Глава II. О методах обучения в школе и в детском саду в XIX -XX вв.

§ 1. Методы обучения детой арифметике в XVIII—XIX вв. В начальной школе

Какими методами обучения пользовались в древности, точно неизвестно, но есть основания полагать, что методы эти были догматическими, бездоказательными. Например, в рукописях египтян имеются такие указания: «Делай это так...» или «Делай это, как принято...». В рукописях древней Индии даются аналогичные рекомендации: «Смотри...», «Смотрите...». В некоторых же памятниках Греции иногда встречаются заключения: «Что и требовалось доказать»,— значит, появляются попытки обосновать то или иное правило.

Учебников в нашем современном понимании в древние времена не было, а встречающиеся арифметические сборники представляли собой перечень практических указаний о том, как производятся те или иные арифметические вычисления, т. е. отвечали чисто практическим потребностям (колониальной торговле, различного рода расчетам и т. д.).

Как же обучали детей математике в России в XVIII—XIX вв.? Некоторое представление о методах преподавания математики мы получаем по первой печатной русской «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого (1669—1739), написанной в 1703 г. Эта книга сделала эпоху в развитии отечественной математики.

Л. Ф. Магницкий был одним из выдающихся людей России Петровского времени как по своему общему образованию, так и по математическим знаниям. Первоначальное образование Магницкий получил в Московской славяно-греко-латинской академии. Там он изучил греческий и латинский языки, а затем самостоятельно — голландский, немецкий, итальянский и математику, что позволило ему познакомиться с литературой по математике, имевшейся в разных странах. Таким образом, в его «Арифметике» отразилось состояние математики не столько в России, сколько в Европе.

Конечно, характер этого учебника для нашего времени не-обычный: в нем, например, рассуждения иногда излагаются в стихотворной форме, текст сопровождается символическими картинками и т. д.

Вот как определяет арифметику Магницкий: «Арифметика, или числительница, есть художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков изобретенное и изложенное» .

Магницкий определяет арифметику как «художество», имея в виду искусство решать задачи.

Следует отметить и другие особенности этой книги. Так, весь шрифт и нумерация страниц были славянскими, вычисления же записывались арабскими цифрами. Магницкий указывает на преимущества арабской системы нумерации и лишь вскользь говорит о латинской и славянской.

Цифры Магницкий именует «знаменованиями», в отличие от нуля, который называет цифрою. Числа он делит на группы: от единицы до десяти — это «персты» (что по-славянски означает «пальцы»); числа, обозначающие десятки, сотни — «суставы», все же остальные числа, промежуточные между круглыми десятками и сотнями, например 12, 304, 468 и др., Магницкий называет «сочинениями». Эту терминологию Магницкий заимствовал у древнеримских авторов, где особенно широко использовался пальцевой счет.

Приведем определение Магницким нумерации: «Нумерация есть счисление, которое учит называть все числа, обозначенные десятью такими знаками: 1, 2, 3, 4...». Таблицу чисел в пределах 1024 Магницкий заканчивает в стихотворной форме: «Число есть бесконечно, умам недотечно. И никто не знает конца, кроме всех Бога творца».

Русская математическая терминология еще не была разработана, поэтому все названия действий даются Магницким на латинском и в переводе на русском языках, например: «нумера-цио», или «счисление»; «аддицио», или «сложение»; «субстрак-цио», или «вычитание»; «мультипликацио», или «умножение»; «дивизио», или «деление». (Магницкий считает «нумерацию» особым действием.) В его книге впервые введены понятия о десятичных дробях, о прогрессии, квадратном уравнении и др., которых до него не было в русской литературе. Таким образом «Арифметика» Л. Ф. Магницкого сыграла огромную прогрессивную роль как общеобразовательная книга, в которой рекомендуемые практические приемы разъяснялись теоретически.

Однако, несмотря на все достоинства этой книги для своего времени, в ней был отражен и характерный догматизм — усвоение правил без доказательств.

По «Арифметике» Магницкого учились более 50 лет, \\ в школе основным методом была зубрежка: заучивались нумерация, определение действий, результаты решения примеров, задач без каких-либо пояснений. Например, об изучении таблицы умножения говорится так: «Необходимо следующую таблицу настолько твердо в памяти иметь, чтобы без всякого замедления отвечать или написать, сколько будет дважды два, трижды три и проч.».

Показательным для того времени являются воспоминания поэта Г. Р. Державина о том, что в гимназии они обучались геометрии «без правил и доказательств».

Догматические методы преподавания сохранялись в школах даже в XIX в.

В первой половине XIX в. появились педагоги, которые понимали, что причина плохих успехов по математике, да и в других областях знаний, заключается не в отсутствии способностей у детей, а в самом методе обучения. Так, методист-математик П. С. Гурьев (1807—1884), автор книг «Руководство к преподаванию арифметики малолетним детям» (1839) и «Практическая арифметика», писал: «Дети 4—5 лет сряду учатся в школах арифметике, твердят беспрестанно одно и то же, а все-таки большая часть учащихся по окончанию столь долговременного курса не только не усваивает ее, как бы следовало, но получают отвращение от нее и от всей математики. Между тем, при ином изложении и заблаговременном возбуждении самостоятельности учащихся, нет сомнения, та же самая наука отнюдь не показалась бы им столь тяжелою и скучною, ибо они скоро убедились бы, что все, о чем в ней говорится, есть только дальнейшее развитие того, что они сами уже делали и делают без всякого постороннего посредства» !.

Однако книги Гурьева, являясь передовыми, все же не оказали должного влияния на перестройку обучения, и оно продолжало оставаться догматическим.Улучшение преподавания арифметики в русской начальной школе началось во В 1872 г. появилась книга В. А. Евтушевского (1831—1888) под названием «Методика арифметики» — пособие для учительских институтов, учительских семинарий, преподавателей классов средних учебных заведений и родителей.

Евтушевский за основу своего метода взял исходное положение немецкого методиста А. В. Грубе и швейцарского педагога . Песталоцци {1746—1828). Песталоцци в Швейцарии произвел переворот в преподавании арифметики. Он подчеркнул значение наглядности как единственного фундамента всех познаний, в том числе и арифметики: «Упражнения детей в элементар. ном вычислении следует производить, пользуясь реальными предметами или по меньшей мере их изображениями; дети должны прочно усвоить основы арифметики, так как это предохранит их от ошибок и путаницы в дальнейшем» *. Песталоцци разработал целую систему обучения детей счету. Число, форма и слово— вот та триада, которая составляла основу учения по Песталоцци.

Идеи Песталоцци использовал немецкий педагог Грубе, который в 1842 г. издал книгу «Руководство к счислению в элементарной школе, основанное на эвристическом методе».

В 60-х годах XIX в. это пособие стало известно в России через книгу У. Паульсона, которая называлась «Арифметика по способу Грубе». Метод Грубе в то время получил широкое распространение в Европе и в Америке.

Грубе считал, что все числа от 1 до 100 доступны «непосредственному созерцанию, поэтому необходимо себе ясно представить эти числа со всеми составляющими их частями» 2.

Поскольку все вычисления над числами свыше 100 происходят по аналогии с числами до 100, Грубе считал особенно важным ясно представлять состав всех этих чисел. Поэтому он предлагал изучать числа в последовательности от 1 до 100, сравнивая каждое новое число со всеми предыдущими в разностном и кратном их отношениях, т. е. «измерять» число предшествующими числами, как говорил Грубе. Такой метод изучения числа получил название монографического, т. е. метода, описывающего число.

В процессе изучения каждого числа материалом для счета служили пальцы на руках, штрихи на доске или в тетради, а также* палочки. Например, при изучении числа 6 предлагалось сначала разложить палочки по одной. Затем ставились следующие вопросы: «Из скольких палочек составилось наше число? Сосчитайте. Отсчитайте по одной палочке, чтобы получилось шесть. Во сколько раз шесть больше одного? Какую часть шести составляет одна палочка? Сколько раз одна палочка заключается В шести?» и т. д.

Потом изучаемое число точно так же сравнивалось с числом два, предлагалось разложить шесть палочек по две и отвечать на такие вопросы: «Сколько двоек в шести? Сколько раз два содержится в шести?» и т. д. Так данное число сравнивалось со всеми предшествующими (три, четыре, пять).

После каждой группы таких упражнений действия записывались в виде следующей таблички:

Сравнение числа шесть с предшествующими числами С числом один С числом два с числом три с числом четыре с числом пять

1+1+1+1+1+1=6 2 + 2 + 2=6 3 + 3=6 4 + 2 = 6 5+1=6

1X6 = 6 2X3=6 3X2 = 6 4X1+ 2 = 6 5X1+ 1=6

1-1-1-1-1-1= 0 6—2—2— 2 = 0 6 -3- 3 = 0 6-4-2 6—5= 1

6: 1=6 6:2 = 3 6:3 = 2 6 : 4 = 1 (2) 6:5= 1(1)

Далее результаты таблицу заучивались наизусть с тем, чтобы сразу по памяти производить все арифметические действия, не прибегая к вычислениям.

По методу Грубе никаким приемам вычисления учащихся не учили. Действия, как таковые, и вычислительные приемы, опирающиеся на арифметические законы, не изучались. По методу Грубе учебный материал располагался не по действиям, а по числам. Все четыре действия применялись сразу к каждому изучаемому числу. Обратные действия (вычитание, деление) усваивались сразу же в форме разностного и кратного сравнения (какую часть одного числа составляет другое).

Монографический метод Грубе приобрел популярность благодаря книге В. А. Евтушевского «Методика арифметики», в которой этот метод давался в несколько видоизмененном виде. В. А. Евтушевский рекомендовал начинать с разложения изучаемого числа, например, числа, шесть, на равные слагаемые, а затем он предлагал ученикам разложить шесть кубиков так, как они сами хотят, и лишь после этого различные виды разложения приводились в порядок и записывались на доске: 5 и 1=6; 4и2=6;ЗиЗ = 6;2и4 = 6; 1 и 5 — 6.

В. А. Евтушевский предлагал таким образом изучать каждое число от одного до двадцати, а в пределе 100 он советовал подробно останавливаться только на тех, которые имеют много множителей; например 24, 32, 36, 40, 45, 48 и т. д. Свыше :100 изучение каждого числа Евтушевским не рекомендовалось. По методу же Грубе подробно изучались все числа до 1000.

Но основное отличие методики Евтушевского от методики Грубе в другом. Грубе считал, что идея числа является врожденным изначально. Евтушевский же исходил из того, что понятие о числе может быть сформировано лишь на основе многократных наблюдений конкретных количеств: «Ребенок не может иметь врожденных представлений и понятий о предметах реальных — их нужно образовать... Какое впечатление могут произвести на сознание ученика сообщаемые ему в первый раз готовые понятия, каковы число, сложение, дробь и т. п., если он не составил сам из множества отдельных представлений. О таком отвлеченном понятии, как число, недостаточно сказать начинающему обучаться, что оно есть собрание единиц» .

В отличие от Грубе Евтушевский материалистически подходит к вопросу о развитии понятия числа у детей.

«Понятие о числе вообще образуется, как и всякое другое отвлеченное понятие, путем обобщения представлений частных понятий, и притом обобщения постепенного; только на основании действительного счета предметов, и много раз, ребенок может дойти до сознания, что число не есть нечто присущее каким-либо предметам особенного рода, но что оно может относиться ко всяким предметам и, наконец, может существовать в -понятии... в абстрактном виде...» «Прежде в уме ребенка образуются понятия менее общие, каковы, например, 20 орехов, 20 человек, 20 аршин, а потом уже и понятие более общее — 20 единиц» 2.

Почему же Евтушевский рекомендует монографический метод для начальной школы?

Он считает, что ребенок до школы приобретает массу конкретных знаний, но они случайны, не систематизированы, не осмыслены. И надо их привести в систему, а всякая система логична. Вот и следует учить ученика началам этой логики. По словам автора, математика доступна для всех; он решительно возражал против утверждения, что математика доступна лишь немногим избранным, что для этого необходим особый склад ума. Дело не в уме детей, говорил Евтушевский, а в способах преподавания, ибо не кто иной, как учитель, складывает ум ученика. «Вольно же ему громоздить в этом уме учебный материал, вместо того, чтобы действительно правильно складывать» 3.

Математика обладает исключительной способностью учить логически мыслить, утверждал Евтушевский, ибо «каждая исти; на в математике опирается па предшествующие и сама становится логическим основанием для последующих» 4, а это приучает рассудок ко вниманию, сосредоточенности, к последовательности, к гибкости, к умениям сопоставлять идеи и истины.

Евтушевский видит в изучении числа и всех его отношении ту систему, которая должна воспитывать мысль учащихся.

Как видим, один и тот же монографический метод по исходным позициям и в толковании его задач и основ у Грубе и Евтушевского диаметрально противоположен. И не случайно, что методика Евтушевского была принята русским учительством, а его книга выдержала 15 изданий (последний раз она вышла в 1912г.)

Однако уже в 70-х годах стали появляться противники монографического метода. В 1874 г. подверг его критике и Л. Н. Толстой.

«В этих немецких приемах,— писал он,— была еще и та большая выгода для учителей... что при них учителю не нужно... работать над собою и приемами обучения. Большую часть времени по этой методе учитель учит тому, что дети знают, да, кроме того, учит по руководству, и ему легко» .

А зот высказывания учителя С. А. Рачинского: «Прием этот, быть может, необходимый, когда приступаешь к делу с пятилетними детьми (или с идиотами), отзывает чрезвычайной искусственностью, когда имеешь дело с детьми вдвое старше... Нужно избегать слишком долгого пережевывания уже известного ученикам: оно порождает скуку, отучает их от необходимых умственных усилий».

Недовольство методом Грубе—Евтушевского все более нарастало. И в 80—90-х годах целая плеяда русских математиков выступила с его резкой критикой, противопоставляя ему метод изучения действий, или, иначе, вычислительный метод.

В чем же русские математики видели недостатки монографического метода?

Во-первых, было подвергнуто критике исходное положение этого метода, согласно которому число в пределах 100 (по Грубе) или в пределах 20 и больше (по Евтушевскому) можно якобы наглядно представить себе как группу единиц. Такой способности не существует, говорили критики. Мы наглядно можем представить себе группу из двух-трех, самое большее из четырех предметов. А при большем количестве всегда приходится прибегать к счету. Поэтому изучать числа и их состав путем разложения числа бессмысленно. В пределах 100 таких разложений свыше 5000, и одна память усвоить это не в состоянии. Да и психологически это невозможно, поскольку не существует наглядного представления таких чисел (К. П. Аржеников).

Во-вторых, монографический метод критиковали за томительную скуку и крайнее однообразие приемов.

По этому поводу Л. Н. Толстой писал: «Господа эти (Грубе и Евтушевский) велят изучать просто числа 1, 2, 3, 4, забывая то, что числа эти и их отношения выучены без школы каждым ребенком. Не испытав самому той томительной скуки, которую производят такого рода вещи, нельзя было бы понять и почув-5ать всей преступности такой книги, как арифметика Грубе. уже второе издание! Значит, сколько замучено, испорчено детских душ, сколько испорчено наивных учителей... В математике прежде заучивали определение действий, теперь и самих действий уже не делают, так как только на третий год, по Евтушевско-му, приступают к нумерации и предполагают, что нужно учить детей в продолжение целого года считать до 10» .

Поскольку при обучении по монографическому методу действия, как таковые, специально не изучались, а были подчинены изучению числа путем разностного и кратного его сравнения с предшествующими числами, дети не осмысливали значения каждого арифметического действия, не дифференцировали их: обучение сводилось лишь к тренировке у детей памяти и навыков. Дети вынуждены были с первых же чисел производить разностные и кратные сравнения, что путало их и не обеспечивало знаний. А непонимание и механическое усвоение начатков арифметики при однообразии и скуке методических приемов отбивало желание у учащихся заниматься арифметикой.

Следует отметить, что критика монографического метода развернулась не только у нас, в России, но и на его родине — в Германии (Грасс, Фальк, Книллинг, Танк, Кнопе, Гартман, Рэтер и другие).

Однако отдельные методисты оставались верны этому методу. В 90-х годах в Германии он был несколько видоизменен немецким дидактом и психологом В. А. Лаем (1862—1926). Книга Лая «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов» была переведена на русский язык Д. Л. Волковским.

Лай исходил из утверждения о врожденной способности человека воспринимать целостно (симультанно) группу предметов. «Две и три вещи могут быть ясно и отчетливо восприняты и представлены одновременно». Далее он пишет: «Искомым существенным элементом понятия числа является постуляция, признание бытия, т. е. некоторый логический, а не просто чувственный процесс».

Таким образом, по Лаю, число не есть отражение в сознании реальных совокупностей и результат сопоставления их один к одному, а способность, изначально данная человеку утверждать (постулировать) количество в группе, не прибегая к счету, т. е. симультанно воспринимать группу, именуя ее числом.

Считая, что в современном обществе группы в два и три предмета узнаются детьми очень рано, Лай искал средства, которые содействовали бы дальнейшему развитию способности воспринимать совокупность сразу, симультанно, не прибегая к счету по одному.

Лай использовал различные числовые фигуры, стремясь выяснить, какую форму, величину, цвет, яркость, расстояние (группировку и расположение) должны иметь счетные приборы, чтобы давать наилучшие результаты в смысле числового восприятия

Лап ставил такие опыты:

а) Он предъявлял детям числовую фигуру с кружками диаметром 0,5 см;расстояние между кружками было равно диаметру кружка, промежутки между квадратами —1,5 диаметрам. Числовая фигура открывалась перед детьми на Q5 I сек и закрывалась. Дети должны были изобразить виденное и отве тить hz гвоспрос «сколько?».

И Лай приводит некоторые полученные им данные. Девочка шести лет, пробывшая три года в детском саду, безошибочно изображала числовые фигуры — три, четыре, пять, шесть, семь и десять, но не могла ответить, сколько кружков на числовой фигуре семь. Лай делает из этого вывод, что девочка обладала отчетливым представлением числа, хотя и не знала его названия.

Нарисовать же фигуру 12 ей не удалось даже после пятикратного предъявления, при длительности показа свыше 1 сек.

6) Мальчик пяти-шести лет (малоспособный) умел считать только до четырех. Числовые фигуры три и четыре не мог правильно изобразить, даже после пятикратного предъявления, причем четыре он определил, не глядя па фигуру. Правильно нарисовал фигуру пять, найти же число при помощи счета не смог.

в) Мальчик трех-четырех лет, в детском саду был около одного года, умел считать до 10. Числовую же фигуру три изобразил одной точкой, при втором предъявлении расположил три точки в ряд, назвать же числа не смог. Числовую фигуру четыре и пять изобразил верно. А фигуру шесть правильно зарисовал лишь после пятикратного предъявления, рассматривая ее.

Какие выводы из приведенных примеров делает Лай?

1. Дети могут без предварительных упражнений воспринимать и запоминать числа, представлять их себе и изображать на память.

2. Числовые представления охватывают не только первый десяток, но и большие числа, в то время как представление объектов в ряд не превышает трех.

3. Отчетливые числовые представления могут возникать и существовать без счета, и при изображении их счет также не играет никакой роли.

Таким образом, Лай не соглашается с общепринятым мнением, что число возникает только благодаря счету. Опираясь на Песталоцци, Лай утверждает, что число и форма сродни между собой и что первое может быть выведено из второй, и наоборот.

Так Лай пришел к выводу о необходимости формирования отчетливого представления о числе через форму.

Наиболее удобной формой он считал квадрат. Рекомендуемые числовые фигуры и называются «Квадратные числовые фигуры», или, иначе, «Числовые фигуры Лая».

Задача обучения, по Лаю, состоит в том, чтобы сформировать отчетливый образ каждого числа в пределах 20.

«Представлять себе число — значит оживить те сенсорные и моторные элементы, из которых слагается наблюдение числа» . Как же происходит обучение по Лаю? Детям показывается числовая фигура. Они ее рассматривают, а затем описывают с закрытыми глазами расположение точек. Например, фигура четыре: один кружок — в левом верхнем углу, один кружок — в левом нижнем углу, один кружок — в правом верхнем углу и одни кружок —в правом нижнем углу (рис. 1). Лай считал, что, «чем отчетливее, яснее и живее наблюдение вещей, тем отчетливее, .яснее и живее и отражающиеся на него числовые представления».

За описанием следует зарисовка данной числовой фигуры и составление ее на лаевских счетах.

После работы над образом числа дети переходят к изучению его состава. Закрываются три кружка из четырех (временно), и дети воспринимают один верхний левый, затем он закрывается, а остальные три открываются, и все это описывается: один да три, будет четыре. Затем также объясняется, что два и два будет четыре, три и один будет четыре. После этого на изученный состав числа четыре решаются задачи. Ответ дается сразу, без вычислений, на основе запоминания состава числа.

<РИСУНОК В ЭЛЕКТРОННОМ ВИДЕ ОТСУТСТВУЕТ>

Рис.1

Как видим, у Лая тот же монографический метод, снабженный лишь числовыми фигурами. Русские учителя не использовали этот метод. Но поклонник его Д. Л. Волковский — преподаватель московских гимназий — разработал по монографическому методу свою книгу (1914). Волковский адресовал ее не только для начальной школы, но и для приготовительных классов женских гимназий, для детских садов и для домашнего обучения.

Так монографический метод проник в детский сад. По этому методу в основном строилось сравнительно долгие годы обучение детей счету и в советском детском саду.

В чем же недостатки метода Лая?

Недостатки, вскрытые критиками монографического метода еще в XIX в., характерны и для метода Лая, но у него, как и у Грубе, особенно ярко выявляется идеалистическая философия. Число, по мнению Лая, присуще сознанию человека как постулирование бытия, Число упорядочивает бытие, это не что иное, как врожденная логическая категория, которой наделено сознание человека. Поэтому надо обучать детей числу, а не счетной деятельности. Данное исходное положение приводит Лая к поискам стимулов, способствующих развитию того, что вложено в сознание человека, и он видит выход в придании числу наиболее легко запоминающейся формы — квадрата. Так Лай восприятие количества (числа) заменил восприятием формы. Ведь дети в экспериментах Лая, не считая кружков, правильно воспроизводили главным образом общую форму их рисунка. Лай же утверждал, что у них отчетливое представление числа. Нам понятны ошибки детей, которые они допускали как в изображении, так и в назывании числа. Называние по порядку слов-числительных не является деятельностью счета, а Лай принял это за счет. У ребенка за называемыми словами-числительными никаких числовых понятий не было. Естественно, он не смог сосчитать и трех точек па числовой фигуре, а воспроизводил лишь форму предъявленного ему рисунка.

Тем самым критика монографического метода была справедливой. Она сохраняла свою силу и в отношении метода Лая. Он был отвергнут для школы, ибо не развивал мысль учащихся, а сводился к тренировке их памяти и был скучен.

Этот метод был некритически заимствован работниками советских дошкольных учреждений, поскольку книга Волков-ского прямо адресовалась детским садам. Вот почему так важно знать историю монографического метода и его критику еще в XIX в..

Метод изучения действий.

На смену монографическому методу пришел в школу метод изучения действий. В основу обучения арифметике было положено изучение приемов выполнения четырех арифметических действий. Числа в данном случае являлись лишь материалом, на котором изучались арифметические действия и приемы вычисления.

Метод изучения действий возник почти одновременно в России (П. С. Гурьев— 1807—1884) и в Германии (А. Дистервег-— 1866). Однако в тс годы этот метод не проник глубоко в русскую школу, и лишь в 1885 г., когда развернулась критика монографического метода и вышла книга русского математика .. Гольденберга (1837—1902) «Методика начальной арифме-1кн», метод изучения действий получил широкое распространение. «Обучение детей счислению имеет целью научить производить сознательнодействия над числами и развить в детях навык прилагать эти действия к решению задач общежитейского содержания».

Дети должны уметь вычислять и понимать вычисления —сущность метода, т. е. они должны понять смысл и особенсих пор находятся сторонники монографического метода, ошибочно е его пригодным для работы с маленькими детьми.

Обучение Гольденберг рекомендовал начинать с числовых примеров. Он рассуждал так: «Прежде чем решить задачу, надо знать и уметь, как производить действие над числами, а также помнить необходимые табличные результаты, а этому дети научаются на примерах. Решение задач, как бы они просты ни были, потребует со стороны малышей некоторой умственной деятельности, им предстоит из предложенной задачи выделить ее арифметическое содержание, т. е. тот числовой вопрос, который облачен в форму весьма незамысловатого рассказа». Подобный подход, по мнению Гольденберга, создает непосильную нагрузку для детей, поэтому сначала их надо познакомить с механизмом вычислений на примерах, а потом уже переходить к задачам.

Но были и другие представители метода действий, которые доказывали необходимость идти от задач. Так, С. И. Шохор-Троцкий (1853—1923) в своей «Методике арифметики» пишет: «Для развития у учащихся правильных представлений, а впоследствии и понятий о четырех действиях соответствующие части курса начальной арифметики можно построить на задачах, и притом на задачах простых» . При этом он ссылается на высказывание французского педагога Жана Масе, который говорил, что как человечество научилось производить вычисления, исходя из реальных жизненных потребностей, также и дети должны начинать учиться «не с отвлеченного правила», а с решения конкретных задач. Эту же точку зрения разделял и другой методист — Ф. И. Егоров (1846—1913), считающий, что обучение арифметике в школе должно начинаться с решения простых задач, в процессе которых дети могут уяснить смысл действий над числами. Так метод изучения действий на материале задач оказался жизненным в дореволюционной школе,

Борьба материалистических и идеалистических взглядов Диетике

Изучение педагогической и методической литературы второй половины XIX и начала XX в. свидетельствует о наличии двух направлений в методике обучения арифметике в школе: монографического и вычислительного, которые оказали влияние и на разработку методов обучения детей до школы. Нередко за борьбой в вопросах методики обучения арифметике скрывалась более глубокая борьба материалистического и идеалистического мировоззрений. Это выявлялось во взглядах того или иного автора на источник и процесс развития у детей первых числовых понятий, представлений и счетных умений.

Ряд авторов утверждал, что понятие числа изначально присуще сознанию человека. Поэтому в обучении надо идти «от числа к числу». А на основе понятия о числе развивается понимание арифметических действий. Такое толкование и было положено в основу монографического метода. На начальных этапах, указывали авторы, множество воспринимается симультанно без его сосчитывания и именуется числом, затем число изучается всесторонне, т. е. во всех возможных его комбинациях (состав числа). Усвоенный состав числа, по мнению представителей этого метода, обеспечивает само собой усвоение арифметических действий, поэтому нет необходимости изучать приемы вычисления. Этим и была обусловлена последовательность обучения по монографическому методу: а) упражнения в узнавании множества без его сосчитывания и называние его числом (ассо-циационизм); б) изучение состава числа и его запоминание; в) упражнения в арифметических действиях на основе усвоенного памятью состава числа.

Другие авторы утверждали, что понятие числа в нашем сознании формируется лишь на основе отражений количественных отношений предметов и явлений реального мира в процессе деятельности человека с множествами, а отнюдь не путем созерцания и оживления того, что якобы изначально присуще человеку. Эти авторы на первое место в методике обучения ставили деятельность с множествами, т. е. практическое оперирование ими, сравнение их еще до того, как дети научились считать с помощью слов-числительных. Например, дети находят взаимно-однозначное соответствие между количеством тетрадей и количеством учеников. Это сопоставление позволяет им установить равенство или неравенство данных множеств. На основе такой деятельности сопоставления элементов один к одному при сравнении и должно постепенно формироваться понятие числа. Педагоги, принадлежавшие к этой группе, защищали вычислительный метод обучения в школе, иначе называемый методом действий. Они обучали учащихся считать множества, усваивать нумерацию, а затем переводили детей к изучению арифметических действий и вычислительных приемов, т. е. шли от практических манипуляций с множествами и их сравнения к усвоению операций счета и пониманию числа, а затем усвоению понятия натурального ряда.

у разных авторов при изложении методов обнаруживаются различия в их обосновании. Это обусловлено их взглядами на происхождение числа, т. е. является ли число, по .мнению автора, врожденным свойством мысли человека, стремящейся упорядочить хаос мира, или оно является отражением в сознании реальной действительности. Так, например, Шохор-Троцкий,. Егоров и другие, защищая вычислительный метод обучения арифметике в школе, считали, однако, что понятие числа является изначально данным, поэтому в целях оживления врожденного свойства рекомендовали использовать монографический метод для обучения детей числу до школы. И наоборот, Евтушевский, защищая монографический метод обучения в школе, обосновывал это тем, что практическая деятельность с множествами (в игре, в быту) еще до школы развила у детей умение считать и элементарное понятие числа; однако числовые представления, сформировавшиеся у детей, еще весьма хаотичны, и школа должна упорядочить эти представления. Этому и способствует, по мнению автора, монографический метод.

Таким образом, взгляды на математическое развитие детей определялись не только тем, какой метод защищал тот или иной автор, но главным образом тем, каковы были его исходные позиции в понимании происхождения числа. И это особенно ярко выявлялось при решении вопроса об обучении детей до школы.

Не могли разрешить спор и представители буржуазной психологии. Соответственно двум методическим течениям были выдвинуты две теории — теория восприятия групп предметов и теория счета. Каждая из этих теорий пыталась решить вопрос о том, что изначально: счет или число. Сторонники теории восприятия групп утверждали, что ребенку свойственна способность схватывать множество как единое пространственно организованное целое, не считая его, т. е. симультанно, поэтому они поддерживали монографический метод обучения.

Представители другой теории утверждали, что врожденным является не само число, а идея последовательности чисел во времени, т. е. усвоение натурального ряда чисел, в силу чего ребенок, считая, умеет называть числительные по порядку, но назвать общее количество (сколько всего) не может. Поэтому сначала надо учить порядковому, а не количественному счету. Тем самым эта теория на первый взгляд соответствовала вычислительному методу, однако способность порядкового счета представлялась ее сторонникам изначально данной. Как видим, представители обеих психологических теорий стояли на идеалистических позициях и спорили лишь о том, что является изначально данным — число или последовательность ряда чисел.

Таким образом, ограниченные философией идеализма или метафизического материализма, ни педагоги, ни психологи конца XIX — начала XX в. не смогли понять сложнейших переходов в развитии сознания от конкретной деятельности и восприятия конкретных множеств в пространстве и во времени к деятельности счета с помощью слов-числительных, к синтезированию элементов множества в понятие числа.

Советская педагогика и методика математики базируются на марксистском понимании происхождения всех математических понятий. Множество, число, счет и многие другие понятия возникали и развивались в процессе разнообразной деятельности человека и его общения с окружающей материальной средой.

Человек чувственно и действенно воспринимая окружающий его мир, постепенно познавал и абстрагировал существенные стороны предметов и явлений, на основе чего у него формировались понятия, в том числе и математические.

Материалистическая основа математических понятий убедительно раскрыта Ф. Энгельсом. В работе «Анти-Дюринг» он неоднократно подчеркивает: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления» .

У маленького ребенка а основном происходит тот же процесс познания окружающей действительности, хотя многие понятия уже сформировались, и он воспринимает их через речь взрослых уже готовыми. Однако смысл этих понятий он усваивает по мере того, как сам приобретает чувственный опыт в деятельности.

В одной из ранних работ К. Маркс писал: «Известно, что первой теоретической деятельностью рассудка, который еще колеблется между чувственностью и мышлением, является счет. Счет — это первый свободный теоретический акт рассудка ребенка.

Итак, понятия счета, числа, натурального ряда не врожденны, а формируются в процессе разнообразной деятельности ребенка с множествами предметов и явлений, в процессе сравнения одних предметов и явлений с другими, их счета и измерения, т. е. в процессе познания количественных, пространственных и временных отношений.