9.3.2. Метод итераций

Запишем систему нелинейных уравнений:

.

Приведем ее к нормальному виду:

. (100)

Рис. 80. Блок-схема решения методом Ньютона

Выберем грубые начальные приближения к решению х₀, у₀. Подставляя их в правую часть системы, можно получить некоторые новые приближенияx₁,у₁. Повторяя вновь процесс подстановки найденных значений в первую часть системы (100), получим последовательность приближений.

Последовательность х_i, у_iбудет сходиться к решению системы (89) при выполнении следующих условий сходимости.

Условия сходимости последовательности х_i у_i.

1. Если в замкнутой окрестности Rимеется только один корень (действительный). Для двумерного случая замкнутая окрестностьRопределяется следующим соотношением (рис. 81):

Рис. 81. ОкрестностьR

Под корнем будем понимать вектор решений, который в двумерном случае имеет 2 компонента: хиу.

2. Функции f₁и₁в областиRдолжны быть непрерывны и дифференцируемы.

3. В области Rвыполняются следующие условия.

или

При выполнении всех трех условий последовательность х_i, y_iимеет предел, т. е. сходится, и этот предел является решением системы уравнений.

Начальные приближения должны выбираться в области R. Условием достижения заданной степени точности является выполнение следующих условий:

.

Блок-схема решения системы нелинейных уравнений методом итераций представлена на рис. 82.

9.4. Примеры выполнения

9.4.1. Метод Ньютона

Проведем уточнение корней системы (90):

.

Согласно методу Ньютона исходная система

сначала линеаризуется:

1. Зададим исходный вид функций:

2. Возьмем частные производные (для этого воспользуемся символьными вычислениями Mathcad):

Рис. 82. Блок-схема решения методом итераций

3. Зададим пределы, определенные при отделении корней:

4. Согласно блок-схеме рис. 80, запрограммируем функцию, осуществляющую решение методом Ньютона, назовем её, например, nuton().

5. Осуществим вызов функции, в качестве начального приближения выберем:

6. Как видно, корни имеют значения:

x= 7.505;y= –5.406. Решение получено за 4 итерации.

7. Выполним проверку полученного решения.

Значение функций f(x,y)и(x,y)в найденной точке очень близко к нулю, что говорит о правильности нахождения корня.

9.4.2. Метод итераций

Проведем уточнение корней системы (90):

.

1. Сначала преобразуем систему к нормальному виду. Вариантов преобразования может быть много, выберем один из них:

2. После преобразования необходимо убедиться, что будут выполняться условия сходимости. Для этого зададим вид функций:

3. Возьмем частные производные (для этого воспользуемся символьными вычислениями Mathcad):

4. Зададим интервалы изменения xиyс определенным шагом (,):

5. Рассчитаем количество точек в промежуточных массивах X и Y, определяющих область R, рассчитаем значения этих массивов:

6. Зададим функции производных:

7. Осуществим проверку условия сходимости по строкам:

8. Выведем результаты в виде таблиц и трехмерных графиков (выбрать центральную кнопку на панели Графики, рис. 83, 84):

Рис. 83. Кнопка построения трехмерных графиков

Рис. 84. Результаты проверки условия сходимости по строкам

Как видно, условие сходимости по строкам выполняется.

9. Осуществим проверку условия сходимости по столбцам (рис. 85):

Рис. 85. Результаты проверки условия сходимости по столбцам

Как видно, условие сходимости по столбцам не выполняется, но это и не обязательно, т. к. условие сходимости по строкам соблюдается. Таким образом, можно приступать к решению системы методом итераций.

10. Согласно блок-схеме рис. 82, запрограммируем функцию, осуществляющую решение методом итераций, назовем её, например, iter().

11. Осуществим вызов функции, в качестве начального приближения выберем:

12. Как видно, корни имеют значения:

x= 7.504712;y= –5.406139. Решение получено за 49 итераций.

13. Выполним проверку полученного решения.

Значение функций f(x,y)и(x,y)в найденной точке очень близко к нулю, что говорит о правильности нахождения корня.