2.2. Математические модели

Основное требование, предъявляемое к математической модели, – адекватностьрассматриваемому явлению, т. е. модель должна достаточно точно (в рамках допустимой погрешности) отражать характерные черты явления. Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования.

При построении математических моделей получают некоторые математические соотношения (как правило, уравнения).

Пример. Пусть в начальный момент времени t=0 тело находится на высотеh₀и начинает двигаться вниз (вертикально) с начальной скоростью₀.

Требуется найти закон движения тела, т. е. построить математическую модель, которая позволила бы математически описать данную задачу и определить параметры движения в любой момент времени.

Прежде чем строить указанную модель, нужно принять некоторые допущения, если они не заданы. В частности, предположим, что данное тело обладает средней плотностью, значительно превышающей плотность воздуха, а его форма близка к шару. В этом случае можно пренебречь сопротивлением воздуха и рассматривать свободное падение тела с учетом ускорения g. Соответствующие соотношения для высотыhи скоростив любой момент времениt хорошо известны из школьного курса физики. Они имеют вид:

(1)

Эти формулы являются искомой математической моделью свободного падения тела. Область применения данной модели ограничена случаями, в которых сопротивлением воздуха можно пренебречь. Во многих задачах о движении тел в атмосфере модель (1) не может быть использована, поскольку при её применении мы получили бы неверный результат. К таким задачам относятся: движение капли, вход в атмосферу тел малой плотности, спуск на парашюте и др.

Здесь необходимо построить более точную математическую модель, учитывающую сопротивление воздуха. Если обозначить через F(t)силу сопротивления, действующую на тело массойm, то его движение может быть описано с помощью уравнений:

, (2)

.

Соотношения (2) являются математической моделью для задачи движения тела в атмосфере. Существуют и другие, более сложные модели подобных задач. Заметим, что модель (1) легко получается из модели (2) при F(t)=0.

Адекватность и сравнительная простота модели не исчерпывают предъявленных к ней требований. Обратим ещё внимание на необходимость правильной оценки области применения математической модели.

Отметим, что успех решения задачи в значительной степени определяется выбором математической модели. Здесь в первую очередь нужны глубокие знания в той области, к которой принадлежит поставленная задача. Кроме того, необходимы знания соответствующих разделов математики и возможностей ЭВМ.

2.3. Численные методы

С помощью математического моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: аналитические, графические и численные.

При использовании аналитическихметодов решения задачи удается выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений, дифференциальных уравнений и т.п., то использование известных из курса математики примеров сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это бывает достаточно редко.

Графическиеметоды позволяют в ряде случаев оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений. Например, для нахождения корней уравненияf(x)=0 строится график функцииy=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

Графически методы могут применяться для получения начальных приближений к решению, которые затем уточняются с помощью численных методов.

Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численныеметоды, позволяющие свести решение задач к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Подчеркнем важные отличия численных методов от аналитических.

Во-первых, численные методы позволяют получить лишь приближенное решение задачи. Во-вторых, они обычно позволяют получить решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных.

Поясним второе отличие на примере. По формуле (1) (по аналитическому решению) можно проанализировать как изменяется закон движения при изменении параметров g,mи начальных значений₀иh₀. Если в модели (2) выражениеF(t)имеет простой вид (например,F(t)=const), то можно получить аналитическое решение, аналогичное (1). Это решение легко исследовать на предмет зависимости от изменения параметров и начальных условий. Если же выражение дляF(t)достаточно сложно, то задачу (2) проще решить численно. При этом вместо общей формулы решения в результате расчета будут получены значенияиhдля некоторого набора моментов времениtпри конкретных значенияхg,m,₀,h₀. Для получения решения при других значениях параметров и (или) других начальных условиях необходимо провести новый расчет. Для анализа зависимости решения от параметров и начальных условий необходима большая серия расчетов.

Несмотря на эти недостатки, численные методы незаменимы в сложных задачах, которые не допускают аналитического решения.

Многие численные методы разработаны давно. С появлением ЭВМ начался бурный период их развития и внедрения в практику. Только ЭВМ под силу выполнить за короткое время объем вычислений в миллиарды, триллионы и более операций, необходимых для решения многих современных задач.

Численные методы наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должны обладать и ещё одним важным качеством – не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.