§ 3. Примерные занятия в подготовительной к школе группе детского сада: множество, счет, число

Работа с множеством.

В старшей группе дети познакомились с операцией, объединения множеств и удаления правильной части множества, с названиями «множество», «элементы множества». В подготовительной группе продолжается закрепление знаний.

Приведем примерные занятия, которые несколько усложнены по сравнению с аналогичными, рекомендованными для старшей группы.

Детям даются предметные картинки или мелкие игрушки, изображающие разные виды транспорта (трамваи, автобусы, грузовые машины), которые составляют множество «транспорт». Дети называют три части множества. Затем детям предлагают разложить каждую из частей рядами, найти число элементов в каждой части и обозначить соответствующей цифрой, например: трамваев — четыре, автобусов — три, грузовых машин — две. Поскольку все три части были объединены в одно множество, подсчитывается общее количество элементов всего множества. Оказывается девять элементов.

Воспитательница предлагает объяснить, как было образовано общее множество, состоящее из девяти элементов. Дети называют три части и число элементов в каждой из частей: четыре трамвая, три автобуса и две грузовые машины составили общее множество в девять элементов. «Из каких же меньших чисел получилось число девять?» — спрашивает воспитательница. «Из четырех, трех и двух»,— отвечают дети.

При другом варианте задания на объединение множеств можно взять два множества, состоящие совсем из разных предметов; например, одно множество из картинок, на которых нарисованы овощи (одна морковь, одна репа, одна свекла, один огурец), а другое множество из картинок с изображением фруктов (одно яблоко, одна груша, один апельсин). Детям предлагается самим найти число элементов в каждом из множеств и «записать» соответствующими цифрами (4 и 3). Затем, объединив оба множества в группу фруктов и овощей, воспитательница просит сосчитать общее число элементов объединенного множества. Выполнив практически это задание, дети должны рассказать, что и как было сделано. «Мы объединили два множества, т. е. к четырем элементам одного множества присоединили три элемента другого и получили объединенное множество из семи элементов. Все множество состоит из двух частей: одна часть — овощи, а другая — фрукты».

Так постепенно через объединение множеств дети подводятся к пониманию арифметического действия сложения. Может быть использован и такой прием для упражнения.

Детям предлагается самим мысленно составить два множества, из пяти разных элементов каждое, объединить их и указать общее число элементов. Например, Миша говорит, что он в уме составил букет из двух множеств. Одно множество из пяти цветущих веток (одна ветка яблони, одна ветка вишни, одна ветка черемухи, одна ветка сирени и одна ветка жасмина). Другое множество он составил из пяти цветков (одна ромашка, один василек, одна гвоздика, один тюльпан и одна фиалка). Объединив обе части, он получил одно общее множество из десяти разных растений.

Выполняя подобные задания и рассказывая о них, дети упражняются не только в объединении частей в единое целое и в счете элементов частей и целого, но и в понимании количественного значения числа.

При проведении подобных упражнений материал следует варьировать, развивая у детей умение анализировать и обобщать, а также отражать свои практические действия в речи.

Для упражнения на удаление правильной части множества можно использовать следующий прием.

Воспитательница ставит на стол чашки и блюдца. Просит назвать количество предметов каждого вида (пять чашек и пять блюдец), сказать, из скольких частей состоит данное множество (из двух частей), определить общее количество предметов (десять). Затем она предлагает собрать блюдца и отнести в кукольный шкаф. «Из множества удалена одна часть, выраженная пятью блюдцами. Что же осталось на столе после удаления пяти блюдец?» — «На столе осталась еще одна часть — пять чашек».— «Значит, из множества, состоящего из десяти предметов, удалили пять предметов, осталось пять предметов, или из двух частей множества удалили одну часть, осталась еще одна часть»,— обобщает воспитательница.

Упражнения с множествами могут быть самыми разнообразными. Они послужат основой для усвоения в дальнейшем арифметических действий.

Например, для подготовки к действию умножения можно предложить детям сосчитать количество пар одинаковых флажков, составляющих множество в десять предметов. Допустим, в этом множестве флажки пяти цветов, т. е. в нем пять частей, а в каждой из них по два флажка.

Можно предложить самим детям составить множество из четырех частей — кружков разного цвета, взяв по два кружка каждого цвета, а затем подсчитать количество элементов объединенного множества. «Чему же равняется десять?» — спрашивает воспитательница. «Десять кружков равняется: два, два, два, два и еще два». Можно также предложить детям составить букет из трех видов растений, взяв по три цветка каждого вида (это можно сделать на прогулке или в группе, использовав картинки лото).

Для усвоения в последующем действия деления (как по содержанию, так и на равные части) рекомендуются такие упражнения.

Детям дается в конверте множество, состоящее из десяти геометрических фигур. Предлагается найти в нем одинаковые фигуры и разложить по группам, затем сосчитать общее количество фигур во всем множестве и количество предметов в каждой группе, потом определить количество групп.

Дети говорят, что в конверте было десять геометрических фигур, каждого вида фигур было по две одинаковые. Всего они сосчитали пять групп. «Из скольких же элементов состояло все множество?» — «Из десяти элементов».— «По скольку элементов оказалось в каждой части множества?» — «По два элемента в каждой из пяти частей».

Дети сохраняют данное множество на своих столах, а воспитательница дает им другой конверт, состоящий тоже из десяти фигур, но всего двух видов. Дети, как и в первом случае, находят одинаковые фигуры, считают их количество в каждой из групп и общее количество всех фигур. В данном случае делается вывод, что множество состоит тоже из десяти элементов, но частей всего две и в каждой части по пять элементов. Воспитательница предлагает сравнить оба множества, подумать и сказать, что в них общее и что различное. «В первом и втором конверте по десять фигур, но в первом конверте по две фигуры в каждой части, а всего в нем пять частей, а во втором конверте по пять фигур в каждой части, а зато частей всего две»,— отвечают дети.

В другом случае дается множество, состоящее из девяти флажков. Вызванный ребенок делит их поровну между тремя детьми, после чего рассказывает: «У меня было девять флажков, я роздал их трем детям, и каждый получил по три флажка».— «Сколько же флажков было в твоем множестве?» — «Девять флажков».— «На сколько частей ты разделил девять флажков?» — «На три части».— «Сколько же флажков получилось в каждой части?» — «По три флажка».— «Как иначе можно назвать все флажки?» — «Множеством».— «На сколько частей ты разделил данное множество?» — «На три части».— «По скольку элементов оказалось в каждой части?» — «По три элемента».

В следующий раз детям, сидящим за столами, сначала дают две коробки и конверт с десятью одинаковыми кружками. Предлагают сосчитать общее количество кружков и поровну разложить их в две коробки. Подводится итог: десять кружков разделили на две части, и в каждой из них получилось по пять кружков. Далее коробочки остаются перед детьми, а им даются пять тарелочек и конверт с десятью треугольниками. Предлагается также поровну разложить треугольники на пяти тарелках. Делается вывод, что десять треугольников они разделили на пять частей и на каждой тарелке у них лежит по два треугольника.

Сравнивая обе операции с множествами, дети находят общее и отличное между ними. «У меня было множество в Десять кружков и множество в десять треугольников. Десять кружков мы разделили на две части, и в каждой части получилось по пяти кружков; а другое множество — десять треугольников ми разделили на пять частей, и в каждой части получилось по два треугольника».

В результате подобных упражнений дети могут быть подведены к выводу, что при одинаковом количестве элементов множества чем на большее число частей надо разделить эти элементы, тем меньше их будет в каждой части.

Итак, выполняя различные практические операции с множествами, считая элементы множеств и количество частей, отражая все это в речи, дети овладевают понятием множества и Простейшими понятиями соотношения между элементами множества, а это весьма важно для общего математического развития.

К тому же, объединяя множества, удаляя из множества часть, выделяя общие и разные элементы, дети анализируют задание, овладевают умением выделять в нем самую основную, существенную сторону, проявляют сообразительность. И все это не на основе лишь словесных упражнений, а на основе практического оперирования с разнообразными множествами. Представление о множестве уже не ограничивается внешней одинаковостью элементов, как то было на начальных этапах: оно становится более подвижным, гибким, глубоким. При этом дети начинают понимать, что не всегда требуется указывать число: можно ограничиваться лишь перечислением названий элементов, например, сравнивая части, входящие в состав множества, путем установления соответствия между их элементами, дети могут определить равномощность и перавномошность их, не прибегая к счету.

Дети понимают также, что понятие элемента изменяется: в одном случае элементом будет отдельный предмет, а в другом—целая группа предметов.

Количество и счет. Закрепление навыков счета в пределах десяти с использованием различных анализаторов (зрительного, слухового и др.) проводится в подготовительной группе теми же приемами, что и в старшей. Основное внимание здесь должно быть обращено на воспроизведение множества по названному числу, при этом очень важно упражнять детей в запоминании одновременно нескольких чисел, связывая их с названием предметов, качественными особенностями и пространственным расположением.

Упражнения в запоминании чисел могут быть различны. Например, воспитательница дает задание ребенку отсчитать шесть зайчиков, три утки и две автомашины; шесть зайчиков разделить поровну между Верой и Мишей, три утки передать Розе, а две автомашины поставить на полку. «Запомни, что я тебе сказала»,— подчеркивает воспитательница. Вначале можно предложить ребенку повторить, в дальнейшем же необходимо приучать сразу воспринимать задание, вдумываться в него, не прибегая к повторению. После выполнения задания важно, чтобы ребенок рассказал, что и как он делал. Словесный отчет является отражением в сознании произведенного действия, т. е. обеспечивает перенесение его в умственный план.

В приведенном примере числа относились к разным предметам, но важно приучать детей связывать их и с качественными признаками одних и тех же предметов и с теми или иными действиями измерения.

Приведем пример подобных заданий. Детям предлагают нарисовать шесть треугольников, из них два красного цвета, три синего и один зеленого; им раздают бумаги в клетку и указывают размер треугольников: основание — шесть клеток, а высота — четыре клетки.

Чтобы избежать подражания, детям, сидящим за одним столом, можно дать разные задания. Выполнив задание, дети рассказывают, что нарисовали, как и сколько.

Конечно, нет необходимости спрашивать всех детей, но все должны быть готовы к устному ответу, учиться отражать в слове свои действия.

Счет предметов в любом расположении, развитие пространственной ориентировки на плоскости.

Уже в старшей группе детям были показаны приемы счета предметов при разном их расположении. В подготовительной группе эти навыки закрепляются. Но главное — подвести детей к обобщению — считать можно начинать с любого предмета, в любом направлении а количество остается тем же.

Следует отметить, что у детей, не прошедших обучения в младшей и средней группах, наблюдается стремление считать по ряду справа налево и по вертикали — от себя кверху. Эта тенденция, характерная для маленьких детей, иногда сохраняется долго. И уже в I классе школы, составляя из букв слово ма-ма, ребенок располагает буквы справа налево (ам-ам); те же ошибки допускают дети и в пространственном расположении цифр, раскладывая и читая их по порядку, но справа налево — 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Поэтому, подчеркивая возможность начинать счет элементов множеств с любого из них, следует уделять постоянное внимание перестройке движения рук и глаз слева направо и сверху вниз. В связи с этим весьма целесообразно упражнять детей в расположении цифр или геометрических фигур под диктовку.

Дети, переходя в школу, должны отчетливо ориентироваться на плоскости, в тетради; понимать такие выражения, как «отступя сверху вниз на три клеточки», или «отступя от края слева на четыре клеточки», или «сделаем поля справа размером в пять клеточек».

Такой ориентировке могут способствовать задания по рисованию под диктовку прямых линий. Например, детям предлагается начертить по горизонтали отрезок прямой линии «длиной в пять клеток» (рис.19),отступя слева от края листа бумаги на пять клеток, а сверху отступя на десять клеток. Затем начертить отрезок в вертикальном направлении, отсчитав вниз шесть клеток, а от конца вертикальной линии направо по горизонтали нарисовать отрезок прямой линии в пять клеток, после чего вновь спуститься вниз по вертикали на четыре клетки, затем, повернув налево, начертить по горизонтали отрезок в десять клеток и соединить начало первой верхней горизонтальной линии с концом нижней горизонтальной линии, сосчитать, сколько клеток заняла последняя линия (10 клеток). Можно предложить догадаться, почему длина вертикальной линии слева состоит из десяти клеток. Дети говорят, что длина ее равна длине двух линий, опущенных вниз: длина одной — шесть клеток, а длина другой — четыре клетки. «Кто догадается, почему нижнюю линию нужно было нарисовать в 10 клеток?» — спрашивает педагог. Дети сопоставляют эту линию с верхними и объясняют вслух.

Рис. 19.

Такой диктант упражняет детей в правильном расположении линий на плоскости, в определении направления их движения, в запоминании длин отрезков, выраженных условными мерками — клеточками; вопросы, поставленные в конце занятия, развивают сообразительность, догадку.

Ознакомление детей с цифрами как условными знаками числа.

Когда дети относительно свободно научились считать и осмыслили значение числа как показателя мощности множества, можно знакомить их с цифрами как с условными знаками числа, как с символами. Как показывает практика, большинство детей пяти лет хорошо ориентируются в цифрах: узнают номера автобусов, троллейбусов, домов, квартир; по цифрам различают денежные знаки и др. Запоминая рисунок цифры, они отнюдь не понимают еще того, что цифра — это условный знак числа, подобный другим знакам: + (прибавить), — (отнять), = (равно), > (больше), < (меньше) и др. Поэтому знакомить с цифрами целесообразно наряду с другими символическими обозначениями лишь в подготовительной группе. Такое знакомство с элементарной символикой поднимает умственное развитие детей на новый, еще более высокий уровень.

Приведем несколько вариантов занятий по знакомству детей с цифрами и условными знаками = , >, <

Предлагая детям сосчитать какую-либо группу предметов, например шесть кукол, воспитательница обращает внимание на то, что можно узнать о количестве кукол, не видя их самих, а только посмотрев на карточку с шестью кружками на полоске. Она просит детей вспомнить, когда они это делали раньше. Дети вспоминают, что они отыскивали группу игрушек и подкла-дывали к ним карточки, на которых было такое же количество кружков. Воспитательница подтверждает правильность детских воспоминаний и говорит, что кукол можно условно обозначить кружками. «А всегда ли кружки должны быть расположены в ряд?» — наводит на новую мысль детей воспитательница. Выслушав несколько ответов, она показывает числовую фигуру. «А этой числовой фигурой можно показать количество наших кукол?» (рис. 20). Дети утвердительно кивают головами. Воспитательница ставит несколько групп игрушек, например три, предлагая трем вызванным детям условно обозначить каждую из групп игрушек соответствующей числовой фигурой. Дети выполняют задание. «Но ведь кружки на числовой фигуре приходится считать, как и кукол. А не знает ли кто-нибудь, как взрослые обозначают количество, не считая кружки на карточке, и сразу узнают, что одна карточка — это три, другая — пять, третья — восемь. Кто догадается?»

Конечно, в группе всегда найдутся дети, которые скажут, что взрослые обозначают (пишут) цифрами. Подтверждая ответ, воспитательница говорит, что и дети будут теперь обозначать числа цифрами, но для этого надо научиться различать их. «Кто какие цифры уже знает и где их видел?» — спрашивает воспитательница, стимулируя припоминание из опыта. «Вот Леша говорит, что он знает трамвай с цифрой 8, а что означает на трамвае цифра 8?» Дети выясняют, что по номеру трамвая люди определяют его маршрут, но не количество трамваев.

Рис. 20.

Дети припоминают еще, где и в каких случаях взрослые используют цифры как условные значки. «Могут ли значки-цифры показывать и количество предметов?» — задает новый вопрос воспитательница. Дети ила сама воспитательница приводит соответствующие примеры. Вслед за этим воспитательница показывает один предмет и обозначает его цифрой 1, показывает два предмета и обозначает их цифрой 2, показывает три предмета и обозначает их цифрой 3.

Дети упражняются в различении этих трех цифр, разных по своей конфигурации и легко запоминаемых.

Затем к показанной цифре они молча подбирают соответствующее количество предметов (сначала у стола воспитательницы, а в дальнейшем за своим столом).

Дети легко усваивают цифры. Особое внимание следует обратить лишь на те, между которыми имеется некоторое сходство; для их различения требуется более тонкая дифференцировка, например: 1, 4, 7 или 2 и 5, или 6 и 9, или 3 и 8. Поэтому цифры целесообразно изучать не по порядку, а соединяя в группы по начертанию. Например, одно из занятий воспитательница посвящает цифрам 1 и 4, в соответствии с которыми дети подбирают количество предметов. При знакомстве с ними обращается внимание детей на конфигурацию каждой цифры, сравнивается начертание, анализируются их детали (устанавливается общее и различное). Например, у цифры 1, состоящей из палочки, слева наверху есть небольшой «хвостик» — прямая наклонная палочка. У цифры 4 тоже есть лалочка справа, а слева в верхней части к ней примыкает небольшой уголок. Сравнивая цифры 1 и 4, дети описывают их различия, «рисуют» в воздухе.

На следующем занятии дети работают с цифрами 1 и 4 и знакомятся с новой цифрой 7, сопоставляя ее начертание с начертанием уже известных им цифр 1 и 4. Цифра 7 имеет тоже палочку, как и цифра 1, но она наклонная, а не прямая, слева у нее наверху как бы небольшая волнистая линия, примыкающая к палочке, иногда палочка пересекается еще небольшой черточкой.

«А чем же цифра 7 отличается от цифры 4?» — спрашивает воспитательница. Дети, рассматривая цифры 4 и 7, обнаруживают между ними сходство и отличие. Затем следуют упражнения па различение этих трех цифр и образование их связей с числами. Воспитательница показывает то одну, то другую, то третью из них, дети называют цифру и набирают соответствующее количество предметов у себя на столах (для контроля один ребенок может работать у стола воспитателя).

Далее детям раздают по три цифры. Воспитательница ставит на своем столе то или иное количество отдельных игрушек, а дети должны ответить, сколько их, подняв соответствующую цифру. Но можно цифрой обозначить и количество частей (подмножеств) одного какого-либо множества, например, всего стоит семь игрушек, а среди них четыре части: одна группа уток, одна группа гусей, одна группа кур и одна группа цыплят, а всего четыре группы.

Следующее занятие может быть посвящено знакомству с цифрами 2 и 5, начертание которых также анализируется и сравнивается. Обращается внимание детей на то, что у цифры 2 кружок слева вверху, а у цифры 5 полукруг внизу справа и что у цифры 5 имеется наверху волнистая линия, как у цифры 7, а у цифры 2 такая же линия внизу.

Так же анализируется начертание цифр 6 и 9, подчеркивается, что кружок расположен у цифры 6 внизу, а у цифры 9 наверху и обращены они в разные стороны. Наконец, дети знакомятся с начертаниями цифр 3 и 8, различие которых в том, что цифра 8 состоит из двух овалов, а цифра 3 — из двух открытых слева полуовалов.

Для закрепления полученных детьми знаний рекомендуются примерные занятия. Воспитательница вывешивает цифру, а дети в соответствии с нею отсчитывают мелкие предметы и выкладывают их на своих столах, или находят соответствующие карточки с числовыми фигурами, или воспроизводят соответствующее количество движений и т. д.

Можно провести занятие по-другому. Например, воспитательница стучит несколько раз то по одному, то по другому предмету, или показывает количество в виде числовой фигуры, или на карточке с нарисованными предметами, или ставит у себя на столе несколько предметов, а дети показывают каждый раз соответствующие цифры.

Ознакомление с цифрами не составляет особого труда для детей, но для формирования понятия числа это новый этап. Лучшему усвоению начертания цифры способствуют ее анализ и зарисовка широкими движениями в воздухе.

На изучение каждой пары цифр требуется не больше одного-двух занятий, а на знакомство со всеми цифрами — шесть— восемь. Упражнения же на различение цифр можно давать как па занятиях с другими программными задачами, так и во время подвижных игр, например «Найди пару», «Автомобили и гаражи» и др.

Количественное значение числа; состав его из единиц в пределах второго пятка.

Уже в старшей группе дети знакомились с количественным значением числа из единиц в пределах первого пятка. Эта работа продолжается и в подготовительной группе на числах второго пятка, причем воспитатель может использовать уже знакомые приемы. Целесообразно также связать эту работу с операциями над множествами.

Поскольку дети уже упражнялись в зарисовке разных предметов, количество которых соответствует названному числу, можно рекомендовать этот прием и в подготовительной группе. Детям предлагается, например, нарисовать на клеточной бумаге шесть разных геометрических фигур. Дети рисуют один круг, один овал, один квадрат, один прямоугольник, одну трапецию, один треугольник, «читают» свои рисунки, называя фигуру и количество. «Сколько разных фигур вы нарисовали? Из чего состоит число шесть?» — спрашивает воспитательница. «Число шесть состоит из одной, одной, одной, одной, одной и еще одной, т. е. из шести единиц»,— отвечают дети. Они начинают называть число один единицей, и это закрепляется при изучении других чисел. «Сколько единиц в числе девять?» — спрашивает воспитательница. «Число девять состоит из девяти единиц: одна, одна, одна, одна, одна, одна, одна, одна и еще одна»,— быстро отвечают дети.

Изучение состава числа из двух меньших чисел.

К изучению состава числа из двух меньших чисел дети подводятся уже в процессе упражнений с множествами. Определяя количество частей, входящих в состав конечного множества, дети усваивают, что часть меньше целого. Сравнивая части множества путем установления соответствия между их элементами (не прибегая к счету с помощью слов-числительных), дети видели, что эти части могут быть равными и неравными по численности. Наконец, считая элементы в каждой части множества, дети устанавливают, из каких чисел составлено то или иное число. Уже эти и аналогичные упражнения убеждают детей, что как множество может быть составлено из разных частей, так и число может быть составлено из меньших чисел.

Дети же, не владеющие операциями с множествами, как было показано в целом ряде исследований (Л. А. Яблоков, Н. А. Мен-чинская, А. М. Леушина, Е. И. Корзакова и другие), воспринимают множество и число как единое, неделимое целое. Такие дети даже в семь лет иногда с трудом отвечают на вопрос: «Сколько рыбок всего, если шесть рыбок находится на столе, а четыре рыбки в коробке?» Сосчитав каждую группу рыбок раздельно, дети обычно отвечали, что их шесть и четыре.

Обучение выделению в множестве его составных частей помогает преодолеть эту односторонность в представлениях детей о множестве, создает чувственную основу для понимания состава чисел.

Следует тут же сделать оговорку: разложение числа на меньшие числа, так же как и выделение в множестве его частей, ничего общего не имеет с изучением состава числа по описанному выше монографическому методу. Ведь это изучение сводилось к механическому запоминанию, что, например, число шесть состоит из пяти и одного, четырех и двух, трех и трех, двух и четырех, одного и пяти, и это иллюстрировалось на конкретном материале.

В настоящее время целью изучения состава числа из двух меньших является не запоминание, а понимание того, что множество может быть составлено как из однородных, так и из разнородных элементов, из ряда групп, частей, количество которых можно сосчитать, сравнить одну группу с другой, определить их равномощность или неравномощность.

Поскольку число является показателем мощности конечных множеств, значит, число служит показателем как множества в целом, так и его отдельных частей (подмножеств), а часть меньше целого, значит, и число может состоять из меньших чисел. Дети, оперируя с множествами, начинают понимать, что так же, как, объединяя отдельные части, можно составить единое множество, точно так же, объединяя меньшие числа, можно получить новое, большее число. Именно эти понятия важно сформировать у детей, а не добиваться механического запоминания состава числа.

Исследования, в свое время проведенные Е. И. Корзаковой, показали, что при изучении состава числа по монографическому методу дети тоже разлагали множество на части, например, часть камешков они откладывали в одну сторону, а часть — в другую и говорили, что у них семь камешков, а теперь в одной группе их четыре, а в другой — три, но соединить эти малые числа в одно они не могли, потому что не понимали отношений между частями и целым, между числом и единицей.

При обучении детей деятельности с множествами, деятельности счета развитие их идет совсем иным путем. Дети в подготовительной группе знают, что число состоит из определенного количества единиц, равного самому числу, знают, как образуется натуральный ряд чисел, и понимают взаимно-обратные отношения между натуральными числами, знают место числа среди других чисел и могут обосновать это.

Все это позволяет детям легко понять, что всякое число можно разложить не только на единицы, но и на другие числа.

Изучение состава числа из двух меньших чисел в пределах пяти имеет и практическое значение для подготовки к вычислительной деятельности в детском саду. Чтобы к четырем прибавить три, необходимо разложить число три на единицы и, поль* зуясь приемом присчитывания, прибавлять второе слагаемое по одному: четыре + (один + один + один). Или можно иначе: к четырем + (два + один). Уже на данном этапе важно вооружить детей этими двумя способами присчитывания. А для этого надо знать состав чисел из меньших чисел в пределах первого пятка.

Для изучения состава чисел могут быть использованы разные приемы.

Вот один из них. Воспитательница берет кружки, окрашенные с одной стороны в красный цвет, а с другой — в синий. Выложив три кружка одного цвета и сосчитав их количество, воспитательница указывает, что число три в данном случае составлено из трех одинаковых по цвету кружков: один, один и еще один. Но множество, именуемое числом три, можно составить и из элементов двух цветов: она повертывает третий кружок обратной стороной и спрашивает детей, из кружков какого цвета составлено множество. Дети отвечают, что множество, именуемое числом три, состоит из двух красных кружков и одного синего. Затем воспитательница поворачивает другой стороной еще один кружок, и дети видят, что теперь три составлено из одного красного кружка и двух синих.

Обобщая ответы детей, воспитательница подчеркивает, что число три можно составить различно: взять два и один или один и два. Три кружка можно разложить и по-другому, например, один кружок положить на одну полоску, а два кружка — на другую полоску, вместе же их будет по-прежнему три. Воспитательница предлагает выполнить это задание всем детям и, разложив кружки на двух полосках по своему желанию, рассказать о том, кто как сделал.

Может быть рекомендовано такое задание: дети рисуют четыре треугольника (или какие-либо другие фигуры) и раскрашивают их в два цвета, кто как хочет. При опросе детей выявляются разные варианты состава числа четыре из треугольников двух цветов.

Упражняясь, дети составляют множества в три, четыре, пять элементов из двух частей, различающихся между собой цветом (формой, размером), и на этой основе узнают, из каких меньших чисел можно составить число три, четыре, пять.

Кроме цвета, можно использовать признак пространственного расположения подмножеств. Например, ребенку дают пять камешков (пять кружков или мелких игрушек) и предлагают часть из них зажать в одной руке, а часть — в другой. Остальные дети должны угадать, в какой руке сколько камешков. Правильно угадавший выполняет новое задание.

Вариантом задания может служить предложение разделить группу в пять игрушек между двумя детьми. Получившие игрушки выходят и показывают детям, кто сколько получил и сколько было всего вместе.

Важно, чтобы воспитательница следила за ответами детей, в которых должно указываться как общее число, так и его составные части. «У меня было всего пять флажков, из них три флажка я дал Ире и два — Володе. У Иры и Володи вместе пять флажков. Значит, число пять можно составить из трех и двух».

Упражняясь в разложении множеств по тому или иному признаку, дети иногда не ограничиваются лишь двумя подмножествами, а выделяют в нем три и четыре части, но на занятиях необходимо сохранить постепенность и последовательность: в подготовительной группе дети разлагают число и составляют его лишь из двух меньших чисел:

число 2: 1 и 1 число 3: 2 и 1, 1 и 2 число 4: 3 и 1, 2 и 2, 1 и 3 число 5: 4 и 1, 3 и 2, 2 и 3, 1 и 4.

При изучении состава числа можно попутно обратить внимание детей на то, что в числовых фигурах (которыми пользуются дети, начиная уже со старшей группы) кружки всегда бывают расположены малыми группами. Это поможет детям при опознании числовой фигуры опираться не просто на узнавание внешней формы и ассоциацию ее со словом-числительным, а на сочетание и объединение мелких числовых групп в единое целое. В таких случаях множество будет опознано ребенком при любой форме расположения.

Упражнения в разложении чисел в пределах первого пятка на две группы, обучение синтезированию меньших чисел в единое число служит подготовкой детей к усвоению арифметических действий, в которых мы всегда имеем дело самое меньшее с двумя числами.

Закрепление навыков порядкового счета в пределах 10.

Изучение порядкового счета начинается еще в старшей группе, а в подготовительной происходит закрепление приобретенных знаний . Но главная задача состоит в том, чтобы научить детей четко отдифференцировать порядковое число от количественного, сознательно пользоваться как количественными числительными, так и порядковыми, отвечая правильно на вопросы «сколько?» и «который?», «какой по счету?» (не путать с вопросом «какой?», употребляемым для выяснения того или иного качественного признака). Постепенно дети подводятся к пониманию того, что число имеет двоякое значение: количественное и порядковое. Количественное число показывает результат счета предметов независимо от порядка, в каком они считаются (важно, чтобы все предметы были сосчитаны, притом каждый только один раз) .Порядковое же число показывает номер числа натурального ряда, его место среди других чисел.

В подготовительной группе важно расширить представления детей об использовании порядковых числительных в практической жизни. Надо рассказать детям, что предметы, получившие свой номер, в дальнейшем распознаются лишь по номеру, например нумеруются места в театре, в поезде, в самолете, корпуса зданий, квартиры в домах, маршруты трамваев, автобусов и др. Нумерация помогает отличить один предмет от другого, найти нужное место, квартиру и т. д.

Закрепление знаний о взаимно-обратных отношениях между числами.

Сравнивая множества и устанавливая между их элементами взаимно-однозначные соответствия, дети еще в средней группе различают большие и меньшие числа. В пять лет дети уже понимают, почему одно из чисел больше (или меньше) другого, и знают, как из неравенства численностей множеств, выраженных смежными числами, сделать равенство. Но все это усваивалось детьми практически, на конкретных множествах. Задача обучения в подготовительной группе состоит в том, чтобы подвести детей к пониманию взаимно-обратных отношений между числами: каждое натуральное число п больше последующего на единицу и, наоборот, каждое предыдущее число меньше последующего на единицу (п± 1) — и тем самым к усвоению разностных отношений между смежными числами.

Конечно, детям подготовительной группы еще недоступны широкие обобщения принципа построения натурального ряда, да этого и не нужно, но на основе сравнения множеств они уже могут сравнивать числа, практически объясняя и показывая, почему одно число больше или меньше другого, и устанавливать между ними разностные отношения, доказывая правильность своего ответа. В этом и будет состоять усложнение работы по сравнению с предыдущими группами.

Важно использовать в подготовительной группе приемы практического увеличения или уменьшения множества на один с при-влечением различных анализаторов (зрительного, слухового, осязательного, двигательного). Это может быть связано и с закреплением знания цифр.

Например, воспитательница ставит цифру 6 на полотно, предлагая отсчитать количество треугольников на один меньше, а количество кружков — на один больше. Дети на своих столах выкладывают пять треугольников и семь кружков, а воспитательница у себя на таблице вывешивает шесть квадратов. Она предлагает сравнить количество кружков, квадратов и треугольников и показать, какое число больше какого. «Семь больше шести, а шесть больше пяти»,—говорит Саша. «Что же теперь можно сказать о числе семь и числе пять?» — спрашивает воспитательница. Дети задумываются, но потом догадываются, что число семь больше пяти. «А какое из этих чисел меньше других?» Дети, смотря на треугольники, квадраты и кружки, отвечают, что пять меньше шести, а шесть меньше семи. «Что же можно сказать о числах пять и семь?» Дети быстро приходят к выводу: «Пять меньше семи».

Так постепенно дети подводятся к пониманию транзитивных отношений, что весьма важно и, как показывают исследования и практика, вполне доступно детям ,

Подобные задания на увеличение и уменьшение числа, а также на уравнивание чисел могут быть различными: постучать, прыгнуть, подбросить мяч, сделать шагов на один больше или на один меньше, чем указано цифрой или названо устно. Выполнение этих заданий может завершаться записью при помощи карточек с цифрами и знаками: «Постучи по столу столько раз, сколько кружков на полотне, и запиши это цифрами и знаками». Ребенок записывает 8 = 8 и читает: «Восемь равно вось ми».— «Почему ты поставил знак равно?» — «Потому что слова столько же указывают на равенство и обозначаются знаком = (равно)»,— отвечает ребенок.

Для сравнения чисел можно провести такое занятие. Воспитательница ставит на доске цифры 8 и 7, предлагая детям подумать, какое из чисел, указанных цифрами, больше (меньше) какого. На этом этапе целесообразно познакомить детей и с такими условными знаками, как больше > и меньше <.

Зная условные знаки, дети могут показать, что 8 > 7, а 7 < 8. Это вызывает новый интерес детей к сравнению смежных и равных чисел. Но утверждение, что число восемь больше семи и, наоборот, семь меньше восьми, дети должны уметь практически доказать. Вызванный ребенок быстро раскладывает кружки на верхней и нижней полоске один к одному, показывая, что последний кружок в множестве восемь не имеет соответствующего кружка в множестве семь, расположенного на нижней полоске. «А что надо сделать, чтобы установить равенство между числом семь и числом восемь?» — спрашивает воспитательница. «Надо или к семи добавить один кружок, и тогда будет по восемь в обоих множествах, или от восьми отнять один, будет тогда по семь в обоих множествах»,— отвечает ребенок и, практически выполнив оба случая, ставит под каждым из них соответствующие цифры и знаки: 8 = 8 или 7 = 7.

Приведем другой вариант задания. Воспитательница, показав детям цифру, просит назвать число, большее (или меньшее) на один. Дети поднимают соответствующую цифру. В следующий раз воспитательница, вызвав ребенка к столу, дает ему карточку с пуговицами и предлагает определить их количество по осязанию. Ребенок должен найти соответствующую цифру и поставить около карточки с пуговицами, чтобы все дети видели. Следующему ребенку воспитательница предлагает прыгнуть на один раз меньше, чем показывает цифра, а всем детям отобрать мелкие предметы на один больше, чем прыгнул ребенок, и обозначить множество цифрой. «А почему ваш ответ получился равным количеству пуговиц на карточке?» — ставит вопрос воспитательница, стимулируя мысль детей. Дети задумываются. Однако некоторые сразу готовы дать объяснение: «Вы дали задание Мише прыгнуть на один раз меньше, чем было пуговиц, а нам сказали, чтобы мы взяли предметов больше на один, чем прыгнул Мнша. Вот и осталось то же число и та же цифра, что стоит у карточки с пуговицами. Надо было сначала уменьшить число на один, а потом это число увеличить на один. Оно и осталось прежним».

В программе указывается, что дети должны уметь называть числа от любого числа (в пределах 10) в прямом и обратном порядке, называть смежные числа к названному или указанному цифрой. Описанные выше упражнения и готовят детей к этому. Следует подчеркнуть, что задача воспитателя не в том, чтобы натренировать детей в назывании чисел в прямом и обратном порядке: важно, чтобы дети поняли число с двух сторон — как количественное в его отношении к единице и как порядковое в его отношениях со смежными числами. Если дети это хорошо усвоят, они вполне осознанно начнут называть числа в прямом и обратном порядке от любого числа.

Приведем еще некоторые виды упражнений на сравнение чисел.

Устный счет от любого числа в прямом и обратном порядке. Этот прием хорошо известен воспитателям. Педагог называет число, а ребенок по договоренности — одно последующее или одно предыдущее. «Семь»,— говорит воспитательница. «Восемью—отвечает ребенок. «Девять» — «Десять» и т. д. Так же проводится называние чисел и в обратном порядке: «Восемь» — «Семь»; «Девять» — «Восемь»; «Шесть» — «Пять».

Затем педагог просит назвать не одно, а несколько чисел, например, три-четыре после указанного, тоже то в прямом, то в обратном порядке. Он вывешивает цифру 5 и предлагает сразу назвать следующие четыре числа. «Шесть, семь, восемь, девять»,— называют дети. Воспитательница вывешивает цифру 7 и предлагает назвать предыдущие четыре числа. «Шесть, пять, четыре, три»,— отвечают дети.

На что следует обратить внимание? Названное или показанное педагогом число дети не называют: они сразу должны называть последующие или предыдущие числа. Не нужно также приучать к поискам числа, начиная с единицы (что часто делают дети, которые не уяснили отношений между числами). Если дети все же шепчут про себя, называя числа, значит, они не понимают отношений между смежными числами. Поэтому тренировка в механическом запоминании порядка чисел от одного ничего не дает для развития детей. Если же в предыдущей работе с детьми уделялось много внимания усвоению отношений между смежными числами в прямом и обратном порядке, то называние чисел от любого числа не будет вызывать никаких затруднений.

Следующая разновидность упражнений в нахождении смежных чисел заключается в том, чтобы правильно ответить на вопрос «Угадай, какое число я пропустила?»

Воспитательница говорит: «Шесть—восемь». И спрашивает: «Какое число я пропустила?» Дети отвечают: «Число семь».

Можно называть числа и в обратном порядке: десять — восемь, семь — пять, шесть — четыре и т. д.

Для разнообразия детям предлагается определить пропущенное число среди ряда называемых педагогом чисел в прямом и обратном порядке, например: четыре, пять, семь, восемь или: шесть, пять, три, два.

Следующее задание: «Назови соседей». Воспитательница называет одно число, а дети должны назвать смежные с ним. Например: «Назови соседей числа шесть». Дети называют семь и пять. Можно и детям предложить пропускать число между двумя названными. Дети могут сами упражняться в поисках смежных чисел, пользуясь наглядными пособиями (см. рис. 8 и 9 на стр. 354, 356).

Как показывает практика, дети, недостаточно хорошо усвоившие отношения между смежными числами, чаще всего называют лишь числа один—три, а других назвать не могут.

Подобные затруднения служат показателем слабой подготовленности детей, непонимания ими взаимно-обратных отношений, необходимости вернуться к программе старшей группы.

Далее следует познакомить детей с выражениями до и после такого-то числа, объяснив, что выражение до требует называния меньшего, а выражение после — большего названного.

В подобных заданиях можно не только устно называть число, но и показывать цифру. Например, воспитательница ставит цифры 6 и 8, предлагая найти пропущенную, или ставит одну цифру 7 и просит «найти соседей» (см. приложение 2, рис. 8 и 9).

Следует помнить, что устно называемое число и показываемая цифра неравнозначны: зрительно воспринимаемый образ числа и образ, воспроизводимый на основе слова, требуют разного напряжения. Поиски ответа на основе устного задания требуют большей сосредоточенности, внимания и мобилизации знаний. Однако оба приема могут быть использованы воспитателем.

Все указанные приемы (упражнения) будут полезны лишь при условии предварительного изучения отношений между смежными числами на наглядном материале, так как они направлены не на раскрытие, а на закрепление представлений о взаимно-обратных отношениях между числами натурального ряда.

Следует отметить, что эти приемы дети воспринимают с интересом, но увлечение только ими приводит нередко к формированию односторонних представлений о числах лишь как порядковых. Важно, чтобы дети, сравнивая между собою числа, указывали, что одно число больше другого потому, что количество единиц у него больше, чем у смежного с ним, или демонстрировали их соответствие на предметах. Поэтому нельзя удовлетворяться ответом, что семь больше шести, так как важно, чтобы у детей за числом скрывались правильные представления о мощности множества, которое отражается в том или ином числе, а не только о порядке их следования. Вот почему на протяжении всех лет обучения особое внимание обращается на формирование у детей количественных отношений между множествами на основе установления соответствия между их элементами.

Счет групп.

Уже в старшей группе дети узнали, что считать можно не только отдельные предметы, звуки, движения, т. е. «отдельности», но и группы, состоящие из нескольких предметов. В подготовительной группе можно детям напомнить, что взрослые считают иногда сразу группы, а не только отдельные предметы, например пяток или десяток яиц; сервиз (чайный, столовый) состоит из группы разных предметов, а воспринимается как одно множество. Опираясь на этот опыт, можно предложить детям упражнения в счете групп.

Вариантами заданий может быть увеличение количества предметов в группе или увеличение количества групп, например, предметы группируются по пяти, а всего групп две. Воспитательница предлагает вспомнить, какие предметы в жизни группируются по пять и как называется такая группа (пяток). Дети считают число пятков. Затем воспитательница ставит вопрос: «Что надо сделать, чтобы увеличилось количество групп?» Выполнив задание, дети объясняют: «Чтобы при одном и том же множестве увеличилось количество групп, надо уменьшить количество предметов в каждой группе. Вначале у меня было по пять предметов, и вышло две группы, а теперь я в каждой группе оставила по два предмета, зато групп стало больше — пять».

На одном из занятий детям предлагается нанизать на проволоку десятками вылепленные из глины шарики (еще не успевшие засохнуть). Цепочки-десятки можно окрасить в разные цвета, а сцепив проволоки, составить цепочку из групп десятков, которую можно то увеличивать, то уменьшать. «Возьмите две группы, по 10 предметов в каждой, увеличьте цепочку на одну группу в 10 предметов и скажите, сколько групп у вас получилось»,— говорит педагог. «У меня было две группы, я увеличил цепочку на одну группу, у меня стало три группы, по 10 пред-^ метов каждая».— «Вспомните, как называется группа, в которой десять предметов».—■ «Десяток».— «Сколько же десятков бус у вас получилось?» — «Три десятка».— «Что же больше: три десятка или два десятка?» — «Три десятка больше двух десятков на один десяток».— «Возьмите два флажка и увеличьте группу на один флажок. Сколько флажков у вас будет?» — «Будет три флажка,— отвечает Женя,— так же как и на цепочке, когда мы два десятка увеличиваем на один десяток».

Так дети, обучаясь считать группы, устанавливают аналогию между счетом отдельных предметов в пределах 10 и счетом отдельных групп — десятками.

Закрепление приемов деления предмета на две, четыре равные части.

В старшей группе дети уже делили квадрат, прямоугольник, круг, яблоко и другие предметы на две и четыре равные части. Они знают, что часть меньше целого, знают, как называются части (половина или одна вторая, четверть или одна четвертая часть), знают, что делить предмет надо точно, чтобы части были равными (две половины, четыре четверти). В подготовительной группе используются те же приемы, что и в старшей. Дополнительно к ним постепенно дается несколько новых. Например, на клеточной бумаге дети чертят отрезок в 10 клеток, который им предлагают разделить пополам. «Но как это сделать?» — спрашивает педагог. Одни говорят, что отрезок надо измерить меркой, а мерку сложить пополам. Другие считают, что можно на глаз показать серединку (но как проверить, что глаз не ошибся?). Третьи предлагают отсчитывать по одной клеточке с одной стороны и с другой, чтобы их было поровну. Четвертые говорят, что они знают, что 5 и 5 будет 10, значит, надо отсчитать по 5 клеточек и отметить середину. Воспитательница одобряет ответы детей и подтверждает, что все способы правильны. «Но какой из них более удобный? Если отрезок расположен на клеточной бумаге, как проще найти половину?» — «Сосчитать клетки и поровну разделить их»,— отвечают дети. «А как вы разделите, если, например, будет восемь клеточек?» — «Отсчитывать по одной клеточке от концов линии, чтобы было поровну: будет четыре и четыре».— «А можно ли так разделить отрезок, расположенный столбиком?» — спрашивает воспитательница и предлагает начертить такой же отрезок прямой в шесть клеточек, но по вертикали. Дети чертят и, отсчитывая по одной клеточке с концов отрезка, намечают его середину. «С каждой стороны от середины по три клеточки».— «Как же можно назвать эти клеточки? Кто догадается?» — «Условными мерками»,— отвечают дети.

Возможен и другой вариант подобного занятия, когда отрезки чертятся на неграфленой бумаге. Воспитательница дает всем детям условную мерку примерно в 10 ел и предлагает по ней начертить ряд отрезков в разном положении: горизонтальном, вертикальном, наклонном, а потом найти их середину. «Здесь нет клеточек»,— говорят дети. «А вы подумайте, как разделить пополам при помощи этой мерки». Дети складывают мерку пополам, отмеряют и отмечают середину на отрезке. Чтобы закрепить действие словом, воспитательница предлагает рассказать, кто как сделал. Затем она просит начертить еще два таких же отрезка: один—в вертикальном, другой—в горизонтальном положении — и разделить их на четыре части. Дети догадываются сами, что условную мерку надо дважды сложить пополам. Воспитательница предлагает рассказать, на какие части дети разделили начерченные ими отрезки, как называются эти части и сколько их в каждом отрезке.

Части равных по длине полосок, из которых одна разрезана на две, а другая — на четыре части, сравниваются между собой, выясняется, какая из них больше, какая — меньше.

Дети учатся не только делить предметы на равные части, но и понимать, что часть меньше целого, а части одного и того же целого тем меньше, чем на большее количество частей разделено это целое. Так познаются детьми новые функциональные связи, создается наглядная основа для понимания в дальнейшем, в школе, дробного числа. Воспитательница включает знания детей и в практическую деятельность. Например, помогая повару делать винегрет, дети стараются разделить морковку, картофель, лук на две, четыре равные части и т. д.

Подведем некоторые итоги.

Во всех группах, включая подготовительную, воспитатель учит детей счетной деятельности: педагог формирует первые элементарные понятия о множестве, о числе, о системе чисел в виде натурального ряда, о взаимно-обратных отношениях между числами; подводит детей к элементарному пониманию основ системы счисления, к счету групп предметов; в практическом плане педагог знакомит детей с целым и его частями, т. е. создает основу для понимания в будущем дробного числа.

Обучение детей счетной деятельности, имеющей дело всегда с конкретными множествами (предметами, звуками, движениями), является главной задачей обучения до ш к о л ы. Счетная деятельность составляет основу последующего обучения в школе вычислительной деятельности, имеющей дело в основном с числами и другими математическими категориями. Развитие счетной деятельности и формирование в процессе ее некоторых понятий теснейшим образом связано с формированием умственной деятельности детей, с возбуждением интереса к математике и положительного эмоционального отношения к приобретению математических знаний. Задачей методики обучения счетной деятельности является стимулирование мысли детей, сообразительности, обучение умению сосредоточенно работать.

Усвоение детьми различных операций с множествами и счетной деятельности, а также тех понятий, которые при этом формируются, позволяет подвести их к усвоению нового вида деятельности — вычислительной, обучение которой в основном происходит в школе. Однако с элементами этой деятельности следует познакомить детей уже в подготовительной группе: это является как бы проверкой готовности детей к усвоению арифметического материала в школе.

В чем основное отличие между этими двумя видами деятельности? Деятельность счета всегда имеет дело с конкретными множествами, будь то множество вещей, звуков, движений. Элементы этих множеств осязаемы, видимы, воспринимаются различными анализаторами. На основе конкретной деятельности счета у детей начинает формироваться уже целая система отвлеченных (абстрактных) понятий: число, натуральный ряд, отношения между числами (количественные и порядковые) и т. д.

Деятельность вычисления уже более отвлеченная, поскольку она имеет дело с числами, а число есть абстрактное понятие. Деятельность вычисления основана на различных арифметических действиях, которые тоже являются абстрактными понятиями, обобщениями соответствующих операций над множествами. Мысль учащегося по мере овладения вычислительной деятельностью все в большей степени, отрываясь от конкретного, поднимается до оперирования абстрактными понятиями, символами, формулами, схемами и т. д.

И этот переход осуществляется тем успешнее, чем совершеннее усвоена деятельность счета, в процессе которой формировались, накапливались и совершенствовались те понятия, без которых невозможно перейти к вычислительной деятельности.

Вот почему важно, чтобы этот переход начался в детском саду: он позволяет как бы подвести итоги — проверить, все ли было сделано в подготовке детей, вскрыть существенные недоделки, допущенные в период дошкольного возраста, постараться их ликвидировать, а передавая детей в школу, указать учителю на пробелы в знаниях у того или иного ребенка, чтобы и он своевременно обратил на них внимание.