§ 1. Развитие у детей представлении о множестве

Уже в раннем возрасте у детей накапливаются представления о совокупностях, состоящих из однородных предметов: «Много кукол», «Три кубика», «Пять пальчиков на руке». Эти первые представления начинают обобщаться, отражаясь сначала в пассивной речи детей. Так, исследования показывают, что ребенок 1 года 3 мес. выполняет задание построить «маленький домик» или «маленькие домики», «большой домик» или «большие домики», принести «вагончик» или «вагончики», посадить «цветок» или «цветочки» (Л. Г. Калинина, В. В. Данилова и др.).

Малыш 1 года 6 мес., овладевая активной речью, называет отдельные предметы или их совокупности, пользуясь единственным и множественным числом имен существительных: «Это кубик, это кубики»; «Домик—домики»; «Кукла — куклы»; «Дядя J_ дяди» и т. д. Детей этого возраста привлекают группы однородных предметов (шарики, пуговицы, кольца и др.). Они перебирают их, перекладывают, рассыпают, вновь собирают, раскладывают на столе по горизонтали, в виде кривой линии. Дети любят захватить много предметов в руку и, разжимая пальчики, наблюдать, как они рассыпаются (например, пуговицы). Восприятию множественности предметов, явлений способствует все окружение ребенка — множество людей, знакомых и незнакомых, множество двигающихся перед глазами ребенка предметов (дома, деревья, транспорт), однородно повторяющиеся звуки, т. е. однородные шумы и звуки (тикающие часы, их бой). Разнообразие множественности предметов и явлений ребенок воспринимает различными анализаторами: слуховым, зрительным, кинестетическим и др. Он сам многократно производил однородные движения: бросал из манежа одну и ту же игрушку, стучал ложкой по столу и т. д. Все эти виды однородных действий, впечатлений оставляли следы в коре головного мозга, суммировались. По этому поводу И. М. Сеченов писал: «...Частое повторение так называемых однородных воздействий должно вести за собой обособление той суммы путей, которая соответствует постоянным элементам впечатлений».

Первоначальное формирование представления о множественности предметов и об их отдельности и создает основу для различения детьми единственного и множественного числа имен существительных и прилагательных и раннее усвоение этой грамматической формы при развитии речи.

В математике дается следующее определение понятия множества: «Множество—это совокупность объектов, рассматриваемых как одно целое». Множества рассматриваются как конечные, так и бесконечные. Маленькие дети имеют дело лишь с конечным множеством.

У ребенка па первых ступенях развития представление о множестве еще весьма диффузно: оно не имеет четких границ и не воспринимается элемент за элементом. Такое восприятие характеризует скорее неопределенную множественность, а не множество как структурно-целостное единство; не осознается еще точно и количественная его сторона. Например, ребенок радуется, видя много одинаковых маленьких кукол или разноцветных пуговиц в коробке. Однако, взяв несколько экземпляров, он тут же забывает об остальных. Маленькие дети не замечают также, если число элементов множества уменьшается и часть их исчезает. Этот уровень представления о множественности соответствует использованию в речи окончаний слов в единственном и множественном числе: в них ведь не отражается точный количественный состав.

Представление о неопределенной множественности характерно для детей в возрасте до двух лет. В этом легко убедиться на таких жизненных примерах: ребенку предлагают убрать все кубики в коробку или собрать на столе все ложки и отнести их няне. Ребенок же ограничивается лишь тем, что убирает несколько кубиков или относит несколько ложек и считает задание выполненным («Ты все кубики убрал?» — «Все»,—отвечает он). Слово в-с-е для взрослого означает совокупность множества как структурно-целостного единства, а для ребенка слово все означает некую неопределенную множественность.

Дети трех лет часто уже воспринимают множество в его границах, однако четкое восприятие всех элементов множества еще отсутствует и у них, они не умеют следить за каждым элементом множества.

Отсюда вытекает первый вывод: необходимо у маленьких детей сформировать представление о множестве как структурно-целостном единстве и научить видеть и четко воспринимать каждый элемент множества. Этому и нужно посвятить обучающие занятия в группах детей третьего и четвертого года жизни.

Однако переход от восприятия неопределенной множественности к восприятию множества как структурно замкнутого целого является длительным процессом и имеет несколько этапов. Один из первых — это этап формирования множества как конечного. На этом этапе внимание ребенка сосредоточивается главным образом на «границах множества». Например, ребенку предлагают раздать тарелки всем пяти куклам, стоящим в ряд, или накормить их всех. Ребенок кормит лишь первую и пятую, не обращая внимания на промежуточные между ними. Однако он твердо убежден, что накормил всех. То же самое он делает, когда ему предлагается на карточку с четырьмя нарисованными в ряд грибками наложить грибки. Он закрывает грибками лишь крайние картинки: первую и четвертую, при этом задание свое ребенок считает выполненным полностью.

Подобные факты свидетельствуют, что для детей главным на этом этапе становится восприятие границ множества и действенное их обозначение.

В чем же причина возникшей перед ребенком трудности? Дело в том, что при восприятии множественности ребенок всегда действовал от какой-либо одной точки отсчета, например начинал от середины и раскладывал предметы в обе стороны от нее. Теперь, при восприятии структурно-целостного множества, появились две точки отсчета, и действия его изменились от концов к середине, как показывают наблюдения за движениями его рук и глаз. Изменившийся характер движения свидетельствует о перестройке восприятия множества. Восприятие двух «конечных точек» множества стало главным, существенным для ребенка.

Концентрация внимания детей на границах множества естественно ослабила внимание к восприятию всего состава элементов: остальные элементы множества, кроме конечных, как бы не замечаются детьми.

Отсюда следует вывод: необходимо новое побужден невзрослого, чтобы дети восприняли все промежуточные элементы множества между крайними. Однако это не сразу дается ребенку. Обычно при задании наложить предметы на рисунки, расположенные в ряд, ребенок начинает заполнять всю часть карточки между крайними элементами, не накладывая каждый предмет на рисунок, а тесно прижимая предметы друг к другу, т. е. дети просто заполняют площадь между крайними элементами, а не воспроизводят еще количество элементов. Точности воспроизведения элементов множества не всегда помогает и показ. Это свидетельствует о том, что восприятие количественного состава множества еще весьма диффузно.

Что же касается подражания показу, то известно, что формирование двигательного навыка путем подражания представляет еще большие трудности для маленького ребенка. Недостаточность двигательного опыта, отсутствие необходимых зрительных и кинестетических связей приводят к тому, что зрительные впечатления еще не всегда могут вызвать у детей нужные двигательные ассоциации (А. В. Запорожец, Г. А. Кислюк и другие.).

Очень важно иметь в виду и следующие факты, вскрытые в исследованиях. При восприятии множественности дети исходят в своих движениях из одной точки, чаще всего расположенной центре множественности. Такому восприятию способствует собственная структура тела, в частности сагиттальное направление рук (направо и налево). Дети обычно так и размешают предметы: направо — правой рукой, налево — левой рукой. При восприятии множеста как структурно-целостного единства появляются уже две точки отсчета в движениях рук и глаз: от границ множества к его центру. Помережетого как дети осваивают эта две точки, исчезает необходимость фиксировать их обе. Действие начинается от одной из точек, а вторая уже не обозначается, но ребенок не выходит за границы площади между этими двумя точками. При этом, если начальной точкой становится правая граница множества, действие производится правой рукой справа налево и, наоборот, если начальная точка — левая граница множества, ребенок действует левой рукой слева направо по всему ряду. Подобный стереотип движения складывается с двух-трех лет и сохраняется весьма долго. А поскольку правая рука с возрастом становится все более активной, характер движения правой руки и глаз справа налево становится все более устойчивым. Нередко он сохраняется и в школьном возрасте, о чем можно судить по многим характерным ошибкам в расположении букв в слове мама (ам-ам), в записи арифметических примеров 7 — 9 — 2; ошибки в решении примеров, какие приводятся А. С. Пчелко: 83 — 67 — 24; 52 — 28 =-36; 12 — 8 = 16 и мн. др. «А куда идет работающая рука, туда же идут сведенные друг с другом зрительные оси глаз» ,— пишет И. И. Сеченов.

Отсюда следует вывод: необходимо своевременно формировать движение правой руки и глаз слева направо в соответствии с пространственным расположением нашей письменности.

Своеобразие методике обучения арифметике издавна возвосприятия детьми никал вопрос о роли числовых фигур в формировании числа .

Защитниками числовых фигур, как правило, были сторонники симультанного восприятия множества маленькими детьми. Они доказывали, что целостное восприятие группы доступнее, если кружки расположены не в ряд, а .им придана какая-либо форма (В. А. Лай, Фолькель, Д. Л. Волковский, Л. В, Глаголева, Ф. Н. Блехер и другие).

Каковы же особенности восприятия маленьким ребенком множества, расположенного в ряд или в виде числовой фигуры, и в чем заключается различие?

Исследование этого вопроса показало, что пространственная замкнутость множества в числовой фигуре действительно больше способствует восприятию множества как структурно-целостного единства, чем линейное его расположение. Даже самые маленькие дети, видя на карточке три, четыре, пять нарисованных пуговиц, расположенных в виде числовой фигуры, обычно берут одной рукой горсть пуговиц из коробки и высыпают их на карточку. Более старшие дети пытаются накладывать пуговицы на их изображения, но далеко не всегда в том же количестве; они заполняют и промежутки между отдельными рисунками. Следует отметить, что движения рук и глаз детей иные, чем при воспроизведении линейно расположенного множества. Как правило, дети в данном случае, накладывая пуговицы на рисунки, действуют одной рукой. Если ребенок раскладывает пуговицы правой рукой, он обычно начинает от нижнего рисунка справа и направление его движения идет по кругу против часовой стрелки. Если же раскладывание пуговиц проводится левой рукой оно начинается тоже обычно с нижней пуговицы слева и направление движения идет по часовой стрелке.

Эти особенности движения позволяют считать, что множество, изображенное в виде числовой фигуры, действительно воспринимается детьми как единое замкнутое целое, хотя, как и при линейном расположении, оно не воспроизводится в адекватном количестве. Однако сравнительное сопоставление данных о воспроизведении количества элементов при линейном расположении множества н в виде числовой фигуры свидетельствует о преимуществах линейного расположения. Чем меньше дети, тем большее значение для восприятия количества приобретает линейное расположение множества. Пользуясь приемом наложения пуговиц на рисунки, дети в возрасте 1 года 6 мес.— 2 года точнее воспроизводят множество, расположенное в ряд {75% против 50% при расположении в числовой фигуре). К трем годам эти показатели выравниваются, так как дети усваивают прием наложения.

Итак: расположение элементов в виде квадрата или треугольника действительно способствует симультанному восприятию множества как единого пространственно замкнутого целого, однако эта более сложная форма расположения значительно затрудняет выделение отдельных элементов. Для обучения же счетной операции самым важным является четкое выделение всех элементов множества.

Отсюда вытекает педагогический вывод: на начальных ступенях обучения счетной операции путем установления между элементами множеств взаимно-однозначного соответствия целесообразно располагать ту или иную совокупность предметов линейно.

Роль цвета элементов при восприятии множества, расположенного в виде числовой фигуры.

На ранних этапах развития ребенок не замечает какого цвета элементы: он берет пуговицы любого цвета и раскладывает их от середины в обе стороны. Но как только он начинает воспринимать множество в его границах, то становится более требовательным к однородному составу элементов. Это также свидетельствует об изменениях, происходящих в характере его восприятия. В тех случаях, когда ребенок случайно берет пуговицу другого цвета, он, взглянув на множество как целое, исправляет свою ошибку. Он по собственной Инициативе обменивает некоторые пуговицы, чтобы все в его множестве были одинакового цвета. Эта требовательность к однородности множества проявляется при любом расположении, причем стремление создать однородное по цвету элементов множество в числовой фигуре появляется у детей раньше, чем при линейном расположении, хотя численность элементов продолжает оставаться и здесь слабодифференцированной.

Тенденция к созданию множества, состоящего из качественно одинаковых элементов, с возрастом все увеличивается и становится уже независимой от формы расположения. Так, для детей пяти лет и старше множество всегда конечно и всегда состоит из одинаковых по качеству элементов. Поэтому в тех случаях, когда в линейно расположенном множестве первые три элемента красного цвета, а следующие три элемента синего цвета, дети воспринимают его как два различных множества. Признаком однородности конечного множества на данном этапе развития чаще всего является цвет, т. е. признак качества элементов. Но однородность элементов множества может быть выражена не только различными качественными признаками (цветом, размером, формой), но и видовыми, родовыми признаками.

Отсюда одна из задач последующего обучения должна состоять в том, чтобы, не нарушая основного признака множества и помня, что множество есть совокупность однородных элементов, расширять представление детей об однородном составе элементов. Это можно сделать, вводя родовые понятия, например множество игрушек, элементами которого будут кукла, мишка, пирамидка, кубик, машина и т. д.

Вводя в обучение различные по характеру множества, надо учить группировать элементы множества по различным признакам, развивая при этом самостоятельность детей.

Например, различные предметы, составляющие множество игрушек, могут войти в другое множество, элементы которого сгруппированы по признаку цвета: красный круг, красный кубик, красный флажок, красный квадрат, красная пирамидка и т. д.

Упражнения в подобной группировке множеств по тому или иному признаку помогают детям, с одной стороны, овладеть классификацией, как одной из умственных операций, а с другой — способствуют развитию понимания взаимосвязей между различными множествами, той или иной соподчиненности между Ними. Корни операции классификации и сериации «следует искать не в понятиях и высказываниях, которыми оперирует речь, а в основных действиях соединения или упорядочивания, применяемых как к цельным объектам (непрерывное), так и к дискретным ансамблям».