9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами

Цель работы:

Освоение методов приближенного решения систем нелинейных уравнений: метода Ньютона, метода итераций с последующей реализацией на ЭВМ.

9.1. Постановка задачи

1. В соответствии с выбранным вариантом (пункт 9.7, табл. 8) осуществить решение системы нелинейных уравнений f(x,y)=0 и(x,y)=0 с точностью=0.001 двумя методами – методом Ньютона и методом итераций:

• произвести приближенную оценку корней, для чего построить графики y=f*(x) иy=*(x) и определить область их пересечения, на осиX[a₁,b₁], на осиY [a₂,b₂].

• произвести уточнение корней двумя методами оценки, для чего составить алгоритм и программу решения системы нелинейных уравнений.

2. Дать сравнительную характеристику методов, используемых для решения уравнения, по следующим характеристикам:

• быстродействие метода (оценивается по количеству итераций);

• сложность реализации метода (указать преимущества и недостатки).

9.2. Порядок выполнения работы

1. Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.

2. Получить у преподавателя номер варианта.

3. В соответствии с поставленной задачей:

• осуществить приближенную оценку корней заданной системы нелинейных уравнений;

• произвести уточнение корней, с этой целью представить математическую формулировку решения системы нелинейных уравнений по двум методам, составить схемы алгоритмов решения и написать программы в среде СИ++ или Mathcad.

4. Отладить программы и получить результаты расчетов.

5. Результаты расчетов представить графически.

6. Провести анализ полученных результатов (дать сравнительную характеристику двух использованных методов по сложности реализации, быстродействию).

7. Оформить отчет.

9.3. Краткие теоретические сведения

Решение систем нелинейных уравнений состоит из двух этапов:

• отделение корней;

• уточнение корней в отдельных интервалах.

Задача отделения корней даже для нелинейных уравнений может вызвать значительные трудности. А в случае систем нелинейных уравнений эта задача еще более усложняется.

(89)

Отделение корней будет заключаться в приближенном определении точек пересечения двух кривых f(х,у), (х,у). Для этого уравненияf(x,y)=0 и(x,y)=0 следует представить в видеyy=f*(x) иxx=*(y) и построить графики. Точка пересечения определит корни уравнения.

Например, имеется система нелинейных уравнений:

(90)

Преобразуем её в

(91)

и построим графики (рис. 79).

Из рис. 79 видно, что корень уравнения находится в области 6 x 9, –7y –4.

Рассмотрим два метода уточнения корней, которые используются для решения систем нелинейных уравнений.

9.3.1. Метод Ньютона

Рассмотрим систему нелинейных уравнений 2-го порядка (89) в общем виде. Однако необходимо учитывать, что метод Ньютона может использоваться и для систем уравнений более высокого порядка.

Выберем х₀иу₀в качестве грубого приближения к решению,х₀иу₀могут выбираться либо на этапе отделения корней, либо из физических соображений или при постановке задачи.

Рис. 79. Отделение корней

Для реализации последовательного приближения грубого приближения к решению (точному) х и у необходимо записать в алгоритм поиска наиболее точного решения в следующем виде:

(92)

где i=0, 1,, при условии, чтох₀иу₀известны.

То есть для решения системы уравнений необходимо указать правила нахождения добавок h_i,k_i.

Для этого введем следующее обозначение

. (93)

Подставим (93) в систему (89):

. (94)

Разложим уравнения системы (94) в ряд Тейлора в окрестностях точки (х₀,у₀), при этом ограничимся линейными членами разложения:

,(95)

где ₁,₂– нелинейные относительно(x-x₀)и(y-y₀)члены разложения.

Если пренебречь ₁и₂, обозначить,,

то получим систему линейных уравнений относительно hиk:

. (96)

Решение системы (96) даст неизвестные hиk, которые приближаютх₀,y₀к точному решению, но точного значения корня не обеспечивают (вследствие пренебрежения остаточными членами разложения₁и₂).

Т. к. f(x₀, y₀), (x₀, y₀), f’_x(x₀, y₀), f’_y(x₀, y₀), _x^’(x₀, y₀), _y^’(x₀, y₀)– константы, то систему уравнений (96) можно представить в привычном виде:

. (97)

Решение системы (97) может быть получено с использованием методов решения систем линейных уравнений, например, правила Крамера:

;, где

Определитель матрицы, составленный из первых производных системы уравнений, называется Якобианом. После того как hиk найдено, необходимо повторять процесс поиска новых значенийhиkи до тех пор, пока решение не достигнет заданной степени точности. При этом в качестве начального приближения выбирается всякий раз очередное приближение к решению, т. е. итерационный процесс поиска можно представить в следующем виде:

. (98)

Условием прекращения поиска решения является выполнение следующего условия:

, (99)

причем эти условия должны выполняться одновременно.

Таким образом, поиск решения выполняется при реализации следующей последовательности действий:

1. выбираются начальные значения х₀иу₀;

2. для этих значений рассчитываются значения функций f, , f'_x, f'_y, ’_x, ’_y;

3. решается система линейных уравнений (96), т. е. находятся значения hиk;

4. по формулам уравнений (98) находятся значения х, у.Процесс поиска, т. е. действия (2)–(4) выполняются до тех пор, пока не выполнится условие достижения заданной степени точности (99).

Блок-схема решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона представлена на рис. 80.