они должны нарисовать элементы множества. Поэтому включать счет в изобразительную деятельность надо лишь тогда, когда в основном дети овладели счетом. В противном случае преждевременное соединение двух сложных комплексных раздражителей может вызвать торможение неокрепших счетных связей.

Наблюдения за детьми и анализ их ошибок при изучении количественного состава числа из единиц показывают, как дети по-новому подходят теперь к тому же множеству. «Как получилось у тебя четыре?» — спрашивает воспитательница. Абстрагируясь от всех качеств предметов, ребенок отвечает: «Один, еще один, еще один и еще один». И хотя он еще опирается на предметы, находящиеся перед его глазами, сейчас его интересует лишь количественная сторона. Выделенные им элементы множества как бы абстрагируются в единицы, которые, суммируясь, составляют число четыре. «Сколько же ты взял разных игрушек, чтобы составить число четыре?» — спрашивает воспитательница, чтобы вернуть ребенка от абстракции числа к конкретному множеству и этим более прочно закрепить связи. «Я взял четыре разные игрушки: одного петуха, одного гуся, одну курицу, одну утку».

Важно, изучая количественный состав числа из единиц, подчеркнуть еще раз, что единица не есть отдельный предмет, а может быть отражением и целой группы. Воспитательница показывает детям множество кружков разного цвета, предлагая им определить количество частей в нем. Дети говорят, что данное множество составлено из пяти частей. «Назовите цвет и количество частей данного множества».— «В данном множестве пять частей разного цвета: одна часть — это красные кружки, одна — синие, одна — желтые, одна — зеленые и одна оранжевые кружки. А всего пять частей».— «Из скольких единиц состоит число пять?» — «Из пяти отдельных единиц».— «Что же может отражать единица?» — «Она может отражать один отдельный предмет или одну группу предметов»,— отвечают дети.

В итоге нескольких занятий дети усваивают количественный состав числа из единиц; уясняют, что число отражает соответствующее количество единиц, убеждаются, что число является показателем мощности множества. «Составьте мне множество из четырех частей»,— предлагает воспитательница. «Одна часть — ромашки, одна часть — васильки, одна часть — лютики и одна часть — гвоздики; а всего четыре части»,— говорят дети.

Механизм формирования этих отношений состоит из образования ряда ассоциаций. «Когда образуется связь,— говорит И. П. Павлов,— т. е. то, что называется «ассоциацией», это и есть, несомненно, знание дела, знание определенных отношений внешнего мира, а когда вы в следующий раз пользуетесь ими, то это называется «пониманием», т. е. пользование знаниями, приобретенными связями — есть понимание» .

Строго дозируемая, последовательная система занятий создает условия для постепенного образования все новых и новых связей, формирующих знания детей. Развитие этих знаний идет от образования элементарного представления о множествах и понимания их взаимосвязей к пониманию числа как показателя мощности множества.

Изучение взаимно-обратных отношений между смежными числами на основе сравнения множеств.

Следующая программная задача — знакомство на основе сравнения не только с равно-мощностыо и неравномощностью множеств и их взаимообразованием, но и с отношениями между смежными числами. Изучая состав числа из единиц на конкретном материале, дети овладели количественной дифференцировкой — основной базой для понимания связей и отношений между смежными числами.

Установление связи — это определение последовательности чисел (одного за другим) в прямом и обратном порядке, знание того, какое из чисел больше какого, какое меньше какого. Отношения между смежными числами — это уже точное понимание, на сколько одно число больше или меньше другого.

Сначала у детей устанавливаются ассоциативные связи по смежности между словами-числительными; в процессе обучения сравнению множеств они дополняются конкретными представлениями, позволяющими определить, что одно число больше, а другое меньше, и практически, действенно устанавливать равенство и неравенство между численностями множеств. Эти знания и умения дети приобретают в средней группе. В старшей группе, обучаясь счету до десяти, они также должны усвоить на практическом материале, какое из смежных чисел больше, а какое меньше какого (девять больше, чем восемь, а восемь меньше, чем девять). Но это начальная стадия понимания связей, когда в процессе счета усваивается только последовательность чисел (сначала восемь, потом девять). Дети же старшей группы должны подняться до понимания отношений между смежными числами. Как это можно сделать?

Опираясь на умения сопоставлять элементы сравниваемых множеств, дети должны научиться сначала практически из неравенства делать равенство и, наоборот, из равенства делать неравенство. Например, на верхней полоске у них расположены семь кружков, а на нижней восемь кружков. Дети видят, что там, где восемь кружков, их больше, а где семь кружков, их меньше. Сначала дети усваивают, что восемь больше, а семь меньше.

Но ведь понятия больше — меньше — относительные. Всегда ли число восемь больше, а семь меньше? Этот вопрос следует сделать предметом детского внимания и осмысливания: «Восемь больше чего?» — «Восемь больше семи».— «Семь меньше чего?» -— «Семь меньше восьми».— «А как сделать, чтобы на обеих полосках было поровну?» Дети вновь задумываются. Потом обычно слышен ответ: «Надо добавить». Но этот ответ неточный: надо сказать, куда добавить, к чему добавить. «Если к семи кружкам добавим один кружок, то станет восемь кружков и на верхней полоске».— «Это правильно, но из этого должен следовать вывод, с каким числом мы сравниваем число восемь. Подумайте, восемь больше какого числа?» — «Восемь больше семи»,— отвечают дети. «А какого числа восемь может быть меньше?» Снова работает мысль детей: «Девяти, девяти»,— слышны голоса.

Воспитательница возвращает детей к выложенным на полосках кружкам. «Вы правильно сказали, что восемь больше семи. А как получить равенство кружков на обеих полосках?» — «Мы к семи кружкам добавили еще один кружок, и на верхней полоске стало тоже восемь кружков»,— говорят дети. «Если восемь больше семи, то что можно сказать про число семь?» — задает новый вопрос воспитательница. Если дети затрудняются с ответом, она добавляет: «Семь меньше какого же числа?» — «Числа восемь»,— отвечают дети. «Вот теперь и повторите все про числа семь и восемь»,— предлагает воспитательница. «Число семь меньше восьми, а число восемь больше семи»,— говорят дети, выражая отношения между этими числами, но не называя еще разности между ними.

Следует отметить, что формулировка «меньше восьми», «.больше семи» не сразу дается детям. Они чаще выражают эту мысль так: «Шесть больше чем пять» или «Семь меньше чем восемь». Это допустимо, но в такой формулировке отражаются всего лишь внешние связи, а не отношения. Известно, что сначала число воспринимается детьми как абсолютное понятие, а не как относительное. Поэтому они и говорят так: «Семь позже, а шесть раньше, значит, семь больше», т. е. делают вывод на основе внешней последовательности чисел. В старшей же группе дети должны понять относительное значение выражения больше— меньше. Для этого надо раскрыть им отношения: какие из чисел больше каких и обратно — какие из чисел меньше каких. Эти отношения должны подчеркиваться и в формулировках: «Семь больше шести, а шесть меньше семи».

В тех же случаях, когда ребенок по-прежнему говорит: «Восемь больше, а семь меньше», воспитательница не сама попраз-ляет его, а, обращаясь к детям, спрашивает: «А какого числа больше, как точнее надо сказать?»

Таким образом, добиваясь более четкой формулировки, воспитательница стремится не просто к усвоению детьми новой структуры предложения, как нередко полагают, а к отражению в речи отношений между числами.

Далее постепенно можно подвести детей к практическому установлению разностных отношений между смежными числами.

Опыт показал, что для этого надо раскрыть при сравнении множеств значение слов лишний, не достает. Создавая равно-мощные множества из неравномощных, дети должны уяснить, что, если в множестве четыре предмета, а нужно, чтобы осталось три, следует один предмет убрать, он лишний; если, наоборот, в множестве три кружка, а нужно, чтобы было четыре, надо один кружок добавить, одного не хватает. На разных множествах, выраженных смежными числами, дети устанавливают равенство, пользуясь двояким путем: или добавляют один к меньшему числу, или отнимают один от большего числа. Эти взаимно обратные отношения, прочно усвоенные детьми, должны быть отражены в р е ч и: «Восемь больше семи, поэтому если от восьми отнимем один, получится семь, будет поровну; но можно сделать и по-другому: семь меньше восьми, здесь не хватает одного, поэтому если к семи прибавим один, то будет в обеих группах по восемь, поровну».

Теперь детям нетрудно ответить и на вопрос о разностных отношениях между смежными числами. «На сколько же число восемь больше семи?» — «Число восемь больше семи на один».—• «На сколько число семь меньше восьми?» — «Число семь меньше восьми на один»,— отвечают дети.

Итак, понимание взаимно-обратных отношений между смежными числами формируется у детей не сразу и требует последовательного обучения.

С какими ошибками мы встречаемся в практике? Часто при сравнении конкретных множеств дети говорят: «Восемь больше, а семь меньше».— «На сколько восемь больше, чем семь?» —• «На один». А нередко можно слышать и такой ответ: «Восемь больше на один». Это обусловлено тем, что вопросы и ответы опираются на наглядный материал, и воспитательница полагает, что такой ответ верен, поскольку все очевидно. Но за по-дйбным ответом кроется непонимание отношений между числами. Дети привыкают к тому, что иначе не бывает: всегда ил:1 больше на один, или меньше на один (поскольку детям дошкольного возраста раскрываются взаимно-обратные отношения лишг» на смежных числах). Поэтому при недостаточном внимании воспитательницы к точности формулировок детей у них складываются ошибочные представления.

Приведем пример занятия. Дети разложили на двух полосках пять кружков и шесть треугольников. На вопрос, какое число меньше или больше какого, Роза отвечает: «Шесть больше, а пять меньше».— «Все ли поняли, какие числа больше или меньше каких?» — «Ничего не поняли»,—«Что забыла сказать Роза?» — «Она забыла сказать, что пять меньше шести, а шесть больше пяти».—«Правильно, Роза не сравнила эти числа и не сказала, число пять меньше какого числа. А кто сможет ответить, на сколько число пять меньше шести?» — «Число пять меньше шести на один»,— отвечает Леша. «Докажи это детям, Леша». Леша идет к таблице с двумя полосками, висящей возле стола воспитательницы, раскладывает пять кружков на верхней полоске и шесть треугольников на нижней, устанавливая между ними соответствие, затем говорит: «Вот пять кружков, их меньше, чем шесть треугольников. У пяти кружков не хватает одного кружка, чтобы их было столько же, сколько треугольников. Мы можем сделать поровну кружков и треугольников по-разному: если к пяти кружкам мы добавим один кружок, то станет их шесть, столько же, сколько треугольников. Но можно сделать по-другому, мы от шести треугольников отнимаем один, и станет их пягь, столько же, сколько кружков; на обеих полосках станет по пять, поровну»

Такой ответ с доказательством. К этому и следует приучать детей, развивая у них логическое мышление.

Одновременно можно предложить детям сравнить число пять с числом четыре. Это покажет детям, что число пять не только меньше шести, но и больше четырех, т. е. что одно и то же число может быть «больше» и «меньше», в зависимости от того, с каким числом мы его сравниваем.

Когда дети прочно усвоят отношения между смежными числами, вполне допустимо давать и более сложные задания на разностное сравнение смежных чисел без наглядного материала. «Какое число больше какого, а какое меньше какого, если я назову девять и восемь?» — спрашивает воспитательница. «Число восемь меньше девяти на один, а число девять больше восьми на один».— «А что надо сделать, чтобы получить равенство?»— задает новый вопрос воспитательница. «Надо от числа девять отнять один,— говорит Коля,— и будет тогда в обоих множествах по восемь, поровну. А можно и по-другому сделать— к восьми добавить один, будет в обоих множествах по девять, поровну».— «Пойди, Коля, покажи это». Коля показывает то, о чем только что говорил.

Чтобы дети думали, прежде чем ответить, а не просто механически повторяли заученную фразу, целесообразно иногда предлагать условия, когда разность будет выражаться не числом один, а, например, числом два. «Я назову числа шесть и восемь, а вы подумайте и скажите, какое из них больше, какое меньше другого и на сколько?» Порой дети склонны дать неверный ответ, но, доказывая на наглядном материале, они сами обнаруживают свою ошибку. «Я ошибся,— говорит Миша,— шесть меньше восьми на два, а я сказал на один. Я плохо подумал» и т. д. Подобным примером воспитательница подводит детей, с одной стороны, к усвоению многообразия отношений между числами, а с другой — приучает вдумываться в эти отношения, а не давать механический ответ.

Важно показать детям, что одно число больше или меньше другого, не только на отдельных предметах, но и на множествах, в состав которых входит несколько частей. Например, одно множество геометрических фигур составлено из пяти частей (квадратов, кругов, треугольников, овалов, трапеций), а другое — из четырех частей (квадратов, кругов, треугольников, овалов). Сравнивая количество частей множеств, дети приходят к выводу, что и в данном случае число пять больше четырех, а число четыре меньше пяти. Так дети приходят к выводу: чем бы число ни было выражено — отдельными ли предметами или группами, оно всегда больше п р е д ы д у щ е го числа и меньше последующего на единицу.

Все эти наблюдения и практическое сравнение элементов двух множеств формируют у детей устойчивое понимание количественных отношений между смежными числами. Число пять в сознании ребенка больше числа четыре теперь не только потому, что оно дальше при назывании его от единицы, но и потому, что в нем большее количество единиц (элементов множества), чем в числе четыре.

Число характеризуется двумя признаками: количеством и порядком, и тот и другой признак должны усвоить дети.

В старшей группе не следует сразу добиваться устного ответа на вопрос, на сколько то или иное число больше или меньше другого («На сколько восемь больше семи?» и наоборот: «На сколько семь меньше восьми?»). Прежде чем ответить на этот вопрос, дети должны наглядно и многократно видеть нера-вномощность двух множеств и научиться действенно устанавливать равенство числа элементов в них, а затем все объяснять. Только тогда приведенные выше вопросы станут им понятны и они дадут обдуманный, усвоенный ими на наглядном материале ответ.

Приведем еще некоторые варианты занятий. В целях разнообразия деятельности и ответов детей предлагаются индивидуальные задания: одни должны определить отношения между числами три и четыре, другие — между числами шесть и пять, третьи — между десятью и девятью и т. д. На выбор предлагаются и разные геометрические фигуры для выкладывания на полосках: одни берут круги и овалы, другие — трапеции и квадраты, третьи — прямоугольники и треугольники и т. д.

Задания даются в соответствии с уровнем подготовки детей. Выполнившие задание громко рассказывают, что они сделали и какое число больше или меньше какого и на сколько.

Так постепенно на конкретном материале сравниваются все изучаемые детьми числа не только первого, но и второго пятка.

Знания закрепляются на разных группах предметов, что убеждает детей в постоянстве отношений между числами (пять грибков, пять елок, пять конусов, пять трапеций и т. д. всегда меньше по численности шести кружков, шести квадратов, шести овалов-, шести рыбок, шести елок).

Учитывая, что понятие больше — меньше не абсолютное, а относительное, необходимо следить за ответами детей, чтобы в них были названы обе зависимости (9 > 8, а 8 < 9) и указано, что надо сделать, чтобы получить равенство чисел.

Подобное сравнение чисел и определение их отношений следует начинать с чисел два и три. При сравнении смежных чисел разность всегда будет равна числу один. Поэтому нецелесообразно начинать обучение сравнению на числах один и два, так как число один еще непрочно усвоено детьми как число и часто сливается еще с понятием предмета в единственном числе. Ребенку доступнее увидеть и понять разностные отношения на единицу между другими числами, чем между один и два.

Итак, лишь в результате разнообразных упражнений в сравнении смежных чисел на конкретном материале у детей формируется понимание отношений между ними сначала на основе практического умения составлять из неравномощных множеств равномощные путем добавления или удаления одного предмета, а на этой основе и понимание взаимно-обратных разностных отношений между самими числами.

Счет при участии различных анализаторов.

Дети должны отчетливо представлять, что множества в окружающей жизни представлены разнообразно и мы воспринимаем их различными органами чувств. Упражняя детей в счете на слух, по осязанию и т. д., мы не только тренируем сами анализаторы, но и обеспечиваем одновременно развитие межанализаторных связей в коре головного мозга. Счетная деятельность обобщается, становится применимой в любых условиях, ибо формируется системность в деятельности коры головного мозга. У детей образуется динамический стереотип счетной деятельности, который позволяет отвечать адекватными реакциями на самые различные комплексные раздражители.

В работе с детьми старшей группы воспитатель использует те же приемы счета, что и в средней группе.

Порядковый счет и изучение порядковых числительных.

Новой задачей в старшей группе является обучение детей различению порядковых и количественных числительных, вопросов «сколько?», «который?», «какой?» и умению правильно отвечать на них. Обычно дети в своей повседневной речи уже пользуются порядковыми числительными, но четкого представления об отличии их от количественных у детей нет. Еще в I классе можно услышать, как дети, отвечая на вопрос учительницы: «Какое число мы вчера с вами изучали?», отвечают: «Первое». Значит, они не понимают отличия между числом один и порядковым числительным первый; для детей эти слова ы-синонимы. О непонимании различий между количественными и порядковыми числительными свидетельствуют и такие ответы детей-дошкольников: «Какое число больше, семь или шесть?» — «Семь».— «На сколько семь больше шести?» — «На семь»,— отвечает ребенок, хотя практически правильно показывает, что в множестве, состоящем из семи предметов, один предмет лишний. Говоря «На семь больше», ребенок имеет в виду, что там, где семь, имеется один лишний. И этот лишний понимается им как седьмой, а именуется как семь.

Поэтому весьма важно объяснить детям значение количественных и порядковых числительных. В теории арифметики указывается, что «количественное число есть понятие, о некотором классе равномощных между собой множеств...» «Порядковое натуральное число... «сть не что иное, как общее абстрактное понятие о порядковом месте элемента в расположенных совокупностях некоторого определенного типа (последовательностях)». Воспитатель должен четко знать эти отличия и уметь просто объяснить их детям.

В этих целях могут быть проведены различные занятия. Вот одно из них.

Воспитательница ставит на подставку (на стол) 10 разных по цвету флажков. Сначала определяют цвет каждого флажка, пересчитывают общее количество их (всего 10 флажков). Воспитательница указывает, что, считая один, два, три и т. д., мы узнаем о количестве всех флажков. Но как узнать о каждом из флажков? На котором месте он стоит среди других флажков? Для этого надо тоже считать, но по-другому: первый, второй, третий, четвертый, пятый и т. д. Считают, например, на котором месте стоит последний, розовый флажок. Дети узнают, что, занимая десятое место среди остальных флажков, он называется десятым флажком. Несколько раз меняется цвет последнего флажка, и дети, считая, учатся при этом пользоваться порядковыми числительными.

Воспитательница подчеркивает разницу при ответах на вопросы «сколько?» и «который?». Когда ставят вопрос «сколько?», ,\отят узнать общее количество флажков, а когда ставят вопрос «который?», то имеют в виду один флажок, хотят выяснить, на каком по счету месте он стоит среди других флажков.

Воспитательница, упражняя детей, ставит разнообразные вопросы: «На каком месте, считая слева направо, стоит коричневый флажок?, Какой по счету красный флажок?, Сколько всего флажков в ряду?, Какого цвета третий флажок?» и т. д. Дети учатся различать значение разных вопросов и правильно на них отвечать.

Знания, полученные на одном занятии, должны быть закреплены на других, которые различаются или по методическим приемам, или по материалу.

Например, дети выкладывают в ряд 10 кружков одинакового цвета. Воспитательница предлагает заменить указанный кружок кружком другого цвета, для чего дополнительно дает его детям. «Сколько всего кружков?» — спрашивает воспитательница. «Десять»,— отвечают дети. «Замените третий слева красный кружок зеленым. Теперь скажите, который кружок зеленый». Данное занятие может быть усложнено предложением любые красные кружки заменить зелеными (например, третий, пятый, седьмой). Затем дети подсчитывают количество зеленых и красных кружков, называют кружки, которые остались красными или стали зелеными. Так постепенно дети начинают понимать, что при вопросе «сколько?» они имеют дело с количественным числом, а при вопросе «который?» — с порядковым. В зависимости от вопроса изменяется и характер счета. Отвечая на вопрос «который?», дети считают, пользуясь порядковыми числительными, а отвечая на вопрос «сколько?» — количественными числительными.

Необходимо дифференцировать значение вопросов «какой?» и «который?» «какой по счету?» Вопрос «какой?» имеет в виду качество предмета, а «который?» — место положения предмета в ряду.

Воспитательница обращает внимание детей также на то, что для нахождения места в ряду следует всегда указать направление, например, считать слева направо или справа налево. В зависимости от этого порядковое число изменяется; например, если среди 10 кружков при счете слева направо кружок будет восьмым, то при счете справа налево он же становится третьим.

Когда же нужно определить общее количество предметов, тогда безразлично, в каком направлении ведется счет: справа налево, слева направо или от середины к концам.

Некоторое время порядковый счет составляет основную, главную задачу занятий, проводимых еженедельно. Когда же он будет в основном усвоен, ему может быть отведена какая-то часть занятия для закрепления. Как и каждая другая программная задача, порядковый счет должен повторяться на протяжении всего года, хотя интервалы между занятиями для повторения одной и той же темы могут становиться все более продолжительными.

Ознакомление детей с делением целого на равные части

Выше указывалось, как можно научить детей выделять в множестве его части. (В множестве флажков: одна часть флажков красного цвета и одна часть желтого цвета. В множестве две части.) В дискретном множестве отдельные части выделялись по тому или иному признаку легко и могли быть равными и неравными по численности. Но на части можно разделить и целый, казалось бы неделимый, предмет, например яблоко, апельсин, пряник, печенье, веревку, полоску бумаги и др. В таких случаях часто стремятся, чтобы части были равными (одинаковыми).

Если мы сложим полоску бумаги сначала пополам, а затем еще раз пополам, то, разогнув ее, увидим четыре части. Если длинную веревку мы сложим трижды пополам и сосчитаем после атого количество ее частей, то их окажется восемь и т. д.

Во всех случаях деления целого на части следует обращать внимание детей на то, что делить уславливаемся на равные части, что часть меньше целого, а целое больше каждой своей части.

Возьмем, например, кружок, сложим его пополам, получим две части, а если еще раз сложим пополам, будет четыре части. Точно так же квадрат делится пополам,— получается две части, каждая из которых будет уже не квадратом, а прямоугольником. А если квадрат сложить дважды пополам, получим четыре части, причем каждая из них тогда будет малым квадратом. Но квадрат можно сложить пополам и иначе — по диагонали и получить два равнобедренных треугольника, а если еще раз сложить пополам эти треугольники, получим четыре меньших равнобедренных треугольника.

Так, складывая, но еще не разрезая разные предметы, дети сами делят их на части, определяя количество равных частей в целом.

Результаты практических упражнений дети отражают в речи: «Я сложил квадрат пополам и получил две части — два прямоугольника; я сложил еще раз пополам и получил из квадрата четыре равные части — четыре маленьких квадрата» (развертывая, ребенок считает и показывает эти части).

В итоге всех этих упражнений дети могут быть подведены к выводу, что каждый раз при делении пополам получаются две равные части, а если эти две равные части еще раз разделить пополам, то получаются всегда четыре равные части.

Но можно разделить целое не только путем складывания, но и разрезания на части, как это делается с яблоком, грушей, пряником, хлебом и др.

Однако при изучении деления целого на части начинать надо со складывания, а не с разрезания. Дело в том, что при разрезании часть воспринимается детьми как самостоятельно существующий объект, как отдельность, независимая от целого. Ведь из четырех частей снова целое яблоко не создать, его «не склеишь»,— говорят дети.

Исследование показало, что и название одна четвертая часть или одна третья часть своеобразно понимается детьми. Дети, пересчитывая четыре части яблока (печенья, пряника, разрезанного на четыре части квадрата, и др.), слова одна четвертая соотносят лишь с последней частью яблока, не зная, как называются другие части. Когда воспитатель предлагает проверить, равны ли все части, оказывается, что они не знают, в чем должно состоять это равенство. Некоторые дети устанавливают равенство между количеством частей путем взаимно-однозначного соответствия. Они находят равенство при четном количестве частей и отрицают его при нечетном (при делении на три части).

При делении путем складывания пополам и еще раз пополам (на четыре части) дети видят части, принадлежащие целому. На следующем этапе эти части могут уже разрезаться, но обязательно восстанавливаться вновь в целое, путем наклеивания. И наконец, лишь на следующем этапе части восстанавливаются в целое без жесткой фиксации, т. е. путем складывания.

Материалом для деления целого на части на первых этапах могут служить геометрические фигуры из бумаги — круги, квадраты, прямоугольники разных размеров, т. е. то, что можно складывать (сгибать).

Понимание детьми простейших отношений между частью и целым и умение правильно соотносить слова «половина целого» (или «одна вторая часть целого»), «одна четвертая часть целого» создает возможность перейти уже к делению целого яблока, печенья, пряника и других предметов на равные части путем их разрезания.

Последовательность обучения должна быть именно такой, хотя, может быть, разрезать яблоко на части детям интереснее и проще, чем делить квадрат. Но задача обучения состоит не в самом процессе разрезания, а в формировании понимания отношений между частями и целым, в правильном назывании каждой части, равной друг другу («половина», «одна вторая часть», «одна четвертая часть»), и показ этих частей.

Дети уже знают, что, если разрезать яблоко пополам, будут две равные части — две половины. «Что же называется половиной?» — «Половинами называются обе равные между собой части».— «А если яблоко разрезано на две части, но не равные, можно назвать их половинами яблока?» Дети отвечают отрицательно.

Воспитательница просит каждую из половинок яблока разрезать на две равные части. «На сколько же равных частей теперь разрезано все яблоко?» — «На четыре равные части».— «Как будет называться каждая из этих частей?» — «Одна четвертая часть целого яблока». По просьбе воспитательницы дети показывают все части яблока и называют каждую. Далее предлагается соединить все части и сказать, что получилось. Вызванный ребенок охватывает обеими руками четыре части яблока. «Оно как будто склеилось, и получилось снова целое яблоко»,— говорит он. По предложению воспитательницы ребенок раздает части яблока детям и спрашивает, что они получили. «Я получил одну четвертую часть целого яблока»,— отвечает каждый. «Иногда одну четвертую часть яблока называют четвертушкой»,— говорит воспитательница (дети слышали это слово— их посылали в булочную за четвертушкой хлеба). «А что означает четвертушка хлеба?» — «Это, когда буханку хлеба режут на четыре равные части».—«Правильно. А как вы думаете, почему называется половинка буханки?» — «Потому что буханку хлеба делят на две части»,— отвечает Миша. Воспитательница берет круглый хлеб и делит его заведомо на две неравные части. «На сколько частей я разрезала хлеб?» — «На две ча<£-ти». — «А можно ли каждую из этих частей назвать половинкой?» Дети отвечают отрицательно, мотивируя тем, что надо разрезать на две равные части. Они говорят, что ответ Миши был неточным.

На основе деления яблока и буханки хлеба на две и четыре части дети приходят к обобщающему выводу: «Половинкой можно назвать тогда, когда яблоко или хлеб или что-нибудь другое разрезано на две равные части, а четвертушкой, когда яблоко или хлеб или другой предмет разрезаны на четыре равные части» «А если яблоко или хлеб мы разрежем на неравные части, как тогда надо сказать?» — ставит вопрос воспитательница. «Яблоко разрезано на неравные части»,— отвечают дети.

Так жизненный опыт детей уточняется и обогащается знаниями, полученными в процессе обучения.

Детям можно предоставить возможность самим поупражняться в делении предметов (веревка, лента, тесьма и т. д.) на две и четыре равные и неравные части, спросить, что у них получилось (сколько частей, какие это части и как называются). При этом для закрепления связи части с целым следует обращать внимание детей на то, что часть меньше целого, а целое больше каждой своей части.